§1.3-1.4导数最值及应用






§1.3.3 函数的最大(小)值与导数 §1.4 生活中的优化问题举例 【一、回顾热身: 】 求下列函数的单调区间 1.f(x)=2x -6x +7
3 2

例 4 在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个 无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?



2.f(x)=

1 +2x x
变式 4 把长为 60 cm 的铁丝围成矩形,长、宽各为多少时,面积最大? 例 5 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 p 与产量 q 的 函数关系式为 p ? 25 ?



求下列函数的极值. 2 3 1、y=x -7x+6 2、y=x -27x 【二、知识梳理】 1、求 y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值,可分为两步进行: ⑴ 求 y=f(x)在(a,b)内的极值; ⑵ 将 y=f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 注:函数的极值是从局部考察的,函数的最大值与最小值是从整体考察的







线



1 q. 求产量 q 为何值时,利润 L 最大. 8

2、求最大(最小)值应用题的一般方法: ⑴ 分析问题中各量之间的关系,把实际问题化为数学问题,建立函数关系式; ⑵ 确定函数的定义域,并求出极值点; 练习 1.某商品一件的成本为 30 元,在某段时间内若以每件 x 元出售,可卖出(200-x)件,应如何 定价才能使利润最大? (课后自读教材 P34)例 6.汽油的使用效率何时最高 例 7.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 例 8.磁盘的最大存储量问题 【四.课堂练习】 1.函数 y= A.0





⑶ 比较各极值与定义域端点函数的大小, 结合实际,确定最值或最值点. 【三.典例分析】 例1. 求 f ? x ? ?



1 3 x ? 4 x ? 4 在 ? 0 , 3? 的最大值与最小值 3



王新敞
奎屯

新疆



1 4 1 3 1 2 x ? x ? x ,在[-1,1]上的最小值为( 4 3 2
B.-2 ) C.
4 e4

) D.

C.-1



变式 1.求函数 y=x4-2x2+5 在区间[-2, 2]上的最大值与最小值. … 例2. 求函数 f ( x) ? sin 2 x ? x,

2.函数 y = x·e–x 在 x∈[0, 4]的最小值为( A.0 B.
1 e

13 12
2 e2

x ? [?

? ?



, ] 的最大值与最小值。 2 2

D.

3.某公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元(3≤a≤5) 的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9≤a≤11)时,一年的销售量为(12-x)2 万件. (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a). 变式 2:求函数 f ( x) ? sin x ? x,
3 2







x ? [0, ] 的最大值与最小值。 2

?



【探究思考】设

2 3 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? b 3 2

(?1 ? x ? 1) 的最大值为 1,最小值

例 3:已知函数 f ( x) ? ax ? 6ax ? b 。若 f(x)在[-1,2]上的最大值为 3,最小值为 29,求:a、 b 的值





为?

6 ,求:a、b 的值 2

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