1.3.2《利用导数研究函数的极值》课件(新人教B版选修2-2).2ppt


1.3.2《利用导数研究函数的极
?
?

值》

复习:

单调性的判断方法有哪些? 单调性与导数有何关系?
y
y=f(x)
f '(x)>0

y

y=f(x)

f '(x)<0

o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x)为常数.

设函数y=f(x)在某个区间内可导,
?如果f ′(x)>0,则f(x)在此区间为增函数; ?如果f ′(x)<0,则f(x)在此区间为减函数; ?如果f ′(x)=0,则f(x)在此区间为常数函数;

2.求函数单调性的一般步骤
①求函数的定义域;
定义域为R时可省

②求函数的导数 f/(x);

③解不等式 f/(x)>0 得f(x)的单调 递增区间; 解不等式 f/(x)<0 得f(x)的单调 递减区间.

利用导数研究函数的极值

观察图像: 函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的
函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4),与它们左右 近旁各点处的函数值,相比有什么特点?
y f (x1)

f ( x3 )

y?f(x)

f(x2) O a x1

f(x4) b x

x2

x3 x4

一、函数的极值定义 y

y

a

o

已知 函数y=f(x),设X0是定义域(a,b)内任一点, ?如果对X0附近的所有点X,都有f(x)<f(x0), 则称函数f(x)在点X0处取极大值, 记作y极大值= f(x0);并把 X0称为函数f(x)的一个极大植点。 ?如果对X0附近的所有点X,都有f(x)>f(x0), 则称函数f(x)在点X0处取极小值,记作y极小值= f(x0);并把X0称 为函数f(x)的一个极小植点。 ◆函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小 值点统称为极值点

x0

b

x

a o

x0

b

x

探究

1、图中有哪些极值点?

2、函数极值点可以有多个吗?极大值一 定比极小值大么?
3、端点可能是极值点吗?
y
y ? f ?x ?

y

y ? f ?x ?

a o b

x

c d e

o f g

h

i

j

x

图1.3 ? 10

图1.3 ? 11

小结:
(1)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的, 在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值, 而最值是对整体而言。 (2)极大值与极小值没有必然的大小关系,若一个函数 有多个极值点,即极大值不一定比极小值大,极小值 不一定比极大值小. (3)极值点不一定是最值点。 ? (4)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定 不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.

观察与思考:极值与导数有何关系?
y
y?f(x)

Oa

x1

x2

x3

f ?(x1)?0 f ?(x2)?0 f ?(x3)?0

cx b f ?(b)=0

在极值点处,曲线如果有切线,则切线是水平的。
结论:设x=x0是y=f(x)的极值点,且f(x)在 x=x0是可导的,则必有f ?(x0)=0

二、判断函数极值的方法 ?导数为0的点不一定是极值点;
y y?f(x)

?若极值点处的导数存在,则一定为0
f ?(x)>0 f ?(x)>0 x1 x2 b x f ?(x)<0

f ?(x)<0 O a

已知函数f(x)在点x0处是连续的,且 f ?(x0)=0则
1、如果在x0附近的左侧f ’(x)>0,右侧f
’(x)<0,

则f (x0)是极大值;

2、如果在x0附近的左侧f ’(x)<0,右侧f ’(x)>0, 则f (x0)是极小值; 点评:可导函数

y ? f ( x) 在点x0取得极值的充分必要条件是 f ?( xo) ? 0, 且在点x0左侧和右侧, f ’(x)异号.

例.判断下面4个命题,其中是真命题序号为 ②
①可导函数必有极值; ②函数的极值点必在定义域内; ③函数的极小值一定小于极大值。 (设极小值、极大值都存在);



如y ? 2 x

④函数的极小值(或极大值)不会多于一个。

注意:函数极值是在某一点附近的小区间内定义
的,是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间 上可能有多个极大值或极小值,并对同一个函数来 说,在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。

1 3 例1 求函数 y ? x ? 4x ? 4的极值。 3 解:定义域为R,y′=x2-4 由y′=0可得x=-2或 x=2
当x变化时,y′, y的变化情况如下表:

因此,当x=-2时, y极大值==28/3 当x=2时, y极小值=-4/3

+

x y′ y

(-∞,-2)

-2 0
极大值 28/3

(-2,2)



2 0
极小值 -4/3

(2,+∞) +

1、求可导函数f(x)极值的步骤:
(1) 确定函数的定义域; (2)求导数f ’(x); (3)求方程f ’(x)=0的根,得到极值点的可疑点; (4)把定义域划分为部分区间,并列成表格 检查f ’(x)在方程根左右的符号—— ?如果左正右负(+ ~ -), 那么f(x)在这个根处取得极大值 ?如果左负右正(- ~ +), 那么f(x)在这个根处取得极小值;

2、思考与讨论:在区间[-3,5]

y
f ?x ? ?
2

上, y ? 1 x 3 ? 4x ? 4 的最大值, 3

1 3 x ? 4x ? 4 3

最小值分别是多少?[-3,3]上 o ?2 呢?

x

3.探究 你能找出函数y ? f ?x ?在区间?a, b?上的最 大值、最小值吗?
y

图1.3 ? 12

y ? f ?x ?

4、求可导函数y=f(x)在[a,b] 上的最值步骤如何?
1、求y=f(x)在开区间(a,b)内所有使f ’(x)=0的点;

a x1 x 2 x 3

o

x 4 x5

x6

b

x

2、计算函数y=f(x)在区间内使f ’(x)=0的所有点和端点的函数值,其 中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。

练习1
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2;
2

(2) f ( x) ? x ? 27 x;
3

解: 1 (1) f ?( x) ? 12 x ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? . 列表: 12
x f ’(x)

1 (??, ) 12


1 12 0

1 ( ,??) 12 +

f (x)

单调递减

49 ? 24

单调递增

1 49 1 所以, 当 x ? 时, f (x)有极小值 f ( ) ? ? . 12 24 12

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2;
2

(2) f ( x) ? x ? 27 x;
3

解: (2) 令f ?( x) ? 3x 2 ? 27 ? 0, 解得 x1 ? 3, x2 ? ?3.列表:
x
(–∞, –3) –3 (–3, 3) – 单调递减

3 0

( 3, +∞)

f ?(x)

+

0

+
单调递增

f (x) 单调递增

54

? 54

所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .

练习3:下图是导函数y ? f ?( x) 的图象, 在标记的点中, 在 哪一点处 2 (1)导函数 y ? f ?( x)有极大值? (2)导函数 y ? f ?( x) 有极小值? 1 或 4 (3)函数 y ? f ( x) 有极大值? 3 (4)函数 y ? f ( x)有极小值? 5

x?x x?x x?x x?x x?x

(5)试画出

y ? f ( x)

的示意图

例2 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。 解:定义域为R, y′=6x(x2-1)2。 由y′=0可得x1=-1, x2=0 ,x3=1 当x变化时,y′ , y的变化情况如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 y′ y - 0
无极值

(1,+∞) +



0
极小值 0

+

0
无极 值

因此,当x=0时, y极小值=0
点评:可导函数

y ? f ( x) 在点x0取得极值的充分必要条 件是 f ?( xo) ? 0, 且在点x0左侧和右侧, f ’(x)异号。
练习:课本30页A 2(2)

例3

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=-1 时取极大值7;当x=3时取得极小值, 求这个极小值及a、b、c的值。

练习:1、求函数f(x)=x+2sinx在区间 [0,2π]内的极值

练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为 10,求a、b的值. 解: f ?( x ) =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①

又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②

? a?4 ? a ? ?3 . 由①、②解得 ? 或? ?b ? ?11 ? b ? 3 2 当a=-3,b=3时, f ?( x ) ? 3( x ? 1) ? 0 ,此时f(x)在x=1处无

极值,不合题意. 2 ? f ( x ) ? 3 x ? 8 x ? 11 ? (3 x ? 11)( x ? 1). 当a=4,b=-11时, -3/11<x<1时, f ?( x) ? 0 ;x>1时, f ?( x) ? 0 ,此时x=1是极 值点. 从而所求的解为a=4,b=-11.

小结
1、可导函数的极值点概念及与导数的关系。 2、求极值的方法步骤。 3、极值与最值的联系与区别。 4、求最值的方法步骤。 5、注意:不可导函数也可能有极值点.例如 函数y=|x|,它在点x=0处不可导,但x=0是 函数的极小值点.故函数f(x)在极值点处不 一定存在导数. 作业:课本30页B 1、2、4


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