高一下第一章三角函数检测


(时间 90 分钟,满分 120 分)

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知角 θ 的终边过点(4,-3),则 cos(π-θ)=( 4 A. 5 3 C. 5 B.- 4 5 3 5 )

D.-

4 解析:∵r=5,∴cos(π-θ)=-cos θ=- . 5 答案:B 3π? 2.函数 y=sin? ?3x+ 4 ?的图像的一条对称轴是( π A.x=- 12 C.x= π 8 π B.x=- 4 5π D.x=- 4 3π π π kπ = +kπ,得 x=- + (k∈Z). 4 2 12 3 )

解析:令 3x+

π 当 k=0 时,x=- . 12 答案:A π ? ?sin3x,x≤2 011, 3.设 f(x)=? 则 f(2 012)=( ? ?f?x-4?,x>2 011, 1 A. 2 C. 3 2 B.- 1 2 3 2

)

D.-

解析:f(2 012)=f(2 008)=sin 4π π 3 =sin =-sin =- . 3 3 2 答案:D

4π 2 008 668π+ ? π=sin? 3? ? 3

4.若 cos α+2sin α=- 5,则 tan α=( 1 A. 2 C.- 1 2 B.2 D.-2

)

解析:将已知等式两边平方得 cos2α+4sin2α+4sin αcos α=5(cos2α+sin2α), 化简得 sin2α-4sin αcos α+4cos2α=0, 即(sin α-2cos α)2=0,故 tan α=2. 答案:B 5.y=cos x· tan x 的值域是( A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,1) ) B.[-1,1] D.[-1,0)∪(0,1)

sin x 解析:y=cos x· tan x=cos x· =sin x, cos x π 且 x≠kπ+ ,k∈Z,故函数值域为(-1,1). 2 答案:C 6.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asin ax 的图像不可能是( )

解析:当 a=0 时,f(x)=1,图像即为 C;当 0<a<1 时,函数 f(x)的最大值为 1+a<2, 2π 且最小正周期为 T= >2π,图像即为 A;当 a>1 时,函数 f(x)的最大值为 a+1>2,且最小 a 2π 正周期为 T= a <2π,图像即为 B. 答案:D π π 7.将函数 y=sin(2x+ )的图像经过怎样的平移后所得的图像关于点(- ,0)中心对称 3 12 ( π A.向左平移 个单位 12 π C.向右平移 个单位 12 π B.向左平移 个单位 6 π D.向右平移 个单位 6 )

kπ π π π 解析:函数 y=sin(2x+ )的图像的对称中心为( - ,0),k∈Z,其中离(- ,0)最 3 2 6 12 π π 近的对称中心为(- ,0),故函数图像只需向右平移 个单位即可. 6 12

答案:C π π 8. 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, - ≤φ≤ )的图像如图所示, 2 2 则 f(1)=( A. 2 C.2+ 2 ) B.1+ 2 D.2 2

π π 解析:由函数 f(x)的图像可知:A=2,T=8,φ=0,从而得 ω= ,f(x)=2sin x,得 4 4 π f(1)=2sin = 2. 4 答案:A sin θ 9.已知 tan θ=2,则 3 =( sin θ+cos3θ 10 A. 9 7 C. 10 9 B. 7 9 D. 10 )

sin θ?sin2θ+cos2θ? sin θ 解析: 3 3 = sin θ+cos θ sin3θ+cos3θ = tan3θ+tan θ 8+2 10 = = . tan3θ+1 8+1 9

答案:A 10.下列说法正确的是( π A.在(0, )内,sin x>cos x 2 π 4 B.函数 y=2sin(x+ )的图像的一条对称轴是 x= π 5 5 π C.函数 y= 的最大值为 π 1+tan2x π π D.函数 y=sin 2x 的图像可以由函数 y=sin(2x- )的图像向右平移 个单位得到 4 8 π π 解析:对于 A,结合(0, )内 y=sin x,y=cos x 的图像知,当 x∈(0, )时,cos x>sin 2 4 π π π π π x,x= 时,sin x=cos x,x∈( , )时,sin x>cos x,故 A 错误;对于 B,令 x+ =kπ+ , 4 4 2 5 2 4 k∈Z,显然当 x= π 时,找不到整数 k 使上式成立,故 B 错误;对于 C,由于 tan2x≥0, 5 ∴1+tan2x≥1,∴y= π π ≤π,∴函数 y= 的最大值为 π,C 正确;对于 D,y 1+tan2x 1+tan2x )

向右平移 个 π π π π 8 =sin(2x- ) ????? ? y=sin[2(x-8)-4]=sin(2x-2)=-cos 2x,故 D 错误. 单位 4

?

答案:C 二、填空题(本大题有 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.(2011· 大纲全国卷)已知 α∈(π, sin α ? ?tan α=cos α=2, 解析:依题意得? ?sin2α+cos2α=1, ? 1 由此解得 cos2α= ; 5 又 α∈(π, 答案:- 3π 5 ),因此 cos α=- . 2 5 3π ),tan α=2,则 cos α=________. 2

5 5

12.若 θ∈[0,π),且 cos θ(sin θ+cos θ)=1,则 θ=________. 解析:由 cos θ(sin θ+cos θ)=1?sin θ· cos θ=1-cos2θ=sin2θ?sin θ(sin θ-cos θ)=0 π ?sin θ=0 或 sin θ-cos θ=0,又∵θ∈[0,π),∴θ=0 或 . 4 答案:0 或 π 4

πx 13.已知函数 f(x)= 3sin k 的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆 x2 +y2=k2 上,则 f(x)的最小正周期为________. 解析:T= |k| 2π , 3?在圆上, =2|k|.由题意知? ? 2 ? π ? ? ?k?

k2 ∴ +3=k2,∴|k|=2,∴T=4. 4 答案:4 π π 14.函数 f(x)=2sin(ωx+ ),又 f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值为 ,则正数 ω 3 2 =________. T π 解析:由题意得 = ,T=2π,ω=1. 4 2 答案:1 三、解答题(本大题共有 4 个小题,共 50 分) 15.(本小题满分 12 分)若 sin αcos α<0,sin αtan α<0,且 2 2,求 tan α. 解:∵sin αcos α<0,sin αtan α<0, 1-sin α + 1+sin α 1+sin α = 1-sin α

∴α 是第二象限角,∴ = = ?1-sin α?2 + 1-sin2α

1-sin α + 1+sin α ?1+sin α?2 1-sin2α

1+sin α 1-sin α

2 2 = =2 2. |cos α| -cos α 2 , 2

∴cos α=- 则 sin α=

2 ,tan α=-1. 2

π a 16.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=asin(2ωx+ )+ +b(x∈R,a>0,ω>0)的最小正 6 2 7 3 周期为 π,函数 f(x)的最大值是 ,最小值是 . 4 4 (1)求 ω、a、b 的值; (2)指出 f(x)的单调递增区间. 解:(1)由函数最小正周期为 π, 得 2π =π,∴ω=1, 2ω

7 3 又 f(x)的最大值是 ,最小值是 , 4 4

?a+2+b=4, 则? a 3 ?-a+2+b=4,

a

7

1 ? ?a=2, 解得? ? ?b=1.

1 π 5 (2)由(1)知,f(x)= sin(2x+ )+ , 2 6 4 π π π 当 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z), 2 6 2 π π 即 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z)时, 3 6 f(x)单调递增, π π ∴f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z). 3 6 π? 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)? ?A>0,ω>0,|φ|<2?的图像在 y 轴上 的截距为 1,它在 y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+3π,-2). (1)求 f(x)的解析式; 1 (2)将 y=f(x)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变, 然后再将所得的 3

π 图像沿 x 轴向右平移 个单位,得到函数 y=g(x)的图像,写出函数 y=g(x)的解析式,并用 3 “五点法”作出 y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图像. 解:(1)∵f(x)=Asin(ωx+φ)在 y 轴上的截距为 1,最大值为 2,∴A=2,1=2sin φ,∴sin 1 φ= . 2 π π 又∵|φ|< ,∴φ= . 2 6 ∵两相邻的最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+3π,-2), ∴T=2[(x0+3π)-x0]=6π,∴ω= 2π 2π 1 = = . T 6π 3

x π? ∴函数的解析式为 f(x)=2sin? ?3+6 ?. 1 (2)将 y=f(x)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变, 得函数的解析式 3 π? π ? π π? ? π? 为 y=2sin? ?x+6 ?,再向右平移3个单位后,得 g(x)=2sin?x-3 +6?=2sin?x-6?. 列表如下: x- x g(x) π 6 0 π 6 0 π 2 2π 3 2 π 7π 6 0 3π 2 5π 3 -2 2π 13π 6 0

描点并连线,得 g(x)在一个周期的闭区间上的图像如下图.

18.(本小题满分 14 分)如图,函数 y=2cos(ωx+θ)(x∈R,ω>0, π 0≤θ≤ ?的图像与 y 轴交于点(0, 3), 且该函数的最小正周期为 π. 2? (1)求 θ 和 ω 的值; π ? (2)已知点 A? ?2,0?,点 P 是该函数图像上一点,点 Q(x0,y0)是 PA 的中点,当 y0= π 3 ? ,x0∈? ?2 ,π?时,求 x0 的值. 2

解:(1)把(0, 3)代入 y=2cos(ωx+θ)中,

得 cos θ=

3 . 2

π π ∵0≤θ≤ ,∴θ= . 2 6 2π 2π ∵T=π,且 ω>0,∴ω= T = =2. π π ? 3 (2)∵点 A? ?2,0?,Q(x0,y0)是 PA 的中点,y0= 2 , π ? ∴点 P 的坐标为? ?2x0-2, 3?. π? π ∵点 P 在 y=2cos? ?2x+6?的图像上,且2≤x0≤π, 5π? 3 7π 5π 19π ∴cos? ?4x0- 6 ?= 2 ,且 6 ≤4x0- 6 ≤ 6 . ∴4x0- ∴x0= 5π 11π 5π 13π = ,或 4x0- = . 6 6 6 6

2π 3π ,或 x0= . 3 4


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