1.2曲线的切线与瞬时速度、瞬时加速度


1.2曲线的切线与瞬时速度、 1.2曲线的切线与瞬时速度、瞬时加速度 曲线的切线与瞬时速度

复习 平均变化率 一般地,函数 在区间上[x 一般地,函数f(x)在区间上 1,x2]的平均变化率为 在区间上 的平均变化率为

?y f (x2 ) ? f (x1) f (x1 +?x) ? f (x1) = = ?x x2 ? x1 ?x
几何意义:表示直线 的斜率。 几何意义:表示直线A(x1,y1)B(x2,y2)的斜率。 的斜率

1、曲线的切线 、
y

y=f(x) Q

割 线 T 切线

o

P

x

k PQ

?y f (x + ?x) ? f (x) = = ?x ?x

当?x→0时,kPQ →点P处切线的斜率 → 时 处切线的斜率

例1.求曲线 求曲线y=x2+1在点 在点P(1,2)处的切线的方程。 处的切线的方程。 求曲线 在点 处的切线的方程 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 切线方程 (1)设点 0,f(x0)),Q(x0+ ?x,f(x0+ ?x)) 设点P(x 设点 (2)求割线 的斜率 PQ 求割线PQ的斜率 求割线 的斜率:k (3)当?x→0时,kPQ →点P处切线的斜率 当 → 时 处切线的斜率 (4)然后利用点斜式求切线方程 然后利用点斜式求切线方程

2、物理意义——瞬时速度 、物理意义 瞬时速度

?s 在物理学中, 在物理学中,我们学过平均速度v = ?t
平均速度反映了在某一段时间内 运动的快慢程度,那么, 运动的快慢程度,那么,如何刻画在 某一时刻运动的快慢程度呢 运动的快慢程度呢? 某一时刻运动的快慢程度呢?

我们去蹦极,假设我们下降的运动符合方程 例2我们去蹦极 假设我们下降的运动符合方程 我们去蹦极
1 s = g t 2 ,请同学们计算在第 秒时的速度 即 请同学们计算在第3秒时的速度 请同学们计算在第 秒时的速度,即 2

t=3时的瞬时速度呢 时的瞬时速度呢? 时的瞬时速度呢
解 : 先计算t = 3到t = 3 + ?t时间内的平均速度, 1 1 2 g (3 + ?t ) ? g ? 32 ?s 2 1 2 v= = g (6 + ?t ) = ?t (3 + ?t ) ? 3 2 当?t无限趋近于0时, v无限趋近于常数3 g , 此即t = 3秒时的瞬时时速

结论:设物体作直线运动所经过的路程为 结论 设物体作直线运动所经过的路程为s=s(t). 设物体作直线运动所经过的路程为 为起始时刻,物体在? 时间内的平均速度为 以t0为起始时刻,物体在?t时间内的平均速度为

f (t 0 + ? t ) ? f (t 0 ) ?s = v= ?t ?t
当?t→0时, → 时
v → 常数

时刻的瞬时速度 瞬时速度. 这个常数就是物体在t0时刻的瞬时速度.

3、物理意义——瞬时加速度 、物理意义 瞬时加速度 设一辆轿车在公路上做加速直线运动,假设 例3.设一辆轿车在公路上做加速直线运动 假设 设一辆轿车在公路上做加速直线运动 假设t 秒时轿车的加速度 秒时的速度为v(t)=t2+3,求t=5秒时轿车的加速度 秒时的速度为 求 秒时轿车的加速度. 结论设物体作直线运动速度为 物体在? 时 结论设物体作直线运动速度为v=f(t). 物体在?t时 设物体作直线运动速度为 间内的平均加速度为
f (t0 + ? t ) ? f (t0 ) a = ?t

当 ?t →0 时 ,

a→常数 →

时刻的瞬时 速度. 瞬时加 这个常数就是物体在t0时刻的瞬时加速度.

小结: 小结:
(1)求曲线上一点切线的斜率时 先利用平均变化率求 求曲线上一点切线的斜率时,先利用平均变化率求 求曲线上一点切线的斜率时 先利用平均变化率 出割线的斜率,再令 → 求出 再令? 求出切线的斜率 出割线的斜率 再令?x→0,求出切线的斜率 (2)在求瞬时速度时 先利用平均变化率求出平均速度 再 在求瞬时速度时,先利用平均变化率求出平均速度 在求瞬时速度时 先利用平均变化率求出平均速度,再 求出瞬时速度 令?x→0,求出瞬时速度 → 求出 (3)在求瞬时加速度时 先利用平均变化率求出平均速 在求瞬时加速度时,先利用平均变化率求出平均速 在求瞬时加速度时 先利用平均变化率 度,再令?x→0,求出瞬时加速度. 再令? → 求出瞬时加速度 再令 求出瞬时加速度

?x→0 →

平均变化率

瞬时变化率

1.3导数的概念 导数的概念

1.导数:函数在某点处的瞬时变化率 导数: 导数 一般地,函数 = 一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是 在

f ( x 0 + ? x ) ? f ( x0 ) ?y lim = lim ?x → 0 ? x ?x → 0 ?x
则称函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作

f '( x0 )或y ' | x = x0 ,即 f ( x 0 + ? x ) ? f ( x0 ) ?y f '( x0 ) = lim = lim ?x → 0 ? x ?x → 0 ?x

几个注意点
1:导数f’(x0)的几何意义: :导数 的几何意义: 的几何意义 切线的斜率
y P 斜率为y= 斜率为 =f’(x0) y=f(x) = O x0 x

2:x0是区间 ,b)内点,△x可正可负 : 是区间(a, 内点 内点, 可正可负 可正可负. 3:函数y=f(x)在x=x0处可导,则曲线 =f(x) :函数 = 在 = 处可导,则曲线y= 在x=x0处必须连续且光滑 = 处必须连续且光滑.*

例1:求函数y=x2+2在x= 1, x=a 处的导数. :求函数 = 在 = 处的导数

求函数y=f(x)在点 在点(x0,y0)处的导数的步骤: 处的导数的步骤: 求函数 在点 处的导数的步骤 (1)求函数的增量△y=f(x0+ △x)-f(x0); 求函数的增量△ 求函数的增量 (2)求平均变化率△y/ △x; 求平均变化率△ 求平均变化率 (3)取极限得导数 取极限得导数
f ( x0 + ? x ) ? f ( x0 ) f ( x ) ? f ( x0 ) f '( x0 ) = lim = lim ?x → 0 x → x0 x ? x0 ?x

2.导函数 导数 若函数 =f(x)在区间 ,b)内任 导函数(导数 若函数y= 在区间 在区间(a, 内任 导函数 导数)若函数 何一点都可导, 何一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变 在各点的导数也随着自变 的变化而变化, 的函数, 量x的变化而变化,因而也是自变量 的函数, 的变化而变化 因而也是自变量x的函数 该函数称为f(x)在区间 ,b)上的导函数,记作 在区间(a, 上的导函数, 上的导函数 该函数称为 在区间
f ( x + ?x ) ? f ( x ) f '( x ) = lim ?x → 0 ?x

注意:在不引起混淆时 导函数 注意 在不引起混淆时,导函数 f’(x).也简称为 在不引起混淆时 也简称为 f(x)的导数 的导数

求下列函数的导函数: 例2.求下列函数的导函数: 求下列函数的导函数

(1) y =

x

1 (2) y = x

3.导函意义: 导函意义: 导函意义
(1)几何意义:函数y=f(x)在x0处的导数 ’(x0),是曲线 几何意义:函数 几何意义 在 处的导数f , y=f(x)在点 0,f(x0))处的切线的斜率。 在点P(x 处的切线的斜率 在点 处的切线的斜率。 (2)物理意义 :时间与位移的关系式为 物理意义1:时间与位移的关系式为s=f(t)在t0处的导 物理意义 在 瞬时速度。 数f’(t0),是物体在 0时刻的瞬时速度。 ,是物体在t 时刻的瞬时速度 (3)物理意义 :时间与速度的关系式为 物理意义2:时间与速度的关系式为v=f(t)在t0处的导 物理意义 在 瞬时加速度。 数f’(t0),是物体在 0时刻的瞬时加速度。 ,是物体在t 时刻的瞬时加速度

已知曲线y=x3上一点 上一点P(2,8), 例3.已知曲线 已知曲线 , 求点p处的切线方程。 求点 处的切线方程。 处的切线方程

作业: 作业: 2.选做:求下列函数的导函数. 选做: 选做 求下列函数的导函数. (1)y=kx+b; (2)y=c; = + ; = ;


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