第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及性质


第 五节 第 七 章 立 体 几 何 直线 、平 面垂 直的 判定 及性 质

高考成功方案第一步

高考成功方案第二步

高考成功方案第三步

高考成功方案第四步

考纲点击 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理 解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形

垂直关系的简单命题.

返回

返回

1.直线a⊥平面α,b∥α,则a与b的关系为

(

)

A.a⊥b,且a与b相交
C.a⊥b

B.a⊥b,且a与b不相交
D.a与b不一定垂直

解析:∵a⊥α,b∥α,∴a⊥b,但不一定相交. 答案:C

返回

2.已知α、β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条
直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:α⊥βD m⊥β ? ? ??α⊥β. m⊥β,但 m?α? ?

(

)

答案:B

返回

3.(2011· 浙江高考)下列命题中错误的是

(

)

A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平
行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存 在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,

那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直 于平面β

返回

解析:对于D,若平面α⊥平面β,则平面α内的直线可能不
垂直于平面β,甚至可能平行于平面β,其余选项易知均是 正确的.

答案:D

返回

4.已知直线l、m,平面α、β,且l⊥α,m?β, 给出下列四个命题: ①若α∥β,则l⊥m;

②若l⊥m,则α∥β;
③若α⊥β,则l∥m; ④若l∥m,则α⊥β; 其中正确命题的序号是________.

返回

解析:∵l⊥α,α∥β,

∴l⊥β.
又∵m?β,∴l⊥m,故①正确; 直线l与β内的一条直线m垂直,l与β的关系不确定,α与β 的关系也不确定,故②错误; l⊥α,α⊥β,可能有l?β,故③错误;

∵l⊥α,m∥l,∴m⊥α,又m?β,
∴α⊥β,故④正确.

答案:①④

返回

5.如图,AB是⊙O的直径,PA垂直 于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于

A,B的任意一点,则图中互相垂直的
平面共有________对.

返回

解析:∵AB是⊙O的直径, ∴BC⊥AC. 又∵PA⊥平面ABC,

∴BC⊥平面PAC.
∴平面PAC⊥平面ABC,平面PAB⊥平面ABC, 平面PBC⊥平面PAC,共3对. 答案:3

返回

1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线l与平面α内的 任意一条 直线都垂直,

就说直线l与平面α互相垂直.

返回

(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论 文字语言 判 定 定 理 一条直线与平面 内的两条相交直 线 垂直,则这 条直线与这个平 面垂直 a、b?α a∩b=O l⊥a l⊥b
? ? ? ?l⊥α ? ?

图形语言

符号语言

返回

文字语言 如果在两条平行直线中, 推 有一条垂直于平面,那么

图形语言

符号语言 a∥b a⊥α

论 另一条直线也垂直 这个平


? ? ??b⊥α ? ?

返回

(3)直线与平面垂直的性质定理 文字语言 性 质 垂直于同一个平面的两条 直线 平行 图形语言 符号语言 a⊥α b⊥α
? ??a∥b ?




返回

2.直线与平面所成的角 平面的一条斜线和 它在平面上的射影 所成的锐角叫做这 π [0,2] 条直线和这个平面所成的角,线面角的范围是 .

返回

3.二面角

从一条直线 出发的两个半平面 所组
成的图形叫做二面角.这条直线叫做 二面角的棱 .两个半平面叫做二面角面. 如图,记作:α- β或α- β或 lABP- Q. AB-

返回

4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定定理 文字语言 判定 定理 一个平面过另一个平面 的一条 垂线 ,则这两个 l? β l⊥α
? ? ??α⊥β ? ?

图形语言

符号语言

平面互相垂直

返回

(2)平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 α⊥β l?β α∩β=a l⊥a
? ? ? ? ?

性 两个平面互相垂直,则
质 一个平面内垂直于 交线 定 的直线垂直于另一个平 理 面

?l⊥α

返回

返回

[做一题]
[例1] (2011· 新课标全国卷)如图,四棱锥P -ABCD中,底面ABCD为平行四边形, ∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (1)证明:PA⊥BD;

(2)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.

返回

[自主解答]

(1)证明:因为∠DAB=60° ,AB=2AD,

由余弦定理得BD= 3AD. 所以BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD. 又PD⊥底面ABCD,所以BD⊥PD. 所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD. (2)如图,作DE⊥PB,垂足为E. 已知PD⊥底面ABCD,故PD⊥BC.

返回

由(1)知BD⊥AD,BC∥AD, 所以BC⊥BD. 所以BC⊥平面PBD,BC⊥DE. 则DE⊥平面PBC. 由PD=AD=1知BD= 3,PB=2. 3 由DE· PB=PD· BD得DE= , 2 3 即棱锥D-PBC的高为 . 2

返回

保持例题条件不变,试判断平面PBD与平面PBC是否垂直?
解:由例(1)知BD⊥AD, ∵AD∥BC,∴BD⊥BC. 又∵PD⊥平面ABCD, ∴BC⊥PD. 由①②知PD∩BD=D,BC⊥平面PBD. 又BC?平面PBC, ② ①

∴平面PBD⊥平面PBC.

返回

[悟一法] 1.证明直线和平面垂直的常用方法有:
方法一 利用判定定理 方法二

利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b,
a⊥α?b⊥α)

方法三 利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β?a⊥β) 方法四 利用面面垂直的性质 2.当直线和平面垂直时,该直线垂直于平面内的任意一条直 线,常用来证明线线垂直.

返回

[通一类] 1.如右图所示,已知PA⊥矩形ABCD所 在平面,M,N分别是AB,PC的中点.

(1)求证MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求证MN⊥平面PCD.

返回

证明:(1)如图所示,连接AC,AN,BN, ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC. 在Rt△PAC中,N为PC中点, 1 ∴AN= PC.∵PA⊥平面ABCD, 2 ∴PA⊥BC.又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB. ∴BC⊥PB.从而在Rt△PBC中,BN为斜边PC上的中线, 1 ∴BN= PC,∴AN=BN.∴△ABN为等腰三角形. 2

返回

又M为底边AB的中点,∴MN⊥AB. 又∵AB∥CD,∴MN⊥CD. (2)如图所示,连接PM,CM,∵∠PDA=45°,PA⊥AD, ∴AP=AD.∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,∴PA=

BC.又∵M为AB的中点,∴AM=BM,而∠PAM=
∠CBM=90°,∴PM=CM.又∵N为PC的中点, ∴MN⊥PC.由(1)知,MN⊥CD,PC∩CD=C,∴MN⊥平 面PCD.

返回

[做一题] [例2] 如图所示,△ABC为正三角形,

EC⊥平面ABC,BD∥CE,EC=CA=2BD,
M是EA的中点.求证: (1)DE=DA; (2)平面BDM⊥平面ECA.

返回

[自主解答] (1)如图所示,取EC中点F,连接DF.

∵EC⊥平面ABC,BD∥CE,
∴DB⊥平面ABC. ∴DB⊥AB,∴EC⊥BC. ∵BD∥CE,BD=CE=FC, ∴四边形FCBD是矩形,∴DF⊥EC. 又BA=BC=DF, ∴Rt△DEF≌Rt△ADB,∴DE=DA.

返回

(2)如图所示,取AC中点N,连接MN、NB, 1 ∵M是EA的中点,∴MN綊 EC. 2 1 由BD綊 EC,且BD⊥平面ABC,可得四边形MNBD是矩 2 形,于是DM⊥MN,∵DE=DA,M是EA的中点, ∴DM⊥EA.又EA∩MN=M, ∴DM⊥平面ECA,而DM?平面BDM, ∴平面ECA⊥平面BDM.

返回

[悟一法] 面面垂直的性质应用技巧: (1)两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直

于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依
据.运用时要注意“平面内的直线”. (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交 线也垂直于第三个平面,此性质是在课本习题中出现 的,在不是很复杂的题目中,要对此进行证明.

返回

[通一类] 2.(2012· 徐州模拟)在三棱锥P-ABC中, △PAC和△PBC都是边长为 2的 等边三角形,AB=2,O、D分别是 AB、PB的中点. (1)求证:OD∥平面PAC; (2)求证:平面PAB⊥平面ABC.

返回

证明:(1)∵O,D分别为AB,PB的中点, ∴OD∥PA.

又PA?平面PAC,OD?平面PAC,
∴OD∥平面PAC.

返回

(2)连结OC,OP ∵AC=CB= 2,AB=2, ∴∠ACB=90° . 又O为AB的中点,∴OC⊥AB,OC=1,同理, ∴PO⊥AB,PO=1.

返回

又PC= 2,∴PC2=OC2+PO2=2, ∴∠POC=90° . ∴PO⊥OC. 又PO⊥AB,AB∩OC=O, ∴PO⊥平面ABC.PO?平面PAB, ∴平面PAB⊥平面ABC.

返回

[做一题] [例3] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

E、F分别是CD,A1D1的中点. (1)求证:AB1⊥BF;

(2)求证:AE⊥BF;
(3)棱CC1上是否存在点P,使BF⊥平面AEP, 若存在,确定点P的位置,若不存在,说明 理由.

返回

[自主解答]

(1)连接A1B,

则AB1⊥A1B,
又AB1⊥A1F,且A1B∩A1F=A1, ∴AB1⊥平面A1BF.∴AB1⊥BF. (2)取AD中点G,连接FG,BG,则FG⊥AE, 又∵△BAG≌△ADE,

∴∠ABG=∠DAE.
∴AE⊥BG.又∵BG∩FG=G, ∴AE⊥平面BFG.∴AE⊥BF.

返回

(3)存在.取CC1中点P,即为所求.连接EP,AP,C1D,

∵EP∥C1D,C1D∥AB1,∴EP∥AB1.
由(1)知AB1⊥BF,∴BF⊥EP. 又由(2)知AE⊥BF,且AE∩EP=E, ∴BF⊥平面AEP.

返回

[悟一法]

线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化关系:

在线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化中,线线垂
直是最基本的,在转化过程中起穿针引线的作用,线 面垂直是纽带,把线线垂直和面面垂直联系起来.

返回

[通一类] 3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D为AC

中点.求证:
(1)B1C∥平面A1BD; (2)B1C1⊥平面ABB1A1.

返回

证明:(1)如图,连接AB1.
AB1∩A1B=O, 则O为AB1中点. 连接OD,∵D为AC中点, ∴在△ACB1中,有OD∥B1C. 又∵OD?平面A1BD, B1C?平面A1BD,

∴B1C∥平面A1BD.

返回

(2)∵AB=B1B,三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱, ∴ABB1A1为正方形. ∴A1B⊥AB1. 又∵AC1⊥平面A1BD,A1B?平面A1BD, ∴AC1⊥A1B. 又∵AC1?平面AB1C1,AB1?平面AB1C1,

AC1∩AB1=A,

返回

∴A1B⊥平面AB1C1. 又∵B1C1?平面AB1C1, ∴A1B⊥B1C1. 又∵A1A⊥平面A1B1C1,B1C1?平面A1B1C1,

∴A1A⊥B1C1.
又∵A1A?平面ABB1A1,A1B?平面ABB1A1, A1A∩A1B=A1, ∴B1C1⊥平面ABB1A1.

返回

返回

[热点分析] 线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质是 高考考查的热点,客观题突出“小巧”,主要以命题真假

为载体考查垂直的判定及性质,而解答题则以多面体为
载体,综合平行关系考查空间位置关系的证明,重点考 查学生的空间想象力,逻辑推理能力以及运算能力.2011 年山东高考以棱台为载体考查了线线垂直与线面平行的 证明,是高考命题的一个新动向.

返回

[考题印证] (2011· 山东高考)(12分)如图,在四棱台 ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD, 底面ABCD是平行四边形,AB=2AD,AD

=A1B1,∠BAD=60°.
(1)证明:AA1⊥BD; (2)证明:CC1∥平面A1BD.

返回

[一题多解]————————————(条条大道通罗马)

[法一](1)

因为D1D⊥平面ABCD,

且BD?平面ABCD, 所以D1D⊥BD.? 又因为AB=2AD, ∠BAD=60°, 在△ABD中,由余弦定理得 BD2=AD2+AB2-2AD· ABcos60°=3AD2, (2分)

返回

所以AD2+BD2=AB2,
因此AD⊥BD.? 又AD∩D1D=D,所以BD⊥平面ADD1A1. 又AA1?平面ADD1A1, 故AA1⊥BD.? (6分) (4分)

返回

(2)连接 AC,A1C1. 设 AC∩BD=E,连接 EA1, 因为四边形 ABCD 为平行四边形, 1 所以 EC= AC.? 2 (8 分)

由棱台定义及 AB=2AD =2A1B1 知,A1C1∥EC 且 A1C1=EC, 所以四边形 A1ECC1 为平行四边形,因此 CC1∥EA1.(10 分) 又因为 EA1?平面 A1BD,CC1?平面 A1BD,所以 CC1∥平面 A1BD.? (12 分)

返回

[法二] 因为D1D⊥平面ABCD,且BD?平面ABCD,

所以BD⊥D1D.?
取AB的中点G,连接DG, 在△ABD中,由AB=2AD得AG=AD, 又∠BAD=60°,所以△ADG为等边三角形, 因此GD=GB,?

(2分)

(3分)

故∠DBG=∠GDB,又∠AGD=60°,
所以∠GDB=30°,

返回

故∠ADB=∠ADG+∠GDB=60°+30°=90°,

所以BD⊥AD.?

(4分)

又AD∩D1D=D,所以BD⊥平面ADD1A1· 又AA1?平面ADD1A1, 故AA1⊥BD.? (6分)

返回

(2)连接AC,A1C1. 设AC∩BD=E,连接EA1, 因为四边形ABCD为平行四边形, 1 所以EC= AC.? 2 (8分)

返回

由棱台定义及
AB=2AD =2A1B1知, A1C1∥EC且A1C1=EC, 所以四边形A1ECC1为平行四边形,因此CC1∥EA1.? (10分) 又因为EA1?平面A1BD,CC1?平面A1BD, 所以CC1∥平面A1BD.? (12分)

返回

点击下图片进入

返回


相关文档

A046=第七章 第五节 直线、平面垂直的判定与性质
第七章 第五节 直线、平面垂直的判定与性质
第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
第七章 第五节 直线、平面垂直判定及其性质
7章第五节 直线、平面垂直的判定和性质
05第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及性质
第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及性质 2013
第七章 第五节 直线、平面垂直的判定学与性质
第7章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质
第7章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质
2012年数学一轮复习精品试题 直线、平面垂直的判定及其性质
高中_直线、平面垂直的判定与性质(练习)
六、直线与平面垂直的判定和性质2
直线,平面垂直的判定及其性质--面面垂直的性质》课件(新人教必修2).
直线与平面垂直的判定及其性质
电脑版