高二数学曲线和方程


曲线和方程知识总结及练习
一、知识小结
1.曲线和方程的概念: 在直角坐标系中, 如果曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹) 与方程 F ? x, y ? ? 0 的实数解集之间具有以下两个关系: (1)曲线 C 上的点的坐标都是方程 F ? x, y ? ? 0 的解; ( 2 )以方程 F ? x, y ? ? 0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点,那么曲线 C 上的点与方程 此时把方程 F ? x, y ? ? 0 叫做曲线 C 的方程, 曲线 C 叫做方程 F ? x, y ? ? 0 的解是一一对应的,
F ? x, y ? ? 0 的曲线.

定义中条件(1)说明曲线上没有哪个点的坐标不满足方程,即曲线上所有点都适合这 个条件而毫无例外,即曲线具有纯粹性;条件(2)说明适合条件的点都有在这条曲线上而 无一遗漏,也就是说曲线具有完备性.由曲线与方程的关系可以知道,曲线的方程实质就是 这条曲线上的任意一点的横坐标 x 与纵坐标 y 之间的等量关系. 注意点:数形结合分析问题. 2.点与曲线的关系的判断: 若曲线 C 的方程 F ? x, y ? ? 0 ,则点 P 0 ? x0 , y0 ? ? C ? F ? x0 , y0 ? ? C ? F ? x0 , y0 ? ? 0 ,即要 判断一个点是否在曲线上,只要把点的坐标代入曲线方程,如果满足方程,则点在曲线上; 如果不满足方程,则点不在曲线上. 注意点:用代入法来解决问题. 3.求曲线的方程的一般步骤: (1)建立适当的直角坐标系(建系) ; (2)设曲线上任意一点的坐标为 ? x, y ? (设点) ; (3)根据曲线上点所适合的条件,写出等式(列式) ; (4)用坐标 x , y 表示这个等式,并化方程为最简形式(化简) ; (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(证明) . 注意点:要检验,防止出现增解或失解. 4.求曲线的方程的一般方法: (1)直接法:根据题意与条件,设出动点坐标,直接列出相关等式,然后化简得结果; (2)代入法:设出动点坐标,然后找出相关点的联系,利用相关点的规律,从而得出动点 之间关系的等式; 注意点:过程中要保持等价变形,这样可省略检验环节. 5.曲线的交点的求法:

如果曲线 C1 、C2 的方程分别为 F1 ? x, y ? ? 0 、F2 ? x, y ? ? 0 ,则点 P ? x0 , y0 ? ? 0 是曲线 C1 、
?F ?x , y ? ? 0 ? . C2 交点的充要条件是 ? 1 0 0 ? ? F2 ? x0 , y0 ? ? 0

由曲线上点的坐标和它的方程的实数解之间的对应关系可知,两条曲线交点的坐标应 该是这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解. 方程组有几组实数解, 两条曲线就有几个 交点;方程组没有实数解,两条曲线就没有交点.因此,求曲线的交点坐标就是求曲线的方 程所组成的方程组的解. 注意点:代数与几何方法要结合. 6.解析几何的本质: 用代数的方法来研究几何问题, 具体来说就是用方程的思想来解决曲线的问题. 其中会 涉及两个主要问题: (1)已知曲线,求相应的方程; (2)已知方程,画出相应的曲线,并研究其相关的性质.

二、应用举例:
例 1、方程 y ? a ? x ? 1? ? b ? x ? 1? ? c 的曲线过原点的条件是
2



例 2、到两坐标轴距离的积为 2 的动点轨迹方程是



例 3、已知定点 Q ? 4,0 ? , P 为曲线 x2 ? y 2 ? 4 上一个动点,那么线段 PQ 中点的轨迹方程是 _____________.

三、应用举例
x2 ? y 2 ? 1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线 4 段 OP 中点,则点 M 的轨迹方程是_____________.
例 4、设 P 为曲线

y
2

P( x0 , y0 )

O

R ( x, y ) x 4 Q 2

例 5、已知直线 y ? ?kx ? k 与曲线 y ? x2 ? 2 x . ( 1 ) 当 直 线 被 曲 线 截 得 的 线 段 长 为 10 时 , 直 线 方 程 是 ________________; (2)直线与曲线相交而得交点的中点轨迹方程是____________.
P ( x, y )
y

o

x
2

1

例 6、长为 a 的线段的两端点分别在直线 y ? x 和 y ? ?x 上运动,则线段中点的轨迹为 .

y
( x, y )

B
O

a

A

x

例 7、 若直线 mx ? y ? m ? 0 与抛物线 y ? x2 ? 4x ? 3 的两个不同交点都在第一象限, 则实数 m 的取值范围为__________.

y
3

x
?1

o

1

3

0 、N ? 例 8 、 已 知 两 点 M ? ?2 , ?

2? , , 0 点 P 为坐标平面内的动点,且满足

???? ? ???? ???? ? ??? ? MN ? MP ? MN ? NP ? 0 ,则动点 P 的轨迹方程为

例 9 、 直线 y ? kx ? 2 交 曲 线 y 2 ? 8 x 于 A 、 B 两 点 , 若 弦 AB 中 点 的 横 坐标 为 2 , 则
k ? ________.

例 10、设过点 P ? x, y ? 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A , B 两点,点 Q 与
??? ? ??? ? ???? ??? ? O 为坐标原点, 点 P 关于 y 轴对称, 若 BP ? 2 PA 且 OQ ? AB ? 1, 则点 P 的轨迹方程是 (

) .

(A) 3x2 ?

3 2 y ? 1? x ? 0, y ? 0? 2

(B) 3x2 ?

3 2 y ? 1? x ? 0, y ? 0? 2

3 (C) x2 ? 3 y 2 ? 1? x ? 0, y ? 0? 2

3 (D) x2 ? 3 y 2 ? 1? x ? 0, y ? 0? 2

例 11、已知动点 P 到定点 F ?1,0 ? 和直线 x ? 3 的距离之和等于 4,求点 P 的轨迹方程.

例 12、已知△ ABC 的两个顶点 B ? ?8,0? , C ? 0,0 ? ,顶点 A 在曲线 x2 ? y 2 ? 16 x ? 0 上运动, 求△ ABC 的重心的轨迹方程.


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