浙江省宁波市2008学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)2009.1


浙江省宁波市 2008 学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)2009.1
一、选择题: 1.如果复数 (1 ? ai)(2 ? i) 的实部和虚部相等,则实数 a 等于 (A) ? 1 (B) 0, 4 ,7 , 8 (D)1 1, 2 U A
第 2 题图

1 3

(C)

1 2

3

5,6 B

2.已知三个集合 U,A,B 及元素间的关系如图所示,则 (CU A) (A){5,6} (C){3} (B){3,5,6} (D){0,4,5,6,7,8}

B=

3.如图是 2009 年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图,去掉 一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 (A) 84 , 4.84 (C) 85 , 1.6 (B) 84 , 1.6 (D) 85 , 4

79 84 4 6 4 7
y?4 的最大值为 x
(D)不存在

93
第 3 题图

4.已知点 ( x, y ) 满足 x+y≤6,y>0,x-2y≥0,则 (A) ?

1 2

(B) ?

2 3

(C)0

5.设 l,m,n 均为直线,其中 m,n 在平面 ? 内,则“ l ? ? ”是“ l ? m且l ? n ”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

6.已知定义在 R 上的函数 f ( x) = (x2 – 3x + 2) g ( x ) + 3x – 4 , 其中函数 y ? g ( x) 的图象 是一条连续曲线,则方程 f ( x) = 0 在下面哪个范围内必有实数根 (A)( 0, 1 ) (B) (1, 2 ) (C) ( 2 , 3 ) (D) (3, 4 )

7.已知 F1 , F2 是双曲线的两个焦点, PQ 是经过 F1 且垂直于实轴的弦,若 ?PQF 2 是等腰直角三角形,则 双曲线的离心率为 (A) 2 (B) 2 ? 1 (C) 2 ? 1 (D) 2 ?

1 4

8.函数 f ( x) 的定义域为(a,b),其导函数 y ? f ?( x)在(a, b) 内的图象如 图所示,则函数 f ( x) 在区间(a,b)内极小值点的个数是 (A)1 (C)3 (B)2 (D)4

9.由 0,1,2,3,4 这五个数字组成的无重复数字的四位偶数,按从小到大的顺序排成一个数列 {an } ,

则 a19 = (A)2014 (B)2034 (C)1432 (D)1430

10 . △ ABC 满 足 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30? , 设 M 是 △ ABC 内 的 一 点 ( 不 在 边 界 上 ) , 定 义

1 f (M ) ? ( x, y, z) ,其中 x, y, z 分别表示△ MBC, △ MCA, △ MAB 的面积,若 f ( M ) ? ( x, y, ) ,则 2

1 4 ? 的最小值为 x y
(A)8 (B)9 (C)16 (D)18

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.满足 A ? 45?, a ? 2, c ? 6 的 ?ABC 的个数为 12.已知 (ax ?1) n ? an xn ? an?1xn ?1 ? ▲ .

? a1 x ? a0 (n ? N *) ,点列

Ai (i, ai )(i ? 0,1, 2,
_____▲_______.

, n) 部分图象如图所示,则实数 a 的值为

13.若命题“ ? x∈R, 使 x +ax+1<0”是真命题,则实数 a 的
2

取值范围为



.

14.已知在平面直角坐标系中, A(?2,0), B(1,3) , OM ? ? OA ? ? OB (其中 O 为原点,实数 ? , ? 满足

? ? ? ? 1 ),若 N(1,0),则 | MN | 的最小值是____▲____.
15.如图,下列程序框图可以用来估计 ? 的值(假设函数 CONRND(-1,1)是产生随机数的函数,它能 随机产生(-1,1)内的任何一个实数).如果输入 1000,输出的结果是 786,则运用此方法估计 ? 的 近似值为 ▲ (保留四位有效数字).

16.等差数列 {an } 中首项为 a1 ,公差为 d ,前 n 项和为 S n .则下列命题中正确的有 确命题的序号).
n

▲ (填上所有正

① 数 列 {2a } 为 等 比 数 列 ; ② 若 a10 ? 3 , S 7 ? ?7 , 则 S13 ? 13 ; ③

S n ? na n ?

n(n ? 1) d. 2

17.如图的三角形数阵中,满足:(1)第 1 行的数为 1;(2)第 n(n≥2)行首尾两数均为 n,其余的数 都等于它肩上的两个数相加.则第 n 行(n≥2)中第 2 个数是____▲____(用 n 表示).
1 2 3 4 5 6 16 11 25 7 14 25 4 7 11 16 2 3 4 5 6

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题 14 分)设函数 f ( x) ?

3 cos2 x ? sin x cos x ?

3 . 2

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期 T ,并求出函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)求在 [0,3? ) 内使 f ( x ) 取到最大值的所有 x 的和.

19.(本题 14 分)在一个盒子中,放有标号分别为 1 , 2 , 3 的三张卡片,现从这个盒子中,有放回 地先 ... 后抽得两张卡片的标号分别为 x 、 y ,记 ? ? x ? 2 ? y ? x .(1)求随机变量 ? 的最大值,并求事 件“ ? 取得最大值”的概率;(2)求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

20.(本题 15 分)已知几何体 A—BCED 的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直 角三角形,正视图为直角梯形. (1)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (2)求二面角

A-ED-B 的正弦值; (3)求此几何体的体积 V 的大小.

21.(本题 15 分)如图,椭圆长轴端点为 A, B , O 为椭圆中心, F 为椭圆的右焦点, 且 AF ? FB ? 1 ,OF ? 1 . (1) 求椭圆的标准方程; (2) 记椭圆的上顶点为 M , 直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,问:是否存在直线 l ,使点 F 恰为 ?PQM 的垂心? 若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

22. (本题 14 分)已知函数 f ( x) ? x ?

t (t ? 0) 和点 P(1 , 0) ,过点 P 作曲线 y ? f ( x) 的两条切线 PM 、 x

PN ,切点分别为 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) .
(1)求证: x1 , x 2 为关于 x 的方程 x ? 2tx ? t ? 0 的两根;
2

(2)设 MN ? g (t ) ,求函数 g (t ) 的表达式; (3)在(2)的条件下,若在区间 [2 ,16] 内总存在 m ? 1 个实数 a1 , a2 , 等式 g (a1 ) ? g (a2 ) ? ? ? g (am ) ? g (am?1 ) 成立,求 m 的最大值.

, am?1 (可以相同),使得不

2008 学年度第一学期期末试卷高三数学(理科)答案
1. B 11. 2 2. A 12. 3. C 4. A 5. A 6. B 7. B 8. A 9. A 15. 3.144 10.D 16. ①②③ 17.

1 3

13.

a ? ?2或a ? 2 14.

3 2 2

n2 ? n ? 2 2

18、(1)

f ( x) ? sin(2 x ? ) ?3 分 故 T ? ? ,?5 分递增区间为: [k? ? 5 ? , k? ? ? ](k ? Z ) ?7 分 3 12 12
即 sin(2 x ?

?

(2) f ( x) ? 1

?
3

) ? 1 ,则 2 x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

,于是 x ? k?

?

?
12

(k ? Z ) ??10 分 13 ? .?14 分 4

∵ 0 ? x ? 3?

∴k

? 0,1,2 ?12 分∴在 [0,3? ) 内使 f ( x) 取到最大值的所有 x 的和为
? x ? 2 ? 1, y ? x ? 2 ,

19、(Ⅰ)? x 、 y 可能的取值为 1 、 2 、 3 ,

?? ? 3 ,且当 x ? 1 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 1 时, ? ? 3 . ??4 分 因此,随机变量 ? 的最大值为 3 .

? 有放回抽两张卡片的所有情况有 3 ? 3 ? 9 种,? P(? ? 3) ?

2 . 9

?????7 分

(Ⅱ) ? 的所有取值为 0 , 1 , 2 , 3 .?????????????8 分

?? ? 0 时,只有 x ? 2 , y ? 2 这一种情况,

? ? 1 时,有 x ? 1 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 3 四种情况,
? ? 2 时,有 x ? 1 , y ? 2 或 x ? 3 , y ? 2 两种情况.
? P (? ? 0) ? 1 4 2 , P(? ? 1) ? , P (? ? 2) ? . 9 9 9
0
????11 分

则随机变量 ? 的分布列为: ?

1

2

3

P
?12 分 因此,数学期望 E? ? 0 ?

1 9

4 9

2 9

2 9

1 4 2 2 14 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? .????14 分 9 9 9 9 9

20.(15 分)证明:(1)取 EC 的中点是 F,连结 BF,则 BF//DE,∴∠FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成的角.∴ cos ?ABF ?

10 10 .∴异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为 .…5 分 5 5

(2)AC⊥平面 BCE,过 C 作 CG⊥DE 交 DE 于 G,连 AG.可得 DE⊥平面 ACG,从而 AG⊥DE ∴∠AGC 为二面角 A-ED-B 的平面角.在△ACG 中,∠ACG=90° ,AC=4,CG=

8 5 5

∴tan ?AGC ? (3) V ?

5 5 5 .∴sin ?AGC ? .∴ 二面角 A-ED-B 的的正弦值为 .………10 分 2 3 3

1 ? S BCED ? AC ? 16 ∴ 几何体的体积 V 为 16.???????15 分 3

方法二:(坐标法)∴异面直线 DE 与 AB 所成的角的余弦值为

10 .???5 分 5

(2)平面 BDE 的一个法向量为 CA ? (4,0,0) ,设平面 ADE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

n ? AD, n ? DE, AD ? (?4, 4, 2), DE ? (0, ?4, 2) ∴ n AD ? 0, n DE ? 0
从而 ?4 x ? 4 y ? 2 z ? 0, ?4 y ? 2 z ? 0 ,令 y ? 1 ,则 n ? (2,1, 2) , cos ? CA, n ??

2 3

∴二面角 A-ED-B 的的正弦值为 (3) V ?

5 .??????????10 分 3

1 ? S BCED ? AC ? 16 ,∴几何体的体积 V 为 16.?????15 分 3

x2 21 解:(1)故椭圆方程为 ? y 2 ? 1 ????6 分 2
(2)假设存在直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,且 F 恰为 ?PQM 的垂心,则 设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,∵ M (0,1), F (1,0) ,故 k PQ ? 1 , ??8 分 于是设直线 l 为 y ? x ? m ,由 ? ∵ MP ? FQ ? 0 ? 得 x1 ( x2

? y ? x?m 2 2 得 3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0 2 2 ?x ? 2 y ? 2
又 yi

??10 分

x1 ( x2 ? 1) ? y2 ( y1 ? 1)

? xi ? m(i ? 1,2)

? 1) ? ( x2 ? m)( x1 ? m ? 1) ? 0 即 2x1x2 ? ( x1 ? x2 )(m ?1) ? m2 ? m ? 0
2m2 ? 2 4m 4 ? (m ? 1) ? m2 ? m ? 0 解得 m ? ? 或 m ? 1 (舍) 3 3 3

由韦达定理得 2 ?

经检验 m ? ?

4 符合条件?15 分 3
t t , y2 ? x2 ? x1 x2

22. (1)由题意可知: y1 ? x1 ?



f ?( x) ? 1 ?

t , x2

??2 分

∴切线 PM 的方程为: y ? ( x1 ?

t t ) ? (1 ? 2 )(x ? x1 ) , x1 x1

又? 切线 PM 过点 P(1,0) , ? 有 0 ? ( x1 ? 即 x1 ? 2tx1 ? t ? 0 , ①
2

t t ) ? (1 ? 2 )(1 ? x1 ) , x1 x1

同理,由切线 PN 也过点 P(1,0) ,得 x2 ? 2tx2 ? t ? 0 .② 由①、②,可得 x1 , x 2 是方程 x ? 2tx ? t ? 0 ( * )的两根??5 分
2

2

(2)由( * )知. ?

? x1 ? x 2 ? ?2t , ? x1 ? x 2 ? ?t .

MN ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ?
∴ g (t ) ?

t t t 2 ? x2 ? ) 2 ? [(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ][1 ? (1 ? ) ] ? 20t 2 ? 20t , x1 x2 x1 x2

20t 2 ? 20t (t ? 0) .????????9 分

(3)易知 g (t ) 在区间 [2 , 16] 上为增函数,

? g (2) ? g (ai ) ? g (16) (i ? 1,2,?, m ? 1) ,
则 m ? g (2) ? g (a1 ) ? g (a2 ) ? ? ? g (am ) ? g (am?1 ) ? g (16) .?11 分 即 m ? g (2) ? g (16) ,即 m 20? 22 ? 20? 2 ? 所以 m ?

20?162 ? 20?16 ,

136 ,由于 m 为正整数,所以 m ? 6 . 3

又当 m ? 6 时,存在 a1 ? a2 ? ? ? a6 ? 2 , a7 ? 16 满足条件, 所以 m 的最大值为 6 . ??14 分


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