期末复习(II)圆锥曲线综合问题


山东省实验中学西校区高二数学组期末复习题

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《圆锥曲线综合问题》期末复习题
一、选择题
2 2 1. 过椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 焦点 F(c, 0)的弦中最短弦长是( 2 2

a

b

2 2 2 2 ) A. 2b B. 2a C. 2c D. 2c a b a b

2. 设 F1 , F2 是双曲线 x ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足 ?F1 PF2 ? 90? ,则 ?PF 1 F2 4 的面积为 ( 3. 曲线 ) A. 1 B.
5 2

2

C. 2

D.

5

x2 y2 x2 y2 ) ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? m ? 9) 的( 10 ? m 6 ? m 5?m 9?m A.焦距相等 B .离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同 4. 在同一坐标系中,方程 a2x2+b2y2=1 与 ax+by2=0(a>b>0)的曲线大致是(

)

2 2 5.已知对 k ? R , 直线 y ? kx ? 1 ? 0 与椭圆 x ? y ? 1 恒有公共点, 则实数 m 的取值范围是 (



5

m

A. (0,1)

B. (0,5)
2

C. [1, ??)

D. [1,5) )

6.设抛物线 y ? ax (a ? 0) 与直线 y ? kx ? b(k ? 0) 有两个交点,其横坐标分别是 x1.x2 ,而直线

y ? kx ? b(k ? 0) 与 x 轴交点的横坐标是 x3 ,那么 x1 , x2 , x3 的关系是(
A. x3 ? x1 ? x2
2 2

B. 1 ? 1 ? 1
x3 x2

x1

C. 1 ? 1 ? 1
x1 x3

x2

D. x1 ? x2 ? x3

7.椭圆 mx ? ny ? 1 与直线 y ? 1 ? x 交于 M , N 两点,过原点与线段 MN 中点所在直线的斜

m 率为 2 ,则 的值是 (
2

n

) A) 2
2

B. 2 3
3

C. 9 2
2

D. 2 3
27

8.直线 y=x+3 与曲线 y ? x | x | ? 1(
9 4

2

)交点

A.没有 B.只有一个 C.有两个 D.有三个

二、填空题

F 是抛物线的焦点, 9.抛物线 y ? 4 x 截直线 y ? 2 x ? b 得弦 AB , 若 AB ? 3 5 , 则三角形 FAB
2

的周长等于 10.双曲线 x ? y ? 1的左焦点为 F , P 为左支下半支上任意一点(异于顶点) ,则直线 PF 的
2 2

斜率的变化范围是 11.若直线 y ? x ? m 与椭圆 x ? y 2 ? 1相交于 A、B 两点,当 m 变化时, AB 的最大值是
4
2

12. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 表示的曲线为

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选择题 答案 填空题 答案

1 A 9

2 A

3 A 10

4 D

5 C 11
4 10 5

6 B

7 A 12
x2 y 2 ? ?1 4 3

8 D

7+3 5

(??,0) (1, ??)

三、解答题(解 答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ,) . ..................
2 2 13. 过椭圆 x ? y ? 1内一点M(1, 1)的弦AB (1)若点 M 恰为弦 AB 的中点,求直线 AB 的方程;

16

4

(2)求过点 M 的弦的中点的轨迹方程.

14.O 为坐标原点,过点 P(2,0)且斜率为 k 的直线 l 交抛物线 y2=2x 于 M(x1,y1),N(x2, y2)两点. (1)写出直线 l 的方程; (2)求 x1x2 与 y1y2 的值; (3)求证:OM⊥ON. (Ⅰ)解:直线 l 过点 P(2,0)且斜率为 k,故可直接写出直线 l 的方 程为 y=k(x-2) (k≠0)① (Ⅱ)解:由①及 y2=2x 消去 y 代入可得 k2x2-2(k2+1)x+4k2=0.② 则可以分析得:点 M,N 的横坐标 x1 与 x2 是②的两个根,由韦达定理 得
2 又由 y12=2x1, y22=2x2 得到 (y1y2) =4x1x2=4× 4=16,

又注意到 y1y2<0,所以 y1y2=-4. (Ⅲ)证明:设 OM,ON 的斜率分别为 k1,k2, ,所以证得:OM⊥ON.
2 15. 已知直线 l : y ? kx ? b 与椭圆 C : x 2 ? y ? 1 交于 A, B 两点, M 是 AB 中点, O 为原点.(I) 3 当直线 l 与直线 x+y=0 平行(不重合)时,求直线 OM 的斜率; (II)若 OM ? 1 ,证明

b2 ?

(k 2 ? 3) 2 ,并求线段 AB 长取最大值时,直线 l 的方程 k2 ? 9

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16.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,右顶点为 ( 3,0) (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点). 求 k 的取值范围.

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