【步步高】届高三数学大一轮复习 指数与指数函数学案 理 新人教A版


学案 7

指数与指数函数

导学目标: 1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义, 了解实数指数 幂的意义,掌握幂的运算. 3. 理解指数函数的概念, 并掌握指数函数的单调性与函数图象通过的特殊点.4.知道指 数函数是一类重要的函数模型.

自主梳理 1.指数幂的概念 (1)根式 * 如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且 n∈N ),那么这个数叫做 a 的 n 次方根.也就是,若

n * xn=a, 则 x 叫做________, 其中 n>1 且 n∈N .式子 a叫做________, 这里 n 叫做________, a 叫做____________.
(2)根式的性质 ①当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时,a 的 n 次方根用符号________表示. ②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的 n 次方 根用符号________表示, 负的 n 次方根用符号________表示. 正负两个 n 次方根可以合写成 ________(a>0). ③( a) =____. ④当 n 为偶数时, a =|a|=? ⑤当 n 为奇数时, a =____. ⑥负数没有偶次方根. ⑦零的任何次方根都是零. 2.有理指数幂 (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂是
m

n

n

n n

n

?a, ?

a≥0,

? ?-a,a<0.

n

a n =________(a>0,m,n∈N*,n>1).
②正数的负分数指数幂是 =____________=______________(a>0,m,n∈N ,n>1). ③0 的正分数指数幂是______,0 的负分数指数幂无意义. (2)有理指数幂的运算性质 r s ①a a =________(a>0,r,s∈Q). r s ②(a ) =________(a>0,r,s∈Q). r ③(ab) =________(a>0,b>0,r∈Q). 3.指数函数的图象与性质 a>1 图象 定义域 值域 (1)________ (2)________
1

a

?

m n

*

0<a<1

性质

(3)过定点________ (4)当 x>0 时,______;当 (5)当 x>0 时, ________; 当 x<0 时,______ x<0 时,______ (6)在(-∞,+∞) 上是 (7)在(-∞,+∞) 上是 ______ ______ 下
3 2 2

(

自我检测 1 . )



















①当 a<0 时, (a ) =a ; ② a =|a|; ③函数 y= ( x ? 2) -(3x-7) 的定义域是(2,+∞); a b ④若 100 =5,10 =2,则 2a+b=1. A.0 B.1 C.2 D. 3 2 x 2 . 函 数 y = (a - 3a + 3)a 是 指 数 函 数 , 则 有 ) A.a=1 或 a=2 B.a=1 C.a=2 D.a>0 且 a≠1
0

3

n

n

1 2

(

3.如图所示的曲线 C1,C2,C3,C4 分别是函数 y=a ,y=b ,y=c ,y=d 的图象,则 a, b, c, d 的大小关系是 ( ) A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<c<d D.b<a<1<d<c b - b b - b 4 . 若 a>1 , b>0 , 且 a + a = 2 2 , 则 a - a 的 值 等 于 ( ) A. 6 B.2 或-2 C.-2 D.2 x-b 5.(2011·六安模拟)函数 f(x)=a 的图象如图,其中 a、b 为常数,则下列结论正确 的 是 ( )

x

x

x

x

A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0
2

探究点一 有理指数幂的化简与求值 2 例 1 已知 a,b 是方程 9x -82x+9=0 的两根,且 a<b,

a-1+b-1 3 2 求:(1) a a ?3 ÷ -1; ? ab?

7

3

a-8· a15.

3

变 式 迁 移

1

化 简

a 3 b 2 3 ab2 (a b )
1 4 1 2 43

b a

(a 、 b>0) 的 结 果 是

(

) A.

b a

B.ab

C.

a b

D. a b

2

探究点二 指数函数的图象及其应用 1 |x+1| 例 2 已知函数 y=( ) . 3 (1)作出函数的图象(简图); (2)由图象指出其单调区间; (3)由图象指出当 x 取什么值时有最值,并求出最值.

变 式 迁 移 ( )

2

(2009· 山 东 ) 函 数

y =

e +e x -x 的 图 象 大 致 为 e -e

x

-x

探究点三 指数函数的性质及应用 2x x 例 3 如果函数 y=a +2a -1(a>0 且 a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的 值.

1 1 3 变式迁移 3 (2011·龙岩月考)已知函数 f(x)=( x + )x . 2 -1 2 (1)求 f(x)的定义域;
3

(2)证明:f(-x)=f(x); (3)证明:f(x)>0.

分类讨论思想的应用 例 (12 分)已知 f(x)=

a x -x (a -a )(a>0 且 a≠1). a2-1

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈[-1,1]时 f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围. 【答题模板】 解 (1)函数定义域为 R,关于原点对称. 又因为 f(-x)=

a -x x (a -a )=-f(x), a2-1

所以 f(x)为奇函数.[3 分] 2 (2)当 a>1 时,a -1>0, x y=a 为增函数,y=a-x 为减函数,从而 y=ax-a-x 为增函数, 所以 f(x)为增函数.[5 分] 2 当 0<a<1 时,a -1<0, y=ax 为减函数,y=a-x 为增函数,从而 y=ax-a-x 为减函数, 所以 f(x)为增函数. 故当 a>0,且 a≠1 时,f(x)在定义域内单调递增.[7 分] (3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数, ∴在区间[-1,1]上为增函数, ∴f(-1)≤f(x)≤f(1), 2 a a 1-a -1 ∴f(x)min=f(-1)= 2 (a -a)= 2 · a -1 a -1 a =-1.[10 分] ∴要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需 b≤-1, 故 b 的取值范围是(-∞,-1].[12 分] 【突破思维障碍】 本例第(2)(3)问是难点,讨论 f(x)的单调性对参数 a 如何分类,分类的标准和依据是 思维障碍之一. 【易错点剖析】 的符号有关,若没考虑 2 的符 a -1 a -1 号就会出错,另外分类讨论完,在表达单调性的结论时,要综合讨论分类的情况,如果没有 一个总结性的表达也要扣分,在表达时如果不呈现 a 的题设条件中的范围也是错误的.
2

在(2)中,函数的单调性既与 a -a 有关,还与

x

-x

a

a

1.一般地,进行指数幂的运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数 为分数进行运算,便于用运算性质进行乘、除、 乘方、开方运算, 可以达到化繁为简的目的. 2.比较两个指数幂大小时,尽量化同底数或同指数,当底数相同,指数不同时,构造 同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比 较大小.

4

3.指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,则 0<c<d<1<a<b.在 y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在 y 轴左侧,图象从下到上 相应的底数由大变小;即无论在 y 轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1 ( . 函 数

y



2

x









) A.[0,+∞) C.(-∞,+∞) 2 . (2011· 金 华 月 考 ) 函 数 y =

B.[1,+∞) D.[ 2,+∞)

xax (0<a<1) 的 图 象 的 大 致 形 状 是 |x|

(

)

3 (



(2010·





)





f(x)



4 +1 x 2

x







) A.关于原点对称 C.关于 x 轴对称 4.定义运算 a?b=?
? ?a? ?b? ?

B.关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称

a≤b? , a>b? ,

则函数 f(x)=1?2 的图象是(

x

)

5. 若关于 x 的方程|a -1|=2a(a>0, a≠1)有两个不等实根, 则 a 的取值范围是( A.(0,1)∪(1,+∞) B.(0,1)

x

)

5

C.(1,+∞)

题号 1 2 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) ? ?-x+3a,x<0, 6.(2011·嘉兴月考)函数 f(x)=? x ?a , x≥0 ?

1 D.(0, ) 2 3

4

5

(a>0 且 a≠1)是 R 上的减函数,

则 a 的取值范围是________. x -x 7.(2010·江苏)设函数 f(x)=x(e +ae ),x∈R 是偶函数,则实数 a=________. x 8.若函数 f(x)=a -1(a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是 [0,2],则实数 a 的值为 ________. 三、解答题(共 38 分) x -2 +b 9.(12 分)(2011·衡阳模拟)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; 2 2 (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t -2t)+f(2t -k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

10.(12 分)(2010·北京丰台区期末)已知函数 f(x)=3 ,f(a+2)=18,g(x)=λ ·3 -4 的定义域为[0,1]. (1)求 a 的值. (2)若函数 g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数 λ 的取值范围.
x

x

ax

11.(14 分)(2011·东莞模拟)函数 y=1+2 +4 a 在 x∈(-∞,1]上 y>0 恒成立,求 a 的取值范围.

x

x

答案

自主梳理 根指数 被开方数 (2)① a ② a 1 ③0 (2)①a
r+s

1.(1)a 的 n 次方根 根式

n

n

- a 3.(1)R

n

± a

n



1 n a ⑤a 2.(1)① am ② m an

②a

rs

③a b

r r

(2)(0,+

n

am
(6)增函数 (7)减函数
3
3 3

∞) (3)(0,1) (4)y>1 0<y<1 (5)0<y<1 y>1 自我检测
3

1.B [只有④正确.①中 a<0 时, (a 2 ) 2 >0,a <0,所以 (a 2 ) 2 ≠a ;②中,n 为奇数 7 7 n n 时且 a<0 时, a =a;③中定义域为[2, )∪( ,+∞).] 3 3 2 x 2 2.C [∵y=(a -3a+3)a 是指数函数,∴a -3a+3=1,解得 a=2 或 a=1(舍去).] 3.D [y 轴左、右的图象对应函数的底数按逆时针方向增大.所以 c>d>1,1>a>b>0.] b -b 2 b -b 2 4.D [(a -a ) =(a +a ) -4=4, b -b b -b ∵a>1,b>0,∴a >1,0<a <1,∴a -a =2.]
6

5.D [由 f(x)=a 的图象可以观察出,函数 f(x)=a 在定义域上单调递减,所以 0<a<1; x-b x 函数 f(x)=a 的图象是在 f(x)=a 的基础上向左平移得到的,所以 b<0.] 课堂活动区 例 1 解题导引 1.指数幂的化简原则 (1)化负数指数为正指数; (2)化根式为分数指数幂; (3)化小数为分数. 2.指数幂的化简结果要求为 有关有理指数幂的化简结果不要同时含有根号和分数指数幂, 也不要既有分母又含有负 指幂,即尽量化成与题目表示形式一致且统一的最简结果. 1 2 解 ∵a,b 是方程的两根,而由 9x -82x+9=0 解得 x1= ,x2=9,且 a<b, 9 1 故 a= ,b=9, 9 (1)化去负指数后求解. 1 1 a+b + -1 -1 a b ab a +b = =a+b. -1= ? ab? 1 1

x-b

x- b

ab

ab

1 82 82 ∵a= ,b=9,∴a+b= ,即原式= . 9 9 9 (2)原式= a 2 1 ∵a= , 9 ∴原式=3.
7 1 ? 3

·a

3 1 ? 2?3

÷ (a

8 1 ( ? )? 3 2

·a

15 1 ? 3 2

)= a 6

7 1 4 5 ? ?( ? ? ) 2 3 2

=a

?

1 2

.

变式迁移 1 C [原式=
3 1 1 ? ?1? 2 6 3 1 1 1? ? 2 ? 3 3

a b?a b
? 1

3 2

1 6

1 3 1

ab 2 ? a 3 b 3
=a

?b

=ab = .]

-1

a b

例 2 解题导引 在作函数图象时,首先要研究函数与某一基本函数的关系,然后通 过平移、对称或伸缩来完成. 解 (1)方法一 由函数解析式可得

? 1 x+1, x≥-1, 1 |x+1| ?? 3? y=( ) =? 3 ? x<-1. ?3x+1,

其图象由两部分组成: 1 x 向左平移1个单位 一部分是:y=( ) (x≥0) ― ― → 3
7

y=( )x+1(x≥-1);
向左平移1个单位 x 另一部分是:y=3 (x<0) ― ― → y=3x+1(x<-1). 如图所示. 1 |x| 1 x 方法二 ①由 y=( ) 可知函数是偶函数,其图象关于 y 轴对称,故先作出 y=( ) 的 3 3 1 x 图象,保留 x≥0 的部分,当 x<0 时,其图象是将 y=( ) (x≥0)图象关于 y 轴对折,从而得 3 1 |x| 出 y=( ) 的图象. 3 1 |x| 1 |x+1| ②将 y=( ) 向左移动 1 个单位,即可得 y=( ) 的图象,如图所示. 3 3 (2)由图象知函数在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞)上是减函数. (3)由图象知当 x=-1 时,有最大值 1,无最小值. x -x e +e 2 2x 变式迁移 2 A [y= x , 当 x>0 时, e -1>0, 且随着 x 的增大而增大, -x=1+ 2x e -e e -1 2 故 y=1+ 2x >1 且随着 x 的增大而减小, 即函数 y 在(0, +∞)上恒大于 1 且单调递减. 又 e -1 函数 y 是奇函数,故只有 A 正确.] x 例 3 解题导引 1.指数函数 y=a (a>0 且 a≠1)的图象与性质与 a 的取值有关,要特 别注意区分 a>1 与 0<a<1 来研究. 2.指数函数与二次函数复合而成的初等函数的性质可通过换元的方法转化为指数函数 或二次函数的性质. x 2 2 解 设 t=a ,则 y=f(t)=t +2t-1=(t+1) -2. -1 (1)当 a>1 时,t∈[a ,a], 2 ∴ymax=a +2a-1=14,解得 a=3,满足 a>1; -1 (2)当 0<a<1 时,t∈[a,a ], -1 2 -1 ∴ymax=(a ) +2a -1=14, 1 解得 a= ,满足 0<a<1. 3 1 故所求 a 的值为 3 或 . 3 x 变式迁移 3 (1)解 由 2 -1≠0? x≠0, 所以定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). x 1 1 3 2 +1 3 (2)证明 f(x)=( x + )x 可化为 f(x)= ·x , x 2 -1 2 2? 2 -1? -x 2 +1 3 则 f(-x)= (-x) -x 2? 2 -1? x 2 +1 = x3=f(x), x 2? 2 -1? 所以 f(-x)=f(x). x 3 (3)证明 当 x>0 时,2 >1,x >0, 1 1 3 所以( x + )x >0. 2 -1 2 因为 f(-x)=f(x), 所以当 x<0 时,f(x)=f(-x)>0. 综上所述,f(x)>0. 课后练习区 1.B [由 y= 2
x

1 3

中 x≥0,所以 y= 2

x

≥2 =1,即函数的值域为[1,+∞).]
8

0

x ?a , x>0 xax ? 2.D [函数的定义域为{x|x∈R,x≠0},且 y= =? x |x| ? ?-a ,x<0

.当 x>0 时,函数

是一个指数函数,其底数 a 满足 0<a<1,所以函数递减;当 x<0 时,函数图象与指数函数 y x =a 的图象关于 x 轴对称,函数递增.] 3.D [函数定义域为 R,关于原点对称, -x x 4 +1 1+4 ∵f(-x)= -x = x =f(x), 2 2 ∴f(x)是偶函数,图象关于 y 轴对称.] x x 4.A [当 x<0 时,0<2 <1,此时 f(x)=2 ; x 当 x≥0 时,2 ≥1,此时 f(x)=1. x ?2 ? x<0? , ? x 所以 f(x)=1 ? 2 =? ] ? ?1 ? x≥0? . 5. D [方程|a -1|=2a 有两个不等实根可转化为函数 y=|a -1|与函数 y=2a 有两个 x 不同交点,作出函数 y=|a -1|的图象,从图象观察可知只有 0<2a<1 时,符合题意,即 1 0<a< .] 2 1 6.[ ,1) 3 解析 据单调性定义,f(x)为减函数应满足: ? ?0<a<1, 1 ? 即 ≤a<1. 0 3 ?3a≥a , ? 7.-1 x -x 解析 设 g(x)=e +ae ,则 f(x)=xg(x)是偶函数. x -x ∴g(x)=e +ae 是奇函数. 0 -0 ∴g(0)=e +ae =1+a=0, ∴a=-1. 8. 3 解析 当 a>1 时,f(2)=2, 2 ∴a -1=2,a= 3,经验证符合题意; 当 0<a<1 时,f(0)=2,即 1-1=2,无解. ∴a= 3. 9.解 (1)∵f(x)是定义域为 R 的奇函数, -1+b ∴f(0)=0,即 =0,解得 b=1,…………………………………………………(2 2+a 分) -2 +1 从而有 f(x)= x+1 . 2 +a 又由 f(1)=-f(-1)知 1 - +1 2 -2+1 =- , 4+a 1+a 解得 a=2.经检验 a=2 适合题意, ∴所求 a、b 的值分别为 2、1.……………………………………………………………(4 分) -2 +1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1 =- + x . 2 +2 2 2 +1 由上式易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.…………………………………………(6 分)
9
x x x x

又因 f(x)是奇函数, 2 2 从而不等式 f(t -2t)<-f(2t -k) 2 =f(-2t +k).……………………………………………………………………………(8 分) 因为 f(x)是减函数,由上式推得 t -2t>-2t +k. 2 即对一切 t∈R 有 3t -2t-k>0. 1 从而判别式 Δ =4+12k<0,解得 k<- .………………………………………………(12 3 分) 10.解 分) (2)此时 g(x)=λ ·2 -4 , 设 0≤x1<x2≤1,因为 g(x)在区间[0,1]上是单调递减函数, 所以 g(x1)-g(x2)= (2 1 ? 2 2 )(? ? 2
x x x2
x x
2 2

方法一

(1)由已知得 3

a+2

=18? 3 =2? a=log32.…………………………(4

a

? 2 x1 ) >0 恒成立,……………………………(8
0 0

分) 即 λ < 2 2 ? 2 1 恒成立.由于 2 2 ? 2 1 ? 2 ? 2 =2,所以,实数 λ 的取值范围是 λ ≤2. …………………………………………………………………………………………… (12 分) a+2 a 方法二 (1)由已知得 3 =18? 3 =2? a=log32. …………………………………………………………………………………………… (4 分) x x (2)此时 g(x)=λ ·2 -4 , 因为 g(x)在区间[0,1]上是单调减函数, x x x x 所 以 有 g′(x) = λ ln 2·2 - ln 4·4 = 2 ln 2( - 2·2 + λ )≤0 成 立,…………………………(8 分) x 所以只需要 λ ≤2·2 恒成立. 所以实数 λ 的取值范围是 λ ≤2.………………………… (12 分) x x 11.解 由题意得 1+2 +4 a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立, x 1+2 即 a>- x 在 x∈(-∞,1]上恒成立.………………………………………………(6 4 分) x 1+2 1 2x 1 x 又因为- x =-( ) -( ) , 4 2 2 1 x 设 t=( ) , 2 1 ∵x≤1,∴t≥ 2 1 2 1 1 2 且函数 f(t)=-t -t=-(t+ ) + (t≥ ) 2 4 2 1 在 t= 时,取到最大值. 2 x 1 x 1 1+2 3 ∴( ) = 即 x=1 时,- x 的最大值为- ,………………………………………(12 2 2 4 4 分) 3 ∴ a>- . ………………………………………………………………………………… (14 4 分)
x x x x

10


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