高考函数与导数经典大题


函数与导数
1.已知函数 y ?| x | ?1 , y ? x2 ? 2 x ? 2 ? t , y ?
根,其中 0 ? t ? 1 . (1)求证: a ? 2b ? 3 ;
2

1 1? t (x ? ) ( x ? 0) 的最小值恰好是方程 x3 ? ax2 ? bx ? c ? 0 的三个 2 x

(2)设 ( x1, M ) , ( x2 , N ) 是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的两个极值点.若 | x1 ? x2 |?

2 ,求函数 f ( x ) 的解析式. 3

2.设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b(0 ? a ? 1, b ? R) . 3

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若对任意的 x ? [a ? 1, a ? 2], 不等式| f′(x)|≤a 恒成立,求 a 的取值范围.

3.已知函数. f ( x) ? 2x3 ? ax 与 g ( x) ? bx2 ? cx 的图象都过点 P(2,0),且在点 P 处有公共切线.
(1)求 f(x)和 g(x)的表达式及在点 P 处的公切线方程; (2)设 F ( x) ?

mg ( x) ? ln( x ? 1) ,其中 m ? 0 ,求 F(x)的单调区间. 8x

4.已知函数 f ( x) ? ln x
(Ⅰ)若 F ( x) ?

f ( x) ? a (a ? R) ,求 F ( x) 的极大值; x
2

(Ⅱ)若 G( x) ? [ f ( x)] ? kx 在定义域内单调递减,求满足此条件的实数 k 的取值范围.

5.已知函数 f ( x) ? ln( 2 ? 3x) ? x 2 .
(I)求 f(x)在[0,1]上的极值; (II)若对任意 x ? [ , ], 不等式 | a ? ln x | ? ln[ f ?( x) ? 3 x] ? 0 成立,求实数 a 的取值范围; (III)若关于 x 的方程 f ( x) ? ?2 x ? b 在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数 b 的取值范围.

3 2

1 1 6 3

6. 已知函数 f(x)=-x3+

1 2 x +b|x-1|+c 2

(Ⅰ)若函数 f(x)是 R 上减函数,试确定实数 b 的取值范围; (Ⅱ)设 f (x)在 x=2 时取极值,过点(0,2)作与 f (x)相切的直线,问是否至少存在两条与 f (x)相切的直线,若存在,试求出 c 的取值范围,若不存在,说明理由。

7.设函数 f ( x) ? (1 ? x) 2 ?2 ln(1 ? x)
(I)若存在 x0 [0,1] 使不等式 f ( x0 ) ? m ? 0 能成立,求实数 m 的最小值; (II)关于 x 的方程 f ( x) ? x 2 ? x ? a在[0,2] 上恰有两个相实根,求实数 a 的取值范围.

8.设 x1 , x 2 是函数 f ( x) ?

a 3 b 2 x ? x ? a 2 x(a ? 0) 的两个极值点,且 | x1 | ? | x2 |? 2 3 2

(Ⅰ)求 a 的取值范围; (Ⅱ)求证: | b |?

4 3 . 9

→ → → → → → 9.已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,向量OA ,OB,OC满足:OA-[y+2f /(1)]OB+ln(x+1)OC=0. (1)求函数 y=f(x)的表达式; (2)若 x>0,证明:f(x)> 2x ; x+2

1 (3)若不等式 x2≤f(x2)+m2-2bm-3 时,x∈[-1,1]及 b∈[-1,1]都恒成立,求实数 m 的取值范围. 2

10 已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? x .(1)求函数 f ( x) 的单调递减区间;(2)若 x ? ?1 ,求证: 1 ?

1 ≤ ln(x ? 1) ≤x. x ?1

11.已知 f ( x) ? ax ? ln(? x), x ? [?e, 0), g ( x) ? ? (1)讨论 a ? ?1 时, f ( x ) 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下, | f ( x ) |? g ( x ) ?

ln(? x) , 其中 e 是自然常数, a ? R. x

1 . 2

(3)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3,如果存在,求出 a 的值;如果不存在,说明理由。

q p 12.设 f (x) = px- -2 ln x,且 f (e) = qe- -2(e 为自然对数的底数) x e (I) 求 p 与 q 的关系; (II) 若 f (x) 在其定义域内为单调函数,求 p 的取值范围; (III) 设 g(x) = 2e ,若在 [1,e] 上至少存在一点 x0,使得 f (x0) > g(x0) 成立, 求实数 p 的取值范围. x


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