2014年稽阳联谊学校高三联考数学(文科)参考答案


2014 年稽阳联谊学校高三联考 数学(文科)试题参考答案及评分标准
一.选择题: 1 C 解析: 2 D 3 A 4 B 5 C 6 A 7 B 8 C 9 B 0 1 A

1.解析: 3 ? A,3 ? B ,选 C 2.解析: i(1 ? i) ? i ? i 2 ? ?1 ? i ,选 D 3.解析:函数 f ( x) ? (a ? 1) x 3 ? (a 2 ? 1) x 2 ? x 为奇函数得 a ? ?1 ,选 A 4 . 解 析 : 选 项 A 中 m // ? , ? ? ? , 则m // ? , 相 交 或 m ? ? ; 选 项 C 中 若

m // ? ,? // ? , 则m // ? 或 m ? ? ;选项 D 中若 m // ? , m // ? , 则? // ? 或相交故选 B
5 . 解析:由三视图易知,该几何体是底面积为

3 ,高为 3 的三棱锥,由锥体的体积公式得 2

1 3 3 V ? ? ? 3 ? .选 C 3 2 2
6.解析:

a ? 20.5 ? 20 ? 1 ,b ? log? 3 ? ? 0,1? ,c ? log 2

2 ?a ? b ? c ? log 2 1 ? 0 , 2

选 A.
2 7.解析:由 a1 , a3 , a4 成等比数列,得 a3 ? a1 ? a4 ,即 (a2 ? 2) ? (a2 ? 2)(a2 ? 4) ,解得
2

a2 ? ?6 ,选 B
8. 解析: f ( x) ? 选C

3 sin 2 x ? 1 4 sin 2 x ? cos2 x 1 1 ? ? 4 tan x ? ? 2 4 tan x ? ? 4, 2 2 tan x tan x tan x cos x tan x cos x

x2 y2 9.解析:设 | PF 1 |? m, | PF 2 |? n , 且 m ? n , ? PF 1 , PF 2 ?? ? , 曲线 C 2 : 2 ? 2 ? 1 ,由 a b
条件知 | PO | ?|
2

1 1 61 2 ? ( PF1 ? PF2 ) |2 ? (m2 ? n2 ? 2mn cos ? ) ? ( ) , 及三角形 PF1 F2 中 2 4 3
稽阳联考数学(文科)参考答案 第 1 页(共 8 页)

余弦定理 m2 ? n2 ? 2mn cos? ? (2c)2 ? 42 ,结合 m ? n ? 6, m ? n ? 2a 可得 a ?

4 ,从而 3

e?

3 ,选 B 2

a ? b ? sin ?? ? ? ? ? sin 10. 解析:

?
6

?

1 ? a ?b 1 , 由已知 cos ? a, b ?? ? ,知 ? a, b ?? , 2 3 a?b 2

从而 a ? b ? 3 ,| c ? a ? b |?| c ? (a ? b) | =2,可知 c 的终点在以向量 (a ? b) 的终点为圆 心,半径为 2 的圆周上,可得 2 ? 3 ?| c |? 2 ? 3 ,从而得到 ( 选A 二、填空题: 11.解析: 90 ?

|a| 1 )min ? ? 2? 3。 |c| 2? 3

6 ? 36 ,答案: 36 4?5?6

12.解析:编号,列举,得 10 种情况,符合条件的有 7 种,故所求概率为

7 7 ,答案: 10 10

13.解析:由程序框图知,循环体被执行后 a 的值依次为 2、8、26、80、242,故输出的结 果是 242, 答案: 242

20 38 38 , ?2) 时取得最大值为 ,答案: 3 3 3 ( ) ?? ( 4 )f 4 ) ? 2? , 15. 解析: f ( x ? 2) 为奇函数, 得 f (?2 ? 2) ? ? f (2 ? 2) , 即 f0 , 得 f( 答案: ? 2 m m 2 ( x ? 4) ,令 k ? 2 16.解析: mx ? (m ? 1) y ? 4m ? y ? 2 , m ?1 m ?1
14.解析:画出可行域,由 z ? x ? 3 y 知当在点 C ( 则k ?

? 1 ? ? 1? ? ? ? , 0 ? ? 0, ? , 直线 l : y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 , 1 ? 2 ? ? 2? m? m 1
2 2 2 2

圆 C : x ? y ? 8x ? 4 y ? 16 ? 0 ,即 ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 4 , 圆心 C (4, ?2) , 半 径 r ? 2 , 圆 心 C ( 4?,

2 到 ) 直 线 l : kx ? y ? 4k ? 0 的 距 离

d?

4k ? 2 ? 4k k ?1
2

?

? 4 ? ?16 ? ? ? , 2? , d 2 ? ? , 4? ?5 ? k ?1 ? 5 ? 2
2

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? 4 5? ? 弦长 2 4 ? d 2 ? ? ? 0, 5 ? ? ?
17. 解析: 函数 f ( x ) 的零点个数即函数 g ( x) ? ?

??2( x ? 1)2 ? 18,| x |? 4 ? 4 x ? 16,| x |? 4

的图像与函数 y ? m

的图像的交点个数,数形结合得 a ? 小值为 7 ,答案: 7 三、解答题:

13 * ,又 a ? N ,? 满足条件的所有 a 的最 2

18. (本题满分 14 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , cos C ? ? (Ⅰ)若 c ?

6 . 4

2a ,试比较 a 与 b 的大小;
10 , D 为 AB 的中点时,求 CD 的长. 8

C

(Ⅱ )当 b ? 2 , sin B ? 18.解: (Ⅰ)

A

D

B

c ? 2a ? cos C ?

a 2 ? b 2 ? c 2 a 2 ? b 2 ? 2a 2 b 2 ? a 2 ? ? ? 0 --------5 分 2ab 2ab 2ab

? a ? b ---------------------------------------------------7 分
(Ⅱ)

sin C ?

10 ? 2sin B ? c ? 2b ? 4 -----------------------------------------------9 分 4 10 54 ,得 cos B ? ,----------------------------------------------10 分 8 8

由 sin B ?

a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? 4 ? 16 6 ? ?? 由 cos C ? ? a ? 6 ,-------------------12 分 2ab 4a 4
?BCD 中, CD2 ? ( 6)2 ? 22 ? 2 ? 6 ? 2 ?
(其它解法酌情给分)
2 19. (本题满分 14 分)已知实数 a ? 0 ,且 2a,1, a ? 3 按某种顺序排列成等差数列.

54 ? 1 ,得 CD ? 1 --------14 分 8

(Ⅰ )求实数 a 的值;
稽阳联考数学(文科)参考答案 第 3 页(共 8 页)

(Ⅱ ) 若等差数列 {an } 的首项和公差都为 a , 等比数列 {bn } 的首项和公比都为 a , 数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,且

Tn ? 2 ? S n ? 238 ,求满足条件的自然数 n 的最大值. 2n
2

19. 解: (Ⅰ)由已知三个数有: a ? 3 ? a ? 1 ? 2 ? 2a ? 2 ? 2a ---------------------2 分
2

不妨设排列成递增的等差数列,则
2 2 ①若 1,2a, a ? 3 依次成等差数列,则有 4a ? a ? 4 解得 a ? 2 ,符合题意;-----------4 分
2 ②若 2a,1, a 2 ? 3 依次成等差数列,则有 2 ? 2a ? a ? 3 解得 a ? ?1 ,由 a ? 0 不符合题意;

--------6 分 综上得 a ? 2 ---------------------7 分 (分 3 种情况讨论相应给分) (Ⅱ )由(Ⅰ)知 an ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n , bn ? 2n ---------------------9 分

S n ? n(n ? 1),Tn ? 2 n?1 ? 2 ---------------------------------------11 分
由已知

Tn ? 2 ? S n ? 238 可得 2 ? n(n ? 1) ? 238,即 n(n ? 1) ? 240,---------13 分 2n

故 n 的最大值为 14. ------------------------------------14 分
? 20 . ( 本 题 满 分 15 分 ) 如 图 , 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , ?ABC ? ?DAB ? 90 ,

AD ? 3, BC ? 2, AB ? 3, E、F 为 AD 上的两个三等分点, G、H 分别为线段
AB, BC 的中点,将 ?ABE 沿直线 BE 翻折成 ?A1BE ,使平面 A1BE ? 平面BCDE .
(Ⅰ )求证: A1D // 平面FGH ; (Ⅱ )直线 A1D 与平面 A1BE 所成角;

BC 交于点 J ,使得平面 ? 垂直于 BC ,求 CJ 的长度. (III)过点 A 1 作平面 ? 与线段
A1

A G B

E

F

D
G E F D

20.解:

H

C

B

H

C



(Ⅰ )方法一:由已知得 BC ? 2 ? ED 且 BC / / ED ,故四边形 BCDE 为平行四边形……2 分
(第 20 题图) 稽阳联考数学(文科)参考答案 第 4 页(共 8 页)

F 为 BC 、 ED 的中点, H、 设 BD

HF ? O , 则易知 O 为 BD 的中点, 连 GO ,

由G 为 A 1B 中点,知 OG / / A 1 D --------------------------------------------3 分 又 GO ? 平面FGH,A 1D ? 平面FGH ,故 A 1D / /平面FGH 。------------------5 分 方法二:证平面 ACD / /平面FGH -------------------------------------------------------3 分 1 又A ,故 A ---------------------------------------------5 分 1D ? 平面ACD 1 1D / /平面FGH 。 (Ⅱ )在平面 BCD 内过点 D 作 DM ? BE ,交 BE 延长线于点 M ,连 A1M , 由已知面 A1BE ? 平面BCD ,且 BE 为两平面的交线,得 DM ? 平面A 1BE , 则 ?DA1M 即为直线 A1D 与平面 A1BE 所成的角,----------------------------------------------7 分
? 在 ?DEM 中,由 DE ? 2 , ?DEM ? 60 ,知 DM ? 3 ---------------------------------8 分

在 ?A 1EM 中, A 1E ? 1, EM ? 1, ?A 1EM ? 120 ,知 A 1M ? 3 ,----------------------9 分 从而 tan ?DA1M ?

? DM 3 ? ? 1 ,所以 ?DA1M ? , 4 A1M 3
? .-------------------------------------------------------10 分 4

即直线 A1D 与平面 A1BE 所成的角为

BE 于 K , 则 由 平 面 A1 BE ? 平面 BCDE ( III ) 过 A 可 得 A1K ? 平 面 1作 A 1 K ? BE 交

B C D E,从而 BC ? A1K ,过 K 作 KM ? BC 交 BC 于 M ,则 BC ? 平面 A1KM ,由于 BC 垂 直 的 平 面 是 唯 一 的 , 所 以 平 面 A1KM 即 平 面 ? , 点 M 即 点 J , 过 A 1 且与
-------------------------13 分 在 Rt ?ABE 中, BK ?

1 3 3 ,? 在 Rt ?BKJ 中, BJ ? BK ? , 2 2 4

? CJ ?

5 ----------------------------------------------------------------------------------------------15 分 4 1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x(a ? R) , 2

(其它解法酌情给分) 21.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ?

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 对 x ? ?0,2?恒成立,求实数 a 的取值范围.

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第 5 页(共 8 页)

21.解:(Ⅰ) a ? 1 时, f ( x ) ?

1 2 2 x ? 3 x ? 2 ln x , f ?( x) ? x ? 3 ? ,……… 1 分 2 x

5 f (1) ? ? , f ?(1) ? 0 ,……………………………………………… 2 分 2 5 5 ? 曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? (? ) ? 0( x ? 1) ,即 y ? ? 。……4 分 2 2
(Ⅱ)由题意得 ? f ( x)?max ? 0 ,………………………………………… 6 分

f ?( x) ? ax ? (2a ? 1) ?
1 ○

2 ax2 ? (2a ? 1) x ? 2 (ax ? 1)(x ? 2) ? ? ……………………7 分 x x x
f ?( x) ? 0


a?0 时 ,

f ( x)



?0,2?

单 调 递 增 , 此 时

? f ( x)?max ?

f (2) ? 2 ln 2 ? 2a ? 2 ? 0 ,

得 ln 2 ? 1 ? a ? 0 ……………………………………………………………………9 分

1 a( x ? )(x ? 2) (ax ? 1)(x ? 2) a 2 a ? 0 时, f ?( x) ? , ? ○ x x 1 1 若 ? 2 ,即 0 ? a ? ,可得 f ( x) 在 ?0,2? 单调递增, a 2 1 此时 ? f ( x)?max ? f (2) ? 2 ln 2 ? 2a ? 2 ? 0 ,得 0 ? a ? …………………11 分 2 1 1 1 1 若 0 ? ? 2 ,即 a ? ,则 f ( x) 在 (0, ) 单调递增, ( ,2) 单调递减, a 2 a a 1 1 ? 2 ,…………………………………… 12 分 此时 ? f ( x)?max ? f ( ) ? ?2 ln a ? a 2a 1 1 2 1 1 ? 4a ? 2 (a ? ) ? ?0, 令 h(a) ? ? 2 ln a ? ,则 h?(a ) ? ? ? 2 2a 2 a 2a 2a 2 1 1 故 h(a) 在 ( ,?? ) 单调递减,? h( a ) ? h( ) , 2 2 1 1 而 h( ) ? 2 ln 2 ? 3 ? ln 4 ? 3 ? 0 ,? h(a) ? 0, ? a ? 符合题意………………14 分 2 2 综上得: a ? ln 2 ? 1 ……………………………………………………15 分

22.(本题满分 14 分)设抛物线 E : x ? 2 y ,圆 N : x ? ( y ? 4) ? 1,
2 2 2

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(Ⅰ)若斜率为 1 ,且过圆心 N 的直线 l 与抛物线 E 相交于 P, Q 两点,求 PQ ; (Ⅱ)点 M 是抛物线 E 上异于原点的一点,过点 M 作圆 N 的 两条切线,切点分别为 A, B ,与抛物线 E 交于 D, C 两点, 若四边形 ABCD 为梯形,求点 M 的坐标.

? x2 ? 2 y 22.解: (Ⅰ)解:由 ? ?y ? x ? 4
得 x ? 2 x ? 8 ? 0 ,----------------------2 分
2

则 x1 ? ?2, x2 ? 4, 得 PQ ? ( Ⅱ ) 解 法 一 : 设 M( x 0 ,

2 | x1 ? x2 |? 6 2 --------------------------------4 分
2 x0 ) (x 0? 2

0x ,0 ? ? , 1 )过 点 M 的 圆 N 的 切 线 方 程 为

y?

2 x0 2 ? k ( x ? x0 ) , 即 2kx ? 2 y ? 2kx0 ? x0 ? 0 , 则 圆 心 N (0, 4) 到 切 线 的 距 离 2
2 x0 ? 2kx0 ? 8

d?

4k 2 ? 4

? 1,--------------------------------------------------------------6 分

2 2 2 得 (4 ? 4x0 )k 2 ? 4x0 ( x0 ? 8)k ? 4 ? ( x0 ? 8)2 ? 0 ( ? )
2 x0 ( x0 ? 8) , 2 x0 ? 1

? kMC , kMD 是( ? )的两根, kMC ? kMD ?

2 ? ?2kx ? 2 y ? 2kx0 ? x0 ? 0 2 由? 2 得 x2 ? 2kx ? 2kx0 ? x0 ?0 ? ?x ? 2 y

? xD ? x0 ? 2k MD ?? , xC ? xD ? 2(kMC ? kMD ) ? 2 x0 , ? xC ? x0 ? 2k MC
2 xC x2 ? D 2 ? xC ? xD ? (k ? k ) ? x ? 7 x0 ,----------------------------------10 分 ? 2 MC MD 0 2 xC ? xD 2 1 ? x0

? kCD

若四边形 ABCD 是梯形,则由 MN ? AB 知, MN ? CD ,
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所以

k MN ? kCD ? ?1,---------------------------------------------------------------------12 分

2 x0 ?4 7 x0 2 54 3 30 2 ? ? ?1 ? x0 ? ? x0 ? ? ? 2 1 ? x0 x0 5 5

故 M(

3 27 3 27 30 , ) 30 , ) 或 M( ? ---------------------------------------14 分 5 5 5 5

解 法 二 : 设 M( 2t0 ,2t0 ) ( t 0 ? 0 且 t 0 ? ?
2

2

1 2 2 ) , D(2t1 ,2t1 )C( 2t 2 ,2t 2 ), 则 2

k MD ? t1 ? t 0 ,所以 l MD : y ? 2t 0 ? (t1 ? t 0 )(x ? 2t 0 ) ,即 (t1 ? t 0 ) x ? y ? 2t 0t1 ? 0
由 MD 与圆 N 相切得,

| 4 ? 2t 0 t1 | 1 ? (t1 ? t 0 ) 2

? 1 ,----------------6 分
2

化简得 (4t 0 ? 1)t1 ? 14t 0t1 ? 15 ? t 0 ? 0 , 同理 (4t 0 ? 1)t 2 ? 14t 0t 2 ? 15 ? t 0 ? 0 ,
2 2 2

2

2

? t1 ,t 2 是方程 (4t 0 ? 1)t 2 ? 14t 0t ? 15 ? t 0 ? 0 ,则 k CD ? t1 ? t 2 ?

2

2

14t 0 1 ? 4t 0
2

,-------10 分

若四边形 ABCD 是梯形,则由 MN ? AB 知 MN ? CD ,? k MN ? k CD ? ?1,----------12 分

2t ? 4 14t 0 27 2 , ? 0 ? ? ?1 ,? t 0 ? 2 10 2t 0 1 ? 4t 0
故 M(

2

3 27 3 27 30 , ) 30 , ) 或 M( ? -------------------------------------------14 分 5 5 5 5
2 x0 )( x0 ? 0, x0 ? ?1) ,其它同解法二 2

解法三:设 M ( x0 ,

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