2013年高考分类题库考点4 函数及其表示


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考点 4 函数及其表示
一、选择题 1. ( 2013 · 辽 宁 高 考 文 科 · T 7 ) 已 知 函 数 f ( x) ? ln( 1 ? 9 x 2 ? 3x) ? 1 , 则
f(lg 2 ?) f 1 (lg ?( ) 2


C. 1 D. 2

A.

?1

B.

0

【解题指南】准确理解函数概念和性质,熟悉对数的运算性质 【解析】选 D. lg 2 ? lg ? lg(2 ? ) ? lg1 ? 0 ,
f ( x) ? f ( ? x) ? ln( 1 ? 9 x 2 ? 3 x) ? 1 ? ln[ 1 ? 9( ? x) 2 ? 3( ? x)] ? 1
? ln( 1 ? 9 x 2 ? 3x) ? ln( 1 ? 9 x 2 ? 3x) ? 2

1 2

1 2

? ln ?( 1 ? 9 x2 ? 3x)( 1 ? 9 x 2 ? 3x) ? ? 2 ? ? ? ln ?( 1 ? 9 x2 ) ? (3x)2 ? ? 2 ? ?

? ln1 ? 2 ? 2

2.(2013·江西高考理科·T2)函数 y ? x ln(1 ? x) 的定义域为( A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]



【解题指南】二次根式的被开方数大于或等于零,对数的真数大于零. 【解析】 选 B.要使函数有意义, 则?
?x ? 0 , 解得 0 ? x ? 1 .故函数的定义域为[0,1). ?1 ? x ? 0

3.(2013·福建高考理科·T10) 设 S,T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y=f(x) 满足 :(1)
T ? ? f ( x) x ? S ? ,(2) 对任意

x1,x2 ∈ S, 当 x1<x2 时 ,恒有

f(x1)<f(x2),那么称这两个集合“保序同构” ,以下集合对不是“保序同构”的是
-1-

(

)

A.A=N*,B=N B. C.
A ? ?x ? 1 ? x ? 3?, B ? ?x x ? ?8或0 ? x ? 10? A ? ?x 0 ? x ? 1?, B ? R

D.A=Z,B=Q
?8, x ? ?1, ? ? 【解析】选 D.对于 A,取 f(x)=x-1;对于 B,取 f ( x) ? ? 5 对于 C, ( x ? 1), ?1 ? x ? 3; ? ?2

取 f ( x) ? tan(? x ? ) ;对于 D,假设存在 f(x)满足要求,且 y1=f(x1),y2=f(x2),
2

?

因为 x1<x2,有 f(x1)<f(x2),即 y1<y2, [x1,x2]包含于 Z,[y1,y2]包含于 Q, 不妨取 x1=1,x2=2,[1,2]只有两个元素,而[y1,y2]中有无数多个有理数.不符合函数的 定义. 4.(2013·陕西高考理科·T10) 设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实 数 x, y, 有( ) B. [2x] = 2[x] D. [x-y]≤[x]-[y]

A.[-x] = -[x] C.[x+y]≤[x]+[y]

【解题指南】根据本题的特点,可选择代值法逐一验证. 【解析】选 D.对 A,设 x=-1.8,则[-x]=1,-[x]=2,所以 A 选项错. 对 B,设 x=-1.4,[2x]=[-2.8]=-3,2[x]=-4,所以 B 选项错. 对 C,设 x=y=1.8,[x+y]=[3.6]=3, [x]+[y]=2,所以 C 选项错. 5.(2013·陕西高考文科·T10)设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x,有( )
-2-

A .[-x]=-[x] C. [2x]=2[x] D.

B. [x +

1 2

]=[x]

1 [ x] ? [ x ? ] ? [2 x] 2

【解题指南】根据本题的特点,可选择代值法逐一验证. 【解析】 选 D.对 A, 设 x = - 1.8, 则[-x] = 1, -[x] = 2, 所以 A 选项错误;对 B, 设 x = 1.8, 则[x+ ] = 2, [x] = 1, 所以 B 选项错误; 对 C, 设 x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4, 所以 C 选项错误;故 D 选项正确. 6.(2013·天津高考理科·T8)已知函数 f ( x) ? x(1 ? a | x |) . 设关于 x 的不等式
f ( x ? a) ? f ( x)

1 2

的 解 集 为 A, 若

? 1 1? ?? 2 , 2 ? ? A ? ?

, 则实数 a 的取值范围是

( A. C.


?1? 5 ? ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ?1? 5 ? ? 1? 3 ? ? ??? ? 2 ,0 ? ? 0, 2 ? ? ? ? ? ?

B. D.

?1? 3 ? ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ? 1? 5 ? ? ? ??, 2 ? ? ? ?

【解题指南】将原函数转化为分段函数脱去绝对值号,再分情况讨论求解. 【解析】选 A. 因为 f ( x) ? x(1 ? a | x |) ? ? x ? ax2 ,
2

?

x?0 x?0

? x ? ax ,

,当 a≥0 时,函数 f(x)是增函数,

由于 x+a≥x,所以不等式 f(x+a)<f(x)无解,即 a≥0 时无意义;当 a<0 时,若 x<0,由 f(x+a)<f(x) 得 x+a-a(x+a)2<x-ax2, 解得 x ? 1 ? a . 又因为函数 f(x) 是奇函数 , 不等式
2

2a

f(x+a)<f(x)的解集 A ? ? 1 ? a
? 2a

?

2

,?

1 ? a2 ? ? 2a ?

1 1? 1? a ,由 ? ? ? , ? ? A 得, ? 2 2?
2a

2

??

1 ,解得 1 ? 5 ? a ? 0. 2 2

7.(2013·重庆高考文科·T3)函数 y ? A. (??, 2) B. (2, ??)

1 的定义域为 log 2 ( x ? 2)

(

)

C. (2,3) ? (3, ?? )

D. (2, 4) ? (4, ??)

【解题指南】直接利用分母不为零和真数大于零来求解函数的定义域.

-3-

【解析】选 C.要使函数有意义,需满足 ?

?x ? 2 ? 0 解得 x ? 2 且 x ? 3 ,故选 C. ?log 2 ( x ? 2) ? 0

8.(2013·大纲版全国卷高考理科·T4)已知函数 f(x)的定义域为(-1,0),则函数 f(2x+1)的定义域为 ( A. ? ?1,1? B. (?1,? )
1 2

) C. ? -1, 0?
? D. ? ? ,1? 2 1 ? ?

【解题指南】利用换元,由 f ( x) 的定义域得 2x +1 的取值范围,可得所求的解。 【解析】 选 B.令 u ? 2x ? 1 , 由 f ( x) 的定义域为 (?1,0) 可知 ?1 ? u ? 0 , 即 ?1 ? 2x ? 1 ? 0 , 得 ?1 ? x ? ? . 二、填空题 9.(2013·浙江高考文科·T11)已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。,若 f(a)=3, 则实数 a= .
1 2

【解题指南】根据函数的定义可知 a ? 1 ? 3 . 【解析】由题意可得 a ? 1 ? 3 ,所以 a=10. 【答案】10 10.(2013·福建高考文科·T13)
?2 x3 , x ? 0, ? ? ? ?? 已知函数 f ? x ? ? ? ? ? 则f ? f ? ? ? ? ? ? 4 ?? ?? tan x, 0 ? x ? , ? 2

.

【解题指南】看清分段标准,小心代入计算. 【解析】 f ( ) ? ? tan
4

?

?

? ?1,则 f ( f ( )) ? f (?1) ? ?2 4 4

?

【答案】-2. 11.(2013·福建高考文科·T16)设 S,T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y=f(x)满足:
-4-

(1) T ? ? f ( x) x ? S ? , (2)对任意 x1,x2∈S,当 x1<x2 时,恒有 f(x1)<f(x2),那么称这两个集合“保序同构”, 现给出以下 3 对集合: ① A ? N , B ? N ?; ② A ? ? x ?1? x ? 3? , B ? ? x ?8 ? x ? 10? ; ③ A ? ? x 0 ? x ? 1? , B ? R. 其中,“保序同构”的集合对的序号是 的序号)
?8, x ? ?1, ? ? 【解析】对于①,取 f(x)=x-1;对于②,取 f ( x) ? ? 5 ( x ? 1), ?1 ? x ? 3; ? ?2

.(写出所有“保序同构”的集合对

对于③,取 f ( x) ? tan(? x ? ) .
2

?

【答案】①②③ 12.(2013·安徽考文科高·T14)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f (x) .若当 0≤x≤1 时, f (x ) =x (1-x) , 则当-1≤x≤0 时, f (x) =_____________ 【解题指南】将-1≤x≤0 变化到 0≤x≤1 代入 f(x)=x(1-x)并化简。 【解析】当 - 1 #x 0 ,则 0 ? x 1 1 ,故 f ( x +1) = ( x +1)(1 - x - 1) = - x( x +1) 又 f ( x +1) = 2 f ( x) ,所以 f ( x) = 【答案】 x( x +1) 2 x( x +1) 。 2

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-5-


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