高二期末圆锥曲线复习(2)


清远市华侨中学高二期末复习——圆锥曲线 一、定义:
1、 椭圆: M F1 F2 = 2a ( 2a > 2c ) F1 2、双曲线: M F2 F = 2a ( 2a < 2c ) 图中,等于 a,b,c 的线段分别是:a b F2 A K 离心率是 ; 焦半径长度公式 r1=_______ 2.双曲线: B1 B F1 A1 O P A F2 ,c . 等于 = ; 3、抛物线 M

几何性质 1. 椭圆:
K1 A1

B F1 O

a2 的线段是: c

r2=_______

双曲线图中,等于 a,b,c 的线段分别是: a b ,c .等于
a2 的线段是: c

离心率是

; 两渐近线方程是

两渐近线方程可以合并写成: 注: 当上述椭圆和双曲线的焦点改为在 y 轴时, 曲线的标准方程\ 焦点坐标\ 准线方程\ 渐近线方程,都分别作相应的改变.
x2 y2 *共渐近线的双曲线系: 所有双曲线 2 ? 2 ? ? (? ? 0)的渐近线方程都是: a b

3. 抛物线 A K O F Q(x2 , y2) B 焦点 F( , ) ,准线为 P(x1 , y1) 抛物线 y 2 ? 2 px 图中, 等于 p 的线段有: 过焦点的弦有下列性质(1) 通径 AB = (2)焦点弦长公式 PQ = (3)y1y2= ;x1x2= (4)
1 1 ? ? 其中 m ? PF , n ? QF ) m m (5)以焦点弦 PQ 为直径的圆必与准线相

;

.

注:对于开口向其他方向的情形,有类似结论 .例如开口向上的抛物线标准方程 为 ;焦点坐标为 ,准线方程为 ,焦点弦长为 由已经研究出的结论,类比推出其它情况下的结论,是数学贯用的思想方法!

请推出并记忆椭圆的通径长结论、椭圆的焦点弦长结论。写在此。
1

二、练习
1、化简方程:

?x ? 5?2 ? y 2

?

?x ? 5?2 ? y 2

?6
2

2、 已知动圆 P 过定点 A?? 3, 0? ,且在定圆 B: ?x ? 3? ? y 2 ? 64的内部与其相内切,求动圆圆心
P 的轨迹方程.

3、椭圆的一个顶点为 A?2, 0? ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程. 4、当 ? ? ?0?,180?? 时,方程x 2 ? y 2 cos? ? 1 表示的曲线形状如何变化?
2 2 5、 已知 F1、F2 为椭圆 x ? y ? 1 的两个焦点, 过 F1 的直线交椭圆于 A、 B 两点若 F2 A ? F2 B ? 12 ,

25

9

则 AB = 6、设 F1 , F2 是双曲线 C :
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,P 是 C 上一点,若 PF 1 ? PF2 ? 6a, a 2 b2

且 ?PF1F2 的最小内角为 30? ,则 C 的离心率为___.
2 2 7、已知双曲线 C 与双曲线 x ? y ? 1 有公共渐近线,且过点(3 2 ,2).双曲线 C 的方程 16 4 为 .

8、以抛物线 y 2 ? 8 3x 焦点 F 为右焦点,且两条渐近线是 x ? 3 y ? 0 的双曲线方程为 9、双曲线的渐近线为 y ? ? 3 x ,则离心率为
2

10、已知抛物线 C : y 2 ? 8x 与点 M ? ?2,2? ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A, B 两点, 若 MA ? MB ? 0 ,则 k ? 11、已知椭圆 E :
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点. a 2 b2

若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则该椭圆的离心率为
2

,方程为

x2 y 2 ? 1 相交于 A, B 两点,若 ?ABF 12、抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,其准线与双曲线 ? 3 3

为等边三角形,则 P ? _____________ 13、 已知 P(4 , 2) 是直线 l 被椭圆
x2 y2 ? ? 1 所截得的线段的中点, 直线 l 的方程_____________ 36 9

2

x2 y 2 14、椭圆 C : ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1, A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率的取值范围 4 3

是 ??2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是
?1 3? A. ? , ? ?2 4? ?3 3? B. ? , ? ?8 4 ?
a b


?3 ? D. ? , 1 ?4 ? ?



?1 ? C. ? , 1 ?2 ? ?

2 2 15、已知 F1,F2 分别是双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线

与双曲线交于 A,B 两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( (A). (1 ? 2 ,??) (B). (1,1 ? 2 ) (C). (1, 3) (D). ( 3,2 2 ) 16、(1)已知椭圆方程



x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? ,长轴端点为 A1 , A2 ,焦点为 F1 , F2 , P 是椭 a 2 b2

圆上一点, ?F1PF2 ? ? .求: ?F1 PF2 的面积(用 a 、 b 、 ? 表示). x2 y2 →· → (2)P 为椭圆 4 + 3 =1 上一点,F1,F2 为该椭圆的两个焦点,若∠F1 PF2=60°,求PF 1 PF2

17、已知椭圆 一点. (1) (2)

x2 y2 ? ? 1 内有一点 A(1 , 1) , F1 、 F2 分别是椭圆的左、右焦点,点 P 是椭圆上 9 5

P 坐标; 求 PA ? PF 1 的最大值、最小值及对应的点

求 PA ?

3 PF2 的最小值及对应的点 P 的坐标. 2

18、已知椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 1及直线 y ? x ? m . (1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为
2 10 ,求直线的方程. 5

3

x2 19、已知椭圆 C1 : ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4

??? ? ??? ? (1)求椭圆 C2 的方程;(2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直
线 AB 的方程.

]

21、 椭圆的对称中心在坐标原点, 一个顶点为 A ( 0 , 2 ) , 右焦点 F 与点 B( 2 , 2) 的距离为 2 。 (1)求椭圆的方程;(2)是否存在斜率 k ? 0 的直线 l : y ? kx ? 2 ,使直线 l 与椭圆相交于 不同的两点 M , N 满足 | AM | ? | AN | ,若存在,求直线 l 的倾斜角 ? ;若不存在,说明理由。

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点 F 与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合,且截抛物线的 2 a b 准线所得弦长为 2 ,倾斜角为 45? 的直线 l 过点 F .

22、已知椭圆

(1)求该椭圆的方程; (2)设椭圆的另一个焦点为 F1 ,问抛物线 y 2 ? 4 x 上是否存在 一点 M ,使得 M 与 F1 关于直线 l 对称,若存在,求出点 M 的坐标,若不存在,说明理由.

23、 已知椭圆

1 x2 ? y 2 ? 1上两个不同的点 A,B 关于直线 y ? mx ? 对称. (Ⅰ) 求实数 m 的取值范围; (Ⅱ) 2 2

求 ?AOB 面积的最大值( O 为坐标原点) .
4

24、已知椭圆 C: 9x2 ? y 2 ? m2 (m ? 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交 点 A,B,线段 AB 的中点为 M。 (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (2)若 l 过点 ( , m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若 能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由。
m 3

高二数学期末圆锥曲线复习答案 1、
x2 y2 ? ? 1, x ? 0 (注意只能表示左支) 9 16

2、

x2 y2 ? ?1 16 9 x2 y2 ? ?1 8、 9 3

3 、4 略
13 13 或 2 3

5、8

6、 3

x2 ? 2y2 ? 1 7、 16

9、

10、2

11、

2 x2 y2 , ? ?1 2 18 9

12、6 14、提示:

1 13、 x ? y ? 4 ? 0 2

=

=

,故选 B

15、B
1 ab sin C 求面 2

16、分析:求面积要结合余弦定理及定义求角 ? 的两邻边,从而利用 S ? ? 积. S ?F1PF2 ?
1 ? 1 2b 2 PF1 ? PF2 sin ? ? sin ? ? b 2 tan . 2 2 2 1 ? cos?
5

9 15 5 15 9 15 5 15 2, ? 2 ) 、 P2 ( ? 2, ? 2) 17、(1) 6 ? 2 ,6 ? 2 , P 1( ? 7 14 7 14 7 14 7 14 7 2

(2)

,点 P 坐标 (

6 5 , 1) 5
1 PF2 的最小值,就是用第二定义转化后,过 A 向相应准线作垂线段.巧 e

说明:求 PA ?

用焦点半径 PF2 与点准距 PQ 互化是解决有关问题的重要手段. 18、(1) ?
5 5 ?m? 2 2

(2) y ? x

分析:可以利用弦长公式 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 求得, 也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求. 19、解析:(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为
y 2 x2 3 ? ? 1 (a ? 2) 其离心率为 ,故 2 a 4 2

y2 x2 a2 ? 4 3 ?1 ,则 a ? 4 故椭圆的方程为 ? ? 16 4 a 2

??? ? ??? ? (2) A, B 两点的坐标分别记为 ( xA , yA ), ( xB , yB ) 由 OB ? 2OA 及(1)知, O, A, B 三点共线且
点 A , B 不在 y 轴上, 因此可以设直线 AB 的方程为 y ? kx 将 y ? kx 代入
x2 ? y 2 ? 1中, 4

2 ? 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 ,所以 x A

??? ? ??? ? 4 16 16k 2 2 2 x ? y ? 由 , 得 , OB ? 2 OA B B 1 ? 4k 2 4 ? k2 1 ? 4k 2

y 2 x2 4 ? k2 ? 1,即 4 ? k 2 ? 1 ? 4k 2 将 x , y 代入 ? ? 1 中,得 2 16 4 1 ? 4k
2 B 2 B

解得 k ? ?1 ,故直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ? x . 20、解:设所求椭圆的标准方程为
x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,右焦点为 F2 ? c,0? . 因 ? AB1B2 是直角 a 2 b2
c . 结合 c2 ? a 2 ? b2 得 2

三角形,又 AB1 ? AB2 ,故 ?B1 AB2 为直角,因此 OA ? OB2 ,得 b ?
4b2 ? a 2 ? b2 ,故 a2 ? 5b2 , c2 ? 4b2 ,所以离心率 e ?
S? AB1B2 ?

c 2 ? 5 . 在 Rt? AB1B2 中, OA ? B1B2 ,故 a 5

1 c B1 B2 ?OA ? OB2 ?OA ? ? b ? b 2 由题设条件 S? AB1B2 ? 4 ,得 b2 ? 4 ,从而 2 2

a 2 ? 5b2 ? 20 .

6

x2 y 2 ? ?1 因此所求椭圆的标准方程为: 20 4

(2)由(1)知 B1 (?2,0), B(2,0) ,由题意知直线 l 的倾斜角不为 0,故可设直线 l 的方程 为: x ? my ? 2 ,代入椭圆方程得 ? m 2 ? 5 ? y 2 ? 4my ? 16 ? 0 , 设 P ? x1, y2 ? , Q ? x2 , y2 ? ,则 y1 , y2 是上 面方程的两根,因此 ???? ? ???? ? 4m 16 y1 ? y2 ? 2 , y1 ?y2 ? ? 2 又 B2 P ? ? x1 ? 2, y1 ? , B2Q ? ? x2 ? 2, y2 ? ,所以 m ?5 m ?5 ???? ? ???? ? B2 P?B2Q ? ? x1 ? 2?? x2 ? 2? ? y1 y2 ? ? my1 ? 4?? my2 ? 4? ? y1 y2 ? ? m 2 ? 1? y1 y2 ? 4m ? y1 ? y2 ? ? 16

??

16 ? m2 ? 1? m2 ? 5

?

???? ? ???? ? 16m 2 ? 64 16m2 ? ? 由 , 得 PB ? QB ? 16 B P ? B Q ? 0 ,即 16m2 ? 64 ? 0 ,解 2 1 2 2 2 2 m ?5 m ?5

得 m ? ?2 , 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为: x ? 2 y ? 2 ? 0 和 x ? 2 y ? 2 ? 0 21、 椭圆的对称中心在坐标原点, 一个顶点为 A ( 0 , 2 ) , 右焦点 F 与点 B( 2 , 2) 的距离为 2 。 (1)求椭圆的方程;(2)是否存在斜率 k ? 0 的直线 l : y ? kx ? 2 ,使直线 l 与椭圆相交于 不同的两点 M , N 满足 | AM | ? | AN | ,若存在,求直线 l 的倾斜角 ? ;若不存在,说明理由。

x2 y2 ? ? 1。 21、解(1)椭圆方程为 12 4

? y ? kx ? 2 ? (2)由 | AM | ? | AN | 知点 A 在线段 MN 的垂直平分线上,由 ? x 2 y 2 消去 y 得 ?1 ? ? ?12 4
x 2 ? 3(kx ? 2) 2 ? 12 即 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 0
(*) 由 k ? 0 ,得方程(*)的

? ? (?12k ) 2 ? 144k 2 ? 0 ,即方程(*)有两个不相等的实数根。
设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,线段 MN 的中点 P ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x 2 ?
x ? x2 12 k 6k ? ,? x0 ? 1 , 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

6k 2 ? 2 (1 ? 3k 2 ) ?2 ? , ? y 0 ? kx0 ? 2 ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2
6k ?2 , ) ?k ? 0 , 即 P( 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

7

?2 ?2 2 ? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) ∴直线 AP 的斜率为 k1 ? 1 ? 3k , ? 6k 6k 1 ? 3k 2
由 AP ? MN ,得
? 2 ? 2(1 ? 3k 2 ) ? k ? ?1 , 6k

∴ 2 ? 2 ? 6k 2 ? 6 ,解得: k ? ?

3 ,即 3

tan? ? ?

? 5? ? 3 , 又0 ? ? ? ? , 故 ?? , 或? ? , ∴ 存在直线 l 满足题意, 其倾斜角 ? ? , 6 6 6 3

或? ?

5? 6

周练:21.(本小题满分 12 分)已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1),焦点在 x 轴上.若右焦 点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M、N,当 AM ? AN 时,求 m 的取值范 围.
【答案】

(1)右焦点(c,0)到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离 d ?
x2 ? y2 ? 1 3

|c?0?2 2 | ? 3 ,得 c ? 2 ,又 b=1, 2

则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 ? 2 ? 3 ,故所求椭圆方程为:

(2)把直线方程 y ? kx ? m (k ? 0) 代入椭圆方程得:

(3k 2 ? 1) x 2 ? 6kmx? 3(m2 ?1) ? 0 , ? ? 36k 2m2 ?12(3k 2 ? 1)(m2 ?1) ? 0
2 2 3k ?m ? 1 ? 0, 且 x1 ? x2 ? 即: 3k 2 ? m 2 ? 1 …… ?

? 6km 3(m 2 ? 1) , x x ? , 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
2

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,由 AM ? AN 得 AM
x1 ? ( y1 ? 1) 2 ? x2 ? ( y2 ? 1) 2
2 2

? AN 即:

2

即x1 - x2 ? ( y2 ? y1 ? 2)( y2 ? y1 ) ? (k ( x2 ? x1 ) ? 2m ? 2)k ( x2 ? x1 ), ( x1 ? x2 )

2

2

整理 得 3k 2 ? 2m ? 1 ,代入?得: m 2 ? 2m解得0 ? m ? 2 ,
1 1 又2m ? 1 ? 3k 2 ? 0解得 m ? , ? ?m?2 2 2

8

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点 F 与抛物线 y 2 ? 4x 的焦点重合,且截抛物线的 a 2 b2 准线所得弦长为 2 ,倾斜角为 45? 的直线 l 过点 F .

22、已知椭圆

(1)求该椭圆的方程; (2)设椭圆的另一个焦点为 F1 ,问抛物线 y 2 ? 4 x 上是否存在 一点 M ,使得 M 与 F1 关于直线 l 对称,若存在,求出点 M 的坐标,若不存在,说明理由. 22、解:(1)抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F (1,0) ,准线方程为 x ? ?1 ,∴ 又椭圆截抛物线的准线 x ? ?1 所得弦长为 2 , 该椭圆的方程为 ∴ 得交点为 (?1,
2 ), 2
a2 ? b2 ? 1

x2 y 2 ? ?1 2 1 (2)∵ 倾斜角为 45? 的直线 l 过点 F ,∴ 直线 l 的方程为 y ? tan45? ( x ? 1) ,即 y ? x ? 1 , 由(1)知椭圆的另一个焦点为 F1 (?1,0) ,设 M ( x0 , y0 ) 与 F1 关于直线 l 对称,

? y0 ? 0 ? 1 ? ?1 ? ? x0 ? 1 ? x0 ? 1 则得 ? 解得 ? ,即 M (1,?2) ? y0 ? ?2 ? y 0 ? 0 ? x0 ? (?1) ? 1 ? 2 ? 2 2 又 M (1,?2) 满足 y ? 4 x ,故点 M 在抛物线上。 所以抛物线 y 2 ? 4 x 上存在一点 M (1,?2) ,使得 M 与 F1 关于直线 l 对称。
23、第 16 周 16 题 24、第 16 周 17 题

9


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