必修1 1-2章.3 运动的图象 追及和相遇问题


必修一 第3讲 基础知识梳理:

第一、二章 运动的图象

质点的直线运动 追及和相遇问题

一、匀变速直线运动的图象 1.直线运动的 s-t 图象 (1)意义:反映了直线运动的物体______随______变化的规律. (2)图线上某点切线的斜率的意义 ①斜率大小:表示物体速度的______. ②斜率的正负:表示物体速度的______. (3)两种特殊的 s-t 图象

①若 s-t 图象是一条平行于时间轴的直线,说明物体处于______状态.(如图甲所示) ②若 s-t 图象是一条倾斜的直线,说明物体在做____________运动.(如图乙所示) 2.直线运动的 v-t 图象 (1)意义:反映了直线运动的物体______随______变化的规律. (2)图线上某点切线的斜率的意义 ①斜率的大小:表示物体加速度的______. ②斜率的正负:表示物体加速度的______. (3)两种特殊的 v-t 图象 ①匀速直线运动的 v-t 图象是与横轴______的直线.(如图甲所示)

②匀变速直线运动的 v-t 图象是一条______的直线.(如图乙所示) (4)图线与坐标轴围成的“面积”的意义 ①图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的______. ②若此面积在时间轴的上方,表示这段时间内的位移方向为______;若此面积在时间轴 的下方,表示这段时间内的位移方向为______. ?温馨提示 (1)s-t 图象、v-t 图象都不是物体运动的轨迹,图象中各点的坐标值是 s、 v 与 t 一一对应. (2)s-t 图象、v-t 图象的形状由 s 与 t、v 与 t 的函数关系决定. (3)无论是 s-t 图象还是 v-t 图象,所描述的运动情况都是直线运动. 二、运动学图象“五看” ?s-t图象上倾斜直线表示匀速直线运动 ? 1.看“线”? ? ?v-t图象上倾斜直线表示匀变速直线运动
? ?s-t图象上斜率表示速度 2.看“斜率”? ?v-t图象上斜率表示加速度 ?

?s-t图象上面积无实际意义 ? 3.看“面积”?v-t图象上图线和时间轴围成的“面积”表示 ? 位移 ?
?s-t图象表示初位置 ? 4.看“纵截距”? ? ?v-t图象表示初速度

?拐点?转折点?一般表示从一种运动变为另一种 ? 运动 5.看“特殊点”? 交点在s-t图象上表示相遇,在v-t图象上 ? 表示速度相等 ?
考点例析:
考点一 对 s-t 图象的认识及应用 1.根据 s-t 图象判断物体运动情况,或从图象中判断出位移、速度等物理量. 2.根据物体实际运动情况,画出 s-t 图象. 【典例 1】 如图所示为甲、乙两物体相对于同一参考系的 s-t 图象,下面说法错误的是 ( ).

A.甲、乙两物体的出发点相距 s0 B.甲、乙两物体都做匀速直线运动 C.甲物体比乙物体早出发的时间为 t1 D.甲、乙两物体向同方向运动 【跟踪训练 1】 a、b 两个质点相对于同一原点在同一直线上运动的 s-t 图象如图所示, 关于 a、b 的运动,下列说法正确的是( ).

A.a、b 两个质点运动的出发点相距 5 m B.质点 a 比质点 b 迟 1 s 开始运动 C.在 0~3 s 时间内,a、b 的位移大小相等,方向相同 D.质点 a 运动的速率比质点 b 的速率大 考点二 对 v-t 图象的理解及应用 1.根据 v-t 图象判断物体运动情况,并能从图中得出速度、加速度、位移等物理量. 2.能从图中判断两物体相遇的时刻. 【典例 2】 甲、乙两物体从同一点开始做直线运动,其 v-t 图象如图所示,下列判断正 确的是( ).

A.在 t0 时刻两物体速度大小相等,方向相反 B.在 t0 时刻两物体加速度大小相等,方向相同 C.在 t0 时刻之前,乙物体在甲物体前,并且两物体间距离越来越大 D.在 t0 时刻之后,甲物体在乙物体前,并且两物体间距离越来越大

【跟踪训练 2】 四个质点做直线运动,它们的速度图象分别如图所示,下列说法中正确 的是( ).

A.四个质点在第 1 秒内的平均速度相同 B.在第 2 秒末,质点(3)回到出发点 C.在第 2 秒内,质点(1)、(3)、(4)做加速运动 D.在第 2 秒末,质点(2)、(3)偏离出发点位移不同

考点三 追及、相遇问题 1.一定要抓住“一个条件,两个关系”: “一个条件”是两物体的速度满足的临界条件,如两物体距离最大、最小,恰好追上或恰好 追不上等. “两个关系”是时间关系和位移关系.其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系,是 解题的突破口. 2.分析追及、相遇类问题时,要注意抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条 件,如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等,往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件. 【典例 3】 一辆汽车在十字路口等待绿灯,当绿灯亮时汽车以 a=3 m/s2 的加速度开始行 驶,恰在这时一辆自行车以 v0=6 m/s 的速度匀速驶来,从后边超过汽车,试问: (1)汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?最远距离是多 大? (2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大?

【跟踪训练 3】A、B 两辆汽车在笔直的公路上同向行驶.当 B 车在 A 车前 84 m 处时,B 车速度为 4 m/s,且正以 2 m/s2 的加速度做匀加速运动;经过一段时间后,B 车加速度突然变 为零.A 车一直以 20 m/s 的速度做匀速运动.经过 12 s 后两车相遇.问 B 车加速行驶的时间 是多少?

随堂训练:
1.某物体运动的速度图象如图所示,根据图象可知( ).

A.0~2 s 内的加速度为 1 m/s2 B.0~5 s 内的位移为 10 m C.第 1 s 末与第 3 s 末的速度方向相反 D.第 1 s 末与第 5 s 末加速度方向相同 2.质点做直线运动的 v-t 图象如图所示,规定向右为正方向,则该质点在前 8 s 内平均 速度的大小和方向分别为( ).

A.0.25 m/s 向右 B.0.25 m/s 向左 C.1 m/s 向右 D.1 m/s 向左 3.图是甲、乙两物体做直线运动的 v-t 图象.下列表述正确的是(

).

A.乙做匀加速直线运动 B.0~1 s 内甲和乙的位移相等 C.甲和乙的加速度方向相同 D.甲的加速度比乙的小 4.某质点做直线运动的速度 v 和时间 t 的关系如图所示,那么该质点在 3 s 内通过的位移 大小是( ).

A.4.5 m B.3 m C.1 m D.0.5 m 5.做直线运动的物体在 t1、t3 两时刻对应的纵坐标如图所示,下列说法正确的是(

).

A.t1、t3 两时刻速度相同 B.t2 时刻速度和加速度均为零 C.t1、t3 两时刻加速度等值反向 D.若 t2=2t1 则可以求出物体的初速度为 8 m/s 6.一物体自 t=0 时开始做直线运动,其速度图线如图所示.下列选项正确的是(

).

A.在 0~6 s 内,物体离出发点最远为 30 m B.在 0~6 s 内,物体经过的路程为 35 m C.在 0~4 s 内,物体的平均速率为 7.5 m/s D.在 5~6 s 内,物体所受的合外力做负功

课后巩固练习
(限时:45 分钟) 1.一物体从静止开始做匀加速直线运动,下列关于该物体的位移 s,速度 v,加速度 a 与 时间 t 关系的图象可能正确的是( ).

A.①② C.①③

B.③④ D.②④ ).

2.如图所示是 A、B 两个物体做直线运动的速度图象,下列说法正确的是(

A.物体 A 做加速直线运动 B.物体 B 做减速直线运动 C.物体 A 的加速度为正值,B 的加速度为负值,所以 A 的加速度大于 B 的加速度 D.物体 B 的速度变化比 A 的速度变化慢 3.史密斯驾驶的新车突然间莫名从时速 70 千米加速到时速 100 千米.此后大约 10 千米 距离内,无论史密斯怎么刹车都不管用(可看成匀速运动).后来车又莫名慢慢停了下来.如果 用图象来描述当时这辆车的运动情况,加速阶段和减速阶段可以简化为匀变速运动,下列图 象正确的是( ).

4.如图所示,是 A、B 两质点运动的速度图象,则下列说法错误的是(

).

A.A 质点以 10 m/s 的速度匀速运动 B.B 质点先以 5 m/s 的速度与 A 同方向运动 1 s,而后停了 1 s,最后以 5 m/s 相反方向的 速度匀速运动 C.B 质点最初 3 s 内的位移是 10 m D.B 质点最初 3 s 内的路程是 10 m 5.如图所示为一质点做直线运动的速度—时间图象,则在途中给出的该质点在前 3 s 内的

加速度 a 随时间 t 变化关系的图象中正确的是(

).

6.一辆汽车从静止开始由甲地出发,沿平直公路开往乙地,汽车先做匀加速运动,接着做 匀减速运动.开到乙地刚好停止,其速度—时间图象如图所示,那么 0~t0 和 t0~3t0 两段时间 内( ).

A.加速度大小之比为 3∶1 B.位移大小之比为 1∶2 C.平均速度大小之比为 2∶1 D.平均速度大小之比为 1∶2 7.如图所示为两个物体 A 和 B 在同一直线上沿同一方向同时做匀加速运动的 v-t 图线. 已 知在第 3 s 末两个物体在途中相遇,则两个物体出发点的关系是( ).

A.从同一地点出发 B.A 在 B 前 3 m 处 C.B 在 A 前 3 m 处 D.B 在 A 前 5 m 处 8.甲、乙两辆汽车,同时在一条平直的公路上自西向东运动,开始时刻两车平齐,相对于 地面的 v-t 图象如图所示,关于它们的运动,下列说法正确的是( ).

A.甲车中的乘客说,乙车先以速度 v0 向西做匀减速运动,后做匀加速运动 B.乙车中的乘客说,甲车先以速度 v0 向西做匀减速运动,后做匀加速运动 C.根据 v-t 图象可知,开始乙车在前,甲车在后,两车距离先减小后增大,当乙车速度 增大到 v0 时,两车恰好平齐 D.根据 v-t 图象可知,开始甲车在前,乙车在后,两车距离先增大后减小,当乙车速度 增大到 v0 时,两车恰好平齐 9.甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动,t=0 时刻同时经过公路旁的 同一个路标.在描述两车运动的 v-t 图象中(如图所示),直线 a、b 分别描述了甲、乙两车在 0~20 s 的运动情况.关于两车之间的位移关系,下列说法正确的是( ).

A.在 0~10 s 内两车逐渐靠近 B.在 10~20 s 内两车逐渐远离 C.在 5~15 s 内两车的位移相等 D.在 t=10 s 时两车在公路上相遇 10.t=0 时, 乙两汽车从相距 70 km 的两地开始相向行驶, 甲、 它们的 v-t 图象如图所示. 忽 略汽车掉头所需时间.下列对汽车运动状况的描述正确的是( ).

A.在第 1 小时末,乙车改变运动方向 B.在第 2 小时末,甲、乙两车相距 60 km C.在前 4 小时内,乙车运动加速度的大小总比甲车的大 D.在第 4 小时末,甲、乙两车相遇 11.泥石流往往会给我们带来很大的灾难。一汽车停在小山坡底,突然司机发现在距坡底 240 m 的山坡处泥石流以 8 m/s 的初速度、0.4 m/s2 的加速度匀加速倾泻而下,假设司机(反应 时间为 1 s)以 0.5 m/s2 的加速度匀加速启动汽车且一直做匀加速直线运动(如图所示),而泥石 流到达坡底后速率不变且在水平面的运动近似看成匀速直线运动.问:汽车司机能否安全脱 离?

12.如图所示,直线 MN 表示一条平直公路,甲、乙两辆汽车分别停在 A、B 两处,相距 85 m,现甲车开始以 a1=2.5 m/s2 的加速度向右做匀加速直线运动,当甲车运动 t0=6 s 时,乙 车开始以 a2=5 m/s2 的加速度向右做匀加速直线运动,求两车相遇处到 A 处的距离.

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必修一 第一、二章 质点的直线运动 第 3 讲 运动的图象 追及和相遇问题
基础知识梳理: 一、1.(1) 位移,时间 (2) ①大小 ②方向 (3) ①静止 ②匀速直线 2.(1) 速度,时间 (2) ①大小 ②方向 (3) ①平行 ②倾斜 (4) ①位移 ②正,负 考点例析: 【典例 1】解析 由图可知,甲从距原点 s0 处出发,乙由原点出发,故两物体出发点相距 s0;两图线都是倾斜直线,即两物体都做匀速直线运动;甲开始计时就出发,乙在计时后 t1 时刻才出发,故甲比乙早出发时间为 t1;甲、乙图线的斜率分别为负值和正值,表明甲向负方 向运动,乙向正方向运动,甲、乙运动方向相反。故选 D 答案 D 【跟踪训练 1】解析 质点 a 从 s0=5 m 处,t0=0 时出发, 质点 b 从 s0=0 处,t0=1 s 时出发, 选项 A 正确、B 错误; 0~3 s 内,Δsa=(0-5) m=-5 m. Δsb=5 m-0=5 m,选项 C 错误; 因为 b 的斜率大于 a 的斜率, 所以 b 运动的速率大于 a 运动的速率,选项 D 错误. 答案 A 【典例 2】解析 t0 时刻两物体速度大小相等,方向相同,故 A 项错误;在 v-t 图象中斜 率代表加速度,故选项 B 错误;v-t 图象中图线与时间轴所围成的面积表示位移的大小,在 t0 时刻之前,乙的位移大于甲的位移,且二者面积差越来越大,选项 C 正确;在 t0 时刻之后, 两物体之间的距离越来越小,当甲超过乙之后,二者距离又越来越大,故选项 D 错误. 答案 B 【跟踪训练 2】 解析 质点(1)在第 1 秒内向负方向运动, 而其他三个质点在第 1 秒内均向 正方向运动,而平均速度是矢量,所以选项 A 错误.质点(3)在前 2 秒内一直向正方向运动, 不可能回到出发点,选项 B 错误.第 2 秒内,质点(1)、(3)、(4)的速度大小都在增大,选项 C 正确.前 2 秒内质点(2)、(3)都向正方向运动,且第 2 秒末位移相同,所以选项 D 错误. 答案 C 【典例 3】解析

法一 用临界条件求解. v (1)当汽车的速度为 v=6 m/s 时,二者相距最远,所用时间为 t= =2 s a 1 最远距离为 Δs=v0t- at2=6 m. 2 1 (2)两车距离最近时有 v0t= at2 2 解得 t=4 s 汽车的速度为 v=at=12 m/s. 法二 用图象法求解. (1)汽车和自行车的 v-t 图象如图所示,由图象可得 t=2 s 时,二者相距最远.最远距离 1 等于图中阴影部分的面积,即 Δs= × 2 m=6 m. 6× 2

(2)两车距离最近时,即两个 v-t 图线下方面积相等时,由图象得此时汽车的速度为 v= 12 m/s. 法三 用数学方法求解. (1)由题意知自行车与汽车的位移之差为 1 Δs=v0t- at2 2 因二次项系数小于零, -v0 当 t= =2 s 时有最大值, ? 1 2× -2a? ? ? 1 1 最大值 Δsm=v0t- at2=6× m- × 22 m=6 m. 2 3× 2 2 1 (2)当 Δs=v0t- at2=0 时相遇 2 得 t=4 s,汽车的速度为 v=at=12 m/s. 答案 (1)2 s 6 m (2)12 m/s 【跟踪训练 3】解析 设 A 车的速度大小为 vA,B 车加速行驶的时间为 t,两车在 t0 时相 遇.则有 sA=vAt0① 1 sB=vBt+ at2+(vB+at)(t0-t),② 2 式中,t0=12 s,sA、sB 分别为 A、B 两车相遇前行驶的路程.依题意有 sA=sB+s,③ 式中 s=84 m. 2[(vA-vB)t0-s] 由①②③式得 t2-2t0t+ =0, a 代入题给数据 vA=20 m/s,vB=4 m/s,a=2 m/s2, 有 t2-24t+108=0,式中 t 的单位为 s. 解得 t1=6 s,t2=18 s.t2=18 s 不合题意,舍去. 因此,B 车加速行驶的时间为 6 s. 答案 6 s 随堂训练: Δv =1 m/s2,选项 A 正确;0~5 s 内 Δt (5+2)× 2 的位移等于图象与坐标轴所围图象的面积,即 s= m=7 m,选项 B 错误;第 1 s 末与 2 第 3 s 末的速度都是正值,即方向相同,选项 C 错误;第 1 s 末与第 5 s 末的加速度分别是正 值、负值,即方向相反,选项 D 错误. 答案 A 1 2 解析 由图象面积计算 0~3 s 内质点的位移大小为 s1=2× 3× m=3 m,方向向右,3~ 2 1 s 8 s 内位移大小为 s2=2× 5× m=5 m,方向向左,所以前 8 s 总位移 s=s1-s2=-2 m. v = = 2 t -2 m/s=-0.25 m/s,即大小为 0.25 m/s,方向向左.B 正确. 8 答案 B 3 解析 由题图知甲做匀减速直线运动, 乙做匀加速直线运动甲图线的斜率比乙图线的斜 1 解析 0~2 s 内的加速度等于直线的斜率,即 a=

率大,而其斜率值即为加速值,则甲的加速度比乙的大,且二者方向相反;又由题图知 0~1 s 内甲的位移比乙的大.故 A 正确,B、C、D 错误. 答案 A 1+2 4 解析 图线与坐标轴围成图形的“面积”即为位移大小.s=1× 1+ × 1+1× 2m=4.5 m. 2 答案 A 5 解析 t1、t3 时刻的速度大小相同,但方向相反,A 项错误;t2 时刻速度为零,但斜率不 为零,说明加速度不为零,B 项错误;t1、t3 时刻图象斜率相同,加速度相同,C 项错误;若 t2=2t1,由于 v-t 图线为直线,所以 Δt1 和 Δt2 时间内速度的变化量 Δv1=Δv2=-4 m/s,可得 v0=8 m/s,选项 D 正确. 答案 D 解析 根据 v-t 图象的“面积”表示位移和 v-t 图象的意义知, 物体在第 5 s 时离出发点最 1 1 远,最远距离为 sm= × (5+2)× m=35 m;0~6 s 内的路程为 s=sm+ × 10 m=40 m;0~ 10 1× 2 2 1 s 30 4 s 内的路程(等于位移)s= × (4+2)× m=30 m,故平均速率为 v = = m/s=7.5 m/s;在 10 2 t 4 5~6 s 内,物体的速度增加,根据动能定理,合外力做正功.综上所述 C 正确,A、B、D 错 误. 答案 C 课后巩固练习 1 1 解析 匀加速运动的加速度不变,③错;据位移公式 s= at2 知,物体的位移 s 与时间 t 2 的二次方成正比,故①错、④对;据速度公式 vt=at 知物体的速度 v 与时间 t 成正比,②正确. 答案 D 2 解析 由两物体的速度图象可知, 两物体速度的绝对值都在增大, 则都在做加速运动. 物 体 A 的速度为正,图线的斜率为正,说明 A 向正方向做匀加速运动;物体 B 的速度为负,图 线的斜率为负,说明 B 向负方向做匀加速运动,A 正确、B 错误;物体 A 的加速度的绝对值 为 1 m/s2,物体 B 的加速度的绝对值为 2 m/s2,所以 B 的加速度大于 A 的加速度,从而 B 的 速度变化比 A 的速度变化快,C、D 错.故选 A. 答案 A 3 解析 根据材料可知汽车先做匀加速直线运动,然后做匀速直线运动,最后做匀减速直 线运动到静止.在位移—时间图象中,斜率表示速度,所以斜率应先增大后不变,最后减小, 因此 B 项错;在速度—时间图象中,速度先增大后不变,最后减小到零,因此 C 项对,A 项 错;在加速度—时间图象中,匀加速阶段和匀减速阶段加速度方向相反,因此 D 项错. 答案 C 4 解析 匀速直线运动的速度图线平行于时间轴,图线在 t 轴上方为正方向,在 t 轴下方 为负方向,当速度为零时,图线在 t 轴上. 答案 C 5 答案 A 6 解析 0~t0 内与 t0~3t0 内,Δv 大小相等,加速度之比等于时间的反比,为 2∶1,A 错; s 位移之比等于围成的面积之比,为 1∶2,B 对;由 v = 知,平均速度之比为 1∶1,C、D 错. t 答案 B 7 解析 两物体在途中相遇,但 v-t 图象的“面积”表示的位移并不相同,说明两物体出发

1 1 3× 点不同,两物体位移差 Δs=?2× 4-2× 2?m=3 m,即 B 在 A 前 3 m 处,C 正确. ? 3× ? 答案 C 8 解析 甲车中的乘客以甲车为参考系, 相当于甲车静止不动, 乙车以初速度 v0 向西做减 速运动,速度减为零之后,做加速运动,所以 A 正确;乙车中的乘客以乙车为参考系,相当 于乙车静止不动,甲车以初速度 v0 向东做减速运动,速度减为零之后,做加速运动,所以 B 错误;以地面为参考系,当两车速度相等时,距离最远,所以 C、D 错误. 答案 A 9 解析 甲车做速度为 5 m/s 的匀速直线运动,乙车做初速度为 10 m/s 的匀减速直线运 动.在 t=10 s 时,两车的速度相同,在此之前,甲车的速度小于乙车的速度,两车的距离越 来越大;在此之后,甲车的速度大于乙车的速度,两车的距离又逐渐减小,在 t=20 s 时两车 相遇,故选项 A、B、D 均错.5~15 s 内,两图线与时间轴所围成的面积相等,故两车的位移 相等,选项 C 正确. 答案 C 10 解析 前 2 小时内乙车一直没改变运动方向,前 2 小时内甲、乙两车位移大小都为 30 km,但相向而行,所以第 2 小时末甲、乙相距 s=70 km-60 km=10 km,由于乙的斜率总比 甲的大,所以前 4 小时内,乙车运动的加速度大小总比甲车的大.第 4 小时末甲、乙速度相 等但未相遇. 答案 C 11 解析 设泥石流到达坡底的时间为 t1,速率为 v1,则 1 s1=v0t1+ a1t12,v1=v0+a1t1 2 代入数值得 t1=20 s,v1=16 m/s 1 而汽车在 19 s 的时间内发生位移为 s2= a2t22=90.25 m 2 速度为 v2=a2t2=9.5 m/s 1 令再经时间 t3,泥石流追上汽车,则有 v1t3=x2+v2t3+ a2t32 2 代入数值并化简得 t32-26t3+361=0,因 Δ<0,方程无解 所以泥石流无法追上汽车,司机能安全脱离. 答案 司机能安全脱离 12 解析 甲车运动 t0=6 s 的位移为 1 s0= a1t02=45 m<85 m,尚未追上乙车. 2 设此后用时间 t 与乙车相遇,则 1 1 a (t +t)2= a2t2+sAB. 2 1 0 2 代入数据,解得 t=4 s 或 t=8 s. (1)当 t=4 s 时,甲车追上乙车, 第一次相遇处到 A 的距离为 1 s1= a1(t0+t)2=125 m. 2

(2)当 t=8 s 时,乙车追上甲车, 第二次相遇处到 A 的距离为 1 s2= a1(t0+t)2=245 m. 2 答案 125 m 或 245 m


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