必修4 数学第一章 任意角的三角函数 检测试题


第一章
【选题明细表】 知识点、方法 三角函数的基本概念 三角函数的化简、求值 三角函数的图象与性质 综合应用

检测试题

(时间:90 分钟 满分:120 分)

题号 2、4、7 1、5、9、13、15 3、6、8、10、11、12、14、16 17、18

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1.(2011 黄冈高一检测)sin 450°的值为( (A)-1 (B)0 (C) (D)1 解析:sin 450°=sin(360°+90°)=sin 90°=1, 故选 D. 2.在“①160°;②480°;③-960°;④-1600°”这四个角中,属于第二象限角的是( (A)① (B)①② (C)①②③ (D)①②③④ 解析:∵480°=360°+120°,-960°=-3×360°+120°,-1600°=-5×360°+200°, ∴-1600°终边在第三象限,其他角都满足题意. 故选 C. 3.函数 y=sin(x+ )是( (A)周期为 2π的偶函数 (C)周期为π的偶函数
π 2 π 2 1 2

D )

C )

A ) (B)周期为 2π的奇函数 (D)周期为π的奇函数

解析:y=sin(x+ )=cos x,其周期为 2π,且为偶函数,故选 A. 4.已知圆的半径是 6 cm,则 15°的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是( (A)
π 3π cm2 (B) cm2 2 2

B

)

(C)π cm2 (D)3π cm2 解析:15°化为弧度为 ,设扇形的弧长为 l, 则 l=6× = ,其面积 S= lR= × ×6= π, 故选 B.
π π 12 2 1 2 1 π 2 2 3 2 π 12

5.(2011 郑州高一检测)设α是第二象限角,则 (A)1 (B)tan2α (C)-tan2α (D)-1 解析:因为α是第二象限角, 所以 =
sin 1 sin 1-sin2 α · -1=cos· sin2 α cos sin2 α

sin 1 · -1等于( cos sin2 α

D )

sin |cos| sin -cos · = · =-1, cos |sin| cos sin

故选 D. 6.把函数 y=sin( -2x)的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应函数的最小正周期是( (A)π (B)2π
π 4 π 4 π 8

A )

(C)4π
π 8

(D)

π 2

解析:函数 y=sin( -2x)的图象向右平移 个单位长度可得函数 y=cos 2x 的图象, 所以最小正周期是π. 故选 A. 7.若点 P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,则角θ终边在第几象限( (A)一(B)二(C)三 解析:由题意,知 ∴ (D)四

B )

sin·cos < 0 , 2cos < 0

sin > 0 , cos < 0

故θ终边在第二象限. 8.(2011 杭州高一检测)如果 y=cos x 是增函数,且 y=sin x 是减函数,那么 x 的终边可以在( (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
3 2

C )

解析:由 y=sin x 和 y=cos x 在[0,2π]内的图象可知,x∈[π, π]时,y=cos x 是增函数,y=sin x 是减函数,角 x 终边 在 x 轴负半轴与 y 轴负半轴所夹的区域,故选 C. 9.已知 tan α=2,则 sin2α+sin αcos α-2cos2α的值为( (A)- (B)
4 3 5 3 4 (C)- (D) 4 4 5 sin2 α+sincos-2cos2 α sin2 α+cos2 α

D )

解析:原式=

=

tan2 α+tan-2 4+2-2 4 = = , 1+tan2 α 1+4 5

故选 D. 10.已知函数 f(x)=2sin(ωx-φ),x∈R,其中ω>0,-π≤φ≤π.若 f(x)的最小正周期为 6π,且当 x= 时,f(x)取得最大值, 则( A ) (A)f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 (B)f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 (C)f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 (D)f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 解析:由已知得,T= 所以ω= , 由题意知,当 x= 时,2sin( -φ)=2, 所以 sin(φ- )=-1, 所以- +φ=2kπ+
5 3 π 6 3π ,k∈Z, 2 π 6 π 2 π 6 1 3 2π =6π, π 2

即φ=2kπ+ π,k∈Z, 又-π≤φ≤π,取 k=-1 得,φ=- , 所以 f(x)=2sin( x+ ). 当-2π≤x≤0 时,- ≤ x+ ≤ , 而 y=sin x 在[- , ]上单调递增, 所以 f(x)在[-2π,0]上是增函数,故选 A.
ππ 33 π 1 3 3 π π 3 3 1 3 π 3 π 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
11.y=3-2cos x 的最大值为 解析:因为-1≤cos x≤1, 所以当 cos x=-1 时,y 取得最大值 5. 答案:5 12.函数 y= sin( - )的最小正周期是
1 2 π 24

.

.

解析:T= 1 =4π.
2



答案:4π 13.已知函数 f(x)= 解析:f( )=-cos f(- )=f(- +1)+1 =f(- )+1 =f(- +1)+1+1=f( )+2 =-cos =cos
1 2 2π +2 3 π +2 3 5 2 1 3 2 3 1 3 4 3 4 3 4 3 4 4 -cos π, > 0, 则 f( )+f(- )的值为 3 3 ( + 1) + 1, ≤ 0,

.

4π π 1 =cos = , 3 3 2

= +2= , 则 f( )+f(- )= + =3. 答案:3 14.(2011 年高考辽宁卷)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ),y=f(x)的部分图象如图,则 f( )=
π 2 π 24 4 3 4 3 1 5 2 2

.

解析:由题图知,T=2×( 又图象过点(
3π ,0), 8

3π π π π - )= = ,∴ω=2. 8 8 2

所以 Atan(2×
3 4

3π +φ)=0, 8

∴tan(φ+ π)=0, ∴φ+ π=kπ,k∈Z. 又|φ|< ,
π 2 3 4

∴φ= , ∴f(x)=Atan(2x+ ). 又图象过点(0,1), ∴Atan ∴A=1, 即 f(x)=tan(2x+ ), ∴f( )=tan 答案: 3
π 24 π = 3 π 4 π =1, 4 π 4

π 4

3.

三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分)
15.(本小题满分 12 分) (2011 大同高一检测)化简:
sin(2 +α)cos(2-α) sin(π-)cos(2 +α) + . cos(π+) sin(π+)
π π π

解:原式=

cos·sin sin·(-sin) + -cos -sin

=-sin α+sin α=0. 16.(本小题满分 12 分) 已知 f(x)=3sin(2x+ )-1. (1)f(x)的图象是由 y=sin x 的图象如何变换而来? (2)求 f(x)的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的 x 的值. 解:(1)将函数 y=sin x 图象上每一点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 3 倍得到函数 y=3sin x 的图象,再把 所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变),得到函数 y=3sin 2x 的图象,再把所得函数 的图象向左平移 个单位长度,得到函数 y=3sin(2x+ )的图象,再把所得函数的图象向下平移一个单位长度, 得到函数 f(x)=3sin(2x+ )-1 的图象. (2)最小正周期 T=π,
π 4 π 8 π 4 1 2 π 4

由 2x+ = +kπ(k∈Z), 得对称轴方程为 x= +
π π 4 2 π π (k∈Z). 8 2

π π 4 2

当 2x+ = +2kπ(k∈Z), 即 x= +kπ(k∈Z)时,f(x)取得最大值 2. 17.(本小题满分 13 分) (2010 年高考广东卷)设函数 f(x)=3sin(ωx+ ),ω>0,x∈(-∞,+∞),且以 为最小正周期. (1)求 f(0); (2)求 f(x)的解析式; (3)已知 f( + )= ,求 sin α的值. 解:(1)f(0)=3sin(ω×0+ ) =3sin
π 3 = . 6 2 2π π = , 2 π 6 π 4 12 9 5 π 6 π 2 π 8

(2)∵T= ∴ω=4,

∴f(x)的解析式为 f(x)=3sin(4x+ ). (3)由 f( + )= 得 3sin[4( + )+ ]= , 即 sin(α+ )= , ∴cos α= , ∴sin α=± 1-cos 2 α =± 1-( )2 =± . 18.(本小题满分 13 分) (2011 瑞安高一检测)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R,(其中 A>0,ω>0,0<φ< )的周期为π,且图象上一个最高 点为 M( ,2).
π 6 π 2 3 5 4 5 3 5 π 2 3 5 π 4 12 9 5 π 4 12 π 9 6 5

π 6

(1)求 f(x)的解析式; (2)当 x∈[0, ]时,求 f(x)的最值,并写出相应的 x 值. 解:(1)由 T=π得ω=
π 6 2π 2π = =2, π π 4

由最高点为 M( ,2)得 A=2, 且 2sin( +φ)=2, 即 sin( +φ)=1, 所以 +φ=2kπ+ (k∈Z), 故φ=2kπ+ (k∈Z). 又φ∈(0, ),所以φ= , 所以 f(x)=2sin(2x+ ). (2)因为 x∈[0, ], 所以 2x+ ∈[ ,
π π 2π ], 6 6 3 π π 6 6 π 4 π 6 π 2 π 6 π 6 π 3 π 2 π 3 π 3

所以当 2x+ = , 即 x=0 时,f(x)取得最小值 1; 当 2x+ = , 即 x= 时,f(x)取得最大值 2.
π 6 π π 6 2

自我补偿
1.(角的有关概念不清)下列命题中正确的是( (A)三角形的内角必是第一、二象限角 (B)第一象限角必是锐角 (C)不相等的角终边一定不相同 (D)若β=α+k·360°(k∈Z),则α和β终边相同 解析:90°的角可以是三角形的内角,但它不是第一、二象限角;390°的角是第一象限角,但它不是锐角;390°角 和 30°角不相等,但终边相同;故 A、B、C 均不正确.对于 D,由终边相同的角的概念可知正确,故选 D. 2.(图象变换法则不清)要得到函数 y=sin(4x- )的图象,只需把函数 y=sin 4x 的图象(
π 3

D )

D )

(A)向左平移 个单位长度 (B)向右平移 个单位长度 (C)向左平移 个单位长度 (D)向右平移 个单位长度 解析:由于 y=sin(4x- )=sin[4(x- )], 所以只需把 y=sin 4x 的图象向右平移 个单位长度即可,故选 D. 3.(忽视范围)已知 sin αcos α= ,且 <α< ,则 cos α-sin α的值为( B ) (A)
3 2 1 8 π 4 π 2 π 12 π 3 π 12 π 12 π 12 π 3

π 3

(B)-

3 2

(C)

3 4

(D)1 3 8 4

3 4

解析:(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2× = , 又 <α< , ∴sin α>cos α, ∴cos α-sin α=故选 B. 4.(对图象认识不到位)y=tan(2x+θ)图象的一个对称中心为( ,0),若- <θ< ,则θ的值为 解析:函数 y=tan x 的对称中心是( 故令 2x+θ= θ=
π π ,k∈Z,其中 x= ,即 2 3 π ,0),k∈Z, 2 π 3 π 2 π 2 3 , 2 π 4 π 2

.

π 2π - ,k∈Z. 2 3 π 2 π 2

又- <θ< , 所以当 k=1 时,θ=- ; 当 k=2 时,θ= . 即θ=- 或θ= . 答案:- 或
π 6 π 3 π 6 π 3 π 3 π 6


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