第七章 第五节 直线、平面垂直的判定学与性质


1.(2011· 南通模拟)关于直线m,n和平面α,β,有以下 四个命题: ①若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥n;②若m∥n, m?α,n⊥β,则α⊥β;

③若α∩β=m,m∥n,则n∥α且n∥β;④若
m⊥n,α∩β=m,则n⊥α或n⊥β. 其中假命题的序号是________.

解析:画出相应图形,借助定理可知填①③④. 答案:①③④

2.下面命题中:

①两平面相交,如果所成的二面角是直角,则这两个
平面垂直; ②一平面与两平行平面中的一个垂直,则与另一个平 面也垂直; ③两平面垂直,经过第一个平面上一点垂直于它们交

线的直线必垂直于第二个平面.
其中正确的命题有________.

解析:①两平面垂直的定义,正确. ②借助于实物或画图都可得出结论,正确.

③应为在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于第二
个平面,错误. 答案: ①②

3.(2010· 盐城模拟)已知l是一条直线,α,β是两个 不 同的平面.若从“①l⊥α;②l∥β;③α⊥β”中选取 两个作为条件,另一个作为结论,试写出一个你 认为正确的命题________.(请用代号表示)

解析:由立体几何的定理或画出图形可知①②?③.
答案:①②?③

4.如图,平面ABC⊥平面BDC, ∠BAC=∠BDC=90°,且AB =AC=a,则AD=________.

解析:取BC中点E,连结ED、AE, ∵AB=AC,∴AE⊥BC. ∵平面ABC⊥平面BDC,∴AE⊥平面BCD. 1 2 ∴AE⊥ED.在Rt△ABC和Rt△BCD中,AE=ED= BC= a, 2 2 ∴AD= AE2+ED2=a.

答案:a

5.设直线m与平面α相交但不垂直,给出以下说法:
①在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直; ②过直线m有且只有一个平面与平面α垂直; ③与直线m垂直的直线不可能与平面α平行; ④与直线m平行的平面不可能与平面α垂直. 其中错误的是________.

解析:因为直线m是平面α的斜线,在平面α内,只要和

直线m的射影垂直的直线都和m垂直,所以①错误;②正
确;③错误,设b?α,b⊥m,c∥b,c ?α,则c∥α, c⊥m;④错误,如正方体AC1,m是直线BC1,平面ABCD 是α,则平面ADD1A1既与α垂直,又与m平行. 答案:①③④

1.直线与平面垂直
(1)定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就 说直线l与平面α互相垂直,记作 l⊥α . (2)判定定理:一条直线与一个平面内的 两条相交 直线都 垂直,则该直线与此平面垂直. 用符号表示为:l⊥a,l⊥b,a?α,b?α, a∩b=P ?l⊥α.

(3)性质: ①若l⊥α,a?α? 直的一种重要方法. ②性质定理:垂直于同一平面的两条直线 平行 . a∥.b l⊥a ,这是我们在空间证明线线垂

用符号表示:a⊥α,b⊥α?

2.直线和平面所成的角 (1)定义:平面的一条斜线和 它在平面上的射影 所成的锐 角叫做这条直线和这个平面所成的角. 规定:当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时, 则直线和平面所成的角分别为 π和0 . 2 π (2)线面角的范围为 [0, ] . 2

3.二面角 (1)二面角:从一条直线 出发的两个半平面 所 组成的图形叫做二面角.这条直线叫做 二面角的棱 .两个半平面叫做二面角的面. 如图,记作:αlβ 或 αABβ或PABQ.

(2)二面角的平面角 如图,二面角αlβ, 若有①O∈l, ②OA?α,OB?β, ③OA⊥l,OB⊥l,

则∠AOB就叫做二面角αlβ的平面角.

4.平面与平面垂直

考点一

直线和平面垂直的判定和性质

如图,在四棱锥P-ABCD中, PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.

(1)求证:CD⊥AE;
(2)求证:PD⊥面ABE.

[自主解答] (1)∵PA⊥底面ABCD, ∴CD⊥PA. 又CD⊥AC,PA∩AC=A,

∴CD⊥面PAC.
AE?面PAC,故CD⊥AE.

(2)∵PA=AB=BC,

∠ABC=60°,
∴PA=AC,又E是PC的中点, ∴AE⊥PC. 由(1)知CD⊥AE, 从而AE⊥面PCD, 故AE⊥PD. 易知BA⊥PD,AE∩BA=A,

故PD⊥面ABE.

解:若PC⊥BD, 又PA⊥BD,PA∩PC=P, 若PA垂直于矩形ABCD 所在的平面,当矩形 ABCD满足什么条件时,

∴BD⊥平面PAC,
∴BD⊥AC,即矩形ABCD 的对角线互相垂直. ∴矩形ABCD为正方形,即

有PC⊥BD?

当矩形ABCD为正方形时,PC⊥BD.

如图,已知PA垂直于矩形ABCD所在
的平面,M、N分别是AB、PC的中点, 若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.

证明:如图,取 PD 的中点 E,连接 AE,NE. ∵E、N 分别为 PD、PC 的中点, 1 ∴EN 綊 CD. 2 又∵M 为 AB 的中点,

1 ∴AM 綊 CD. 2

∴EN 綊 AM,

∴四边形 AMNE 为平行四边形, ∴MN∥AE, ∵PA⊥平面 ABCD,∠PDA=45° ,

∴△PAD为等腰直角三角形,
∴AE⊥PD. 又∵CD⊥AD,CD⊥PA,AD∩PA=A, ∴CD⊥平面PAD,而AE?平面PAD, ∴CD⊥AE,又CD∩PD=D,

∴AE⊥平面PCD,
∴MN⊥平面PCD.

考点二

平面和平面垂直的判定

如图,已知三棱锥A-BPC中, AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB的中点, D为PB的中点,且△PMB为正三角形. (1)求证:DM∥平面APC; (2)求证:平面ABC⊥平面PAC; (3)若BC=4,AB=20,求三棱锥D-BCM的体积.

[自主解答] (1)∵M为AB的中点,D为PB的中点,
∴DM∥AP, 又∵DM?平面APC, AP?平面APC, ∴DM∥平面APC.

(2)∵△PMB为正三角形,且D为PB的中点,

∴DM⊥PB.
又由(1)知MD∥AP, ∴AP⊥PB. 又已知AP⊥PC, ∴AP⊥平面PBC.

∴AP⊥BC,
又∵AC⊥BC, ∴BC⊥平面APC,∴平面ABC⊥平面PAC.

(3)∵AB=20, ∴MB=10,PB=10. 又 BC=4, ∴PC= 100-16= 84=2 21, 1 1 1 ∴S△BDC= S△PBC= BC· PC= ×4×2 21=2 21. 2 4 4 1 1 又 MD= AP= 202-102=5 3, 2 2 1 1 ∴VD-BCM=VM-BCD= S△BDC· DM= ×2 21×5 3=10 7. 3 3

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分别是A1B、A1C
的中点, 点D在B1C1上,A1D⊥B1C.求证: (1)EF∥平面ABC; (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.

证明:(1)因为E、F分别是A1B、A1C的中点,所以EF∥BC,

又EF?平面ABC,BC?平面ABC.所以EF∥平面ABC.
(2)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱, 所以BB1⊥平面A1B1C1, 所以BB1⊥A1D, 又A1D⊥B1C,B1C∩BB1=B1.

所以A1D⊥平面BB1C1C,
又A1D?平面A1FD, 所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.

考点三

直线、平面垂直的综合应用

(2011· 厦门模拟)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知 BD= 2AD=8,AB=2DC=4 5. (1)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积.

[自主解答] (1)证明:在△ABD 中, ∵AD=4,BD=8,AB=4 5, ∴AD2+BD2=AB2. ∴AD⊥BD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, BD?平面 ABCD, ∴BD⊥平面 PAD. 又 BD?平面 MBD, ∴平面 MBD⊥平面 PAD.

(2)过 P 作 PO⊥AD, ∵平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴PO⊥平面 ABCD. 即 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高, 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形. ∴PO=2 3. 在底面四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB=2DC,

∴四边形 ABCD 是梯形, 在 Rt△ADB 中, 4×8 8 5 斜边 AB 边上的高为 = , 5 4 5 此即为梯形 ABCD 的高. 2 5+4 5 8 5 ∴S 四边形 ABCD= × =24. 2 5 1 ∴VP-ABCD= ×24×2 3=16 3. 3

如图①,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,

∠BAD=90°,将△ABD沿对角线BD折起,记折起后点的位
置为P,且使平面PBD⊥平面BCD,如图②.

(1)求证:平面PBC⊥平面PDC; (2)在折叠前的四边形ABCD中,作AE⊥BD于E,过E作 EF⊥BC于F,求折起后的图形中∠PFE的正切值.

解:(1)证明:折叠前,在四边形ABCD中,
AD∥BC,AD=AB,∠BAD=90°,所以△ABD为等腰直 角三角形.又因为∠BCD=45°,所以∠BDC=90°.折叠 后,因为面PBD⊥面BCD,CD⊥BD,所以CD⊥面PBD. 又因为PB ?面PBD,所以CD⊥PB. 又因为PB⊥PD,PD∩CD=D,所以PB⊥面PDC. 又PB?面PBC,故平面PBC⊥平面PDC.

(2)AE⊥BD,EF⊥BC,折叠后的位置关系不变, 所以 PE⊥BD.又面 PBD⊥面 BCD, 所以 PE⊥面 BCD,所以 PE⊥EF. 2 设 AB=AD=a,则 BD= 2a,所以 PE= a=BE. 2 在 Rt△BEF 中,

2 2 1 EF=BE· sin45° = a× = a. 2 2 2 2 a PE 2 在 Rt△PFE 中,tan∠PFE=EF= = 2. 1 a 2

线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质是高

考考查的热点,填空题突出“小而巧”,主要考查垂直的
判定及性质,解答题考查较全面,重点考查学生的空间想 象能力,逻辑推理能力以及计算能力.

[考题印证] (2010· 山东高考)(12分)在如图
所示的几何体中,四边形ABCD是 正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥ MA,E、G、F分别为MB、PB、PC 的中点,且AD=PD=2MA. (1)求证:平面EFG⊥平面PDC; (2)求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比.

[规范解答] (1)证明:由已知MA⊥平面ABCD,PD∥MA, 所以PD⊥平面ABCD.

又BC?平面ABCD,
所以PD⊥BC. 因为四边形ABCD为正方形, 所以BC⊥DC. 又PD∩DC=D,

因此BC⊥平面PDC.……………………………………(4分) 在△PBC中,因为G、F分别为PB、PC的中点,

所以GF∥BC,因此GF⊥平面PDC.
又GF?平面EFG, 所以平面EFG⊥平面PDC.………………………………(6分)

(2)因为 PD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,不妨设 MA=1,则 PD=AD=2, 1 8 所以 VP-ABCD= S 正方形 ABCD· PD= .……………………………………(8 分) 3 3 由于 DA⊥平面 MAB,且 PD∥MA, 所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离, 1 1 1 2 VP-MAB= S△MAB· DA= × ×1×2×2= , …………………………(11 分) 3 3 2 3 所以 VP-MAB∶VP-ABCD=1∶4.………………………………………(12 分)

1.证明线面垂直的方法
(1)利用线面垂直的判定定理.此种方法要注意平面内的 两条直线必须相交. (2)利用面面垂直的性质 两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于 另一个平面,此种方法要注意“平面内的直线”. 2.当直线和平面垂直时,该直线垂直于平面内的任一直

线,常用来证明线线垂直.

3.面面垂直的判定方法

(1)定义法.
(2)判定定理 若a?α,a⊥β,则α⊥β. 4.两个平面垂直的性质定理,可以作为直线和平面垂直 的判定定理.当条件中有两个平面垂直时,常添加的辅 助线是在一个平面内作两平面交线的垂线.

1.已知α、β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条 直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的________条件.

解析:由面面垂直的判定定理可知必要性成立,而当两 平面α、β垂直时,α内的直线m只有在垂直于两平面的

交线时才垂直于另一个平面β,
∴为必要不充分条件. 答案:必要不充分

2.(2011· 无锡模拟)如图,在正方体ABCD

-A1B1C1D1中,给出以下四个结论:
①直线D1C∥平面A1ABB1; ②直线A1D1与平面BCD相交; ③直线AD⊥平面D1DB; ④平面BCD1⊥平面A1ABB1.

其中,所有正确结论的序号为________.

解析:对于①,D1C∥A1B,∴D1C∥平面A1ABB1,故①
正确;对于②,直线A1D1?平面BCD1,故②不正确; 对于③,因为直线AD和BD不垂直,所以直线AD不垂直 于平面D1DB,故③错误;对于④,因为BC⊥平面 A1ABB1,而BC?平面BCD1,所以平面BCD1⊥平面 A1ABB1,故④正确. 答案: ①④

3.PA垂直于正方形ABCD所在平面,连接PB,PC,PD,
AC,BD,则一定互相垂直的平面是________(填序号). ①面PAB⊥面PBC;

②面PAB⊥面PAD;
③面PAB⊥面PCD; ④面PAB⊥面PAC.

解析:∵BC⊥面PAB, ∴面PBC⊥面PAB,

∴①正确.同理AD⊥面PAB,
∴面PAD⊥面PAB, ∴②正确. 答案: ①②

4.(2011· 汕头模拟)已知α、β、γ是三个互不重合的平面,

l是一条直线,给出下列四个命题:
①若α⊥β,l⊥β,则l∥α; ②若l⊥α,l∥β,则α⊥β; ③若l上有两个点到α的距离相等,则l∥α; ④若α⊥β,α∥γ,则γ⊥β.

其中正确命题的序号是________.

解析:①若α⊥β,l⊥β,则l∥α 或 l?α,所以① 错误; ③若l上有两个点到α的距离相等,则l∥α或l与α相交, 所以③错误. 答案:②④

5.在△ABC中, ∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°, PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的 最小值为________.

解析:∵PC⊥平面 ABC,CM?平面 ABC, ∴PC⊥CM, ∴PM= PC2+CM2= 16+CM2 要使 PM 最小,只需 CM 最小,此时 CM⊥AB, 4× 4 3 ∴CM= = 2 3, 8 ∴PM 的最小值为 2 7.
答案:2 7

6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 已知P,Q,R,S分别为棱A1D1,A1B1, AB,BB1的中点,求证:平面PQS⊥

平面B1RC.

证明:连接BC1交B1C于点O,则O为 BC1的中点,连接RO,AC1, ∵R是AB的中点,∴RO∥AC1.

∵P,Q分别为A1D1,A1B1的中点,
易知A1C1⊥PQ, ∴AC1⊥PQ.同理可证QS⊥AC1, ∴AC1⊥平面PQS. ∴RO⊥平面PQS.

又∵RO?平面B1RC,
∴平面PQS⊥平面B1RC.

①②

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