江苏省常州市武进区2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试卷


常州市教育学会学生学业水平监测

高 二 数 学 试 题(文)

2016.1

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卡 相应的位置上)
1、命题“ ?x ? 3 , x ? 9 ”的否定是
2



. ▲ .

2、若复数 z ? 3、抛物线 y ?

3 ? ai (其中 i 为虚数单位, a ? R )的实部和虚部相等,则 a ? i

x2 的准线方程是 8





4、在校园文化艺术节的比赛中,七位评委老师为某参赛选手打分,打出的分 数如右面的“茎叶图”所示,若去掉一个最高分和一个最低分后,则所剩 数据的方差为 ▲ .

7 8 9

9 44647 3
第4题图

5、 某校高一、 高二、 高三年级分别有学生 800 名,600 名,400 名. 为 了解该校高中学生的牙齿健康状况, 按各年级的学生数进行分层抽 样,若高一抽取 x 名学生、高二抽取 y 名学生、高三抽取 40 名学 生,则 x ? y ? ▲ .
k←k÷3

开始 S←0 k←1

6、如右图是一个算法流程图,则输出 S 的值是
?





7、已知 m, n ? N 且 n ? m ,在公比为 q 的等比数列 ?an ? 中, 有 an ? am ? q
n?m

S←S÷k 2 N k>7 Y 输出 S 结束

?bn ?中,有

成立,类似地,在公差为 d 的等差数列 成立.



8 、 若 a ? R , 则 “ a ? 1 ” 是 “ 直 线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与 l2 :

第 6 题图

x ? (a ? 1) y ? 4 ? 0 平行”的



条件. (注:在“充要” 、

“既不充分也不必要” 、 “充分不必要” 、 “ 必要不充分”中选填一个) 9、一只蚂蚁在高为 3 ,两底分别为 3 和 7 的直角梯形区域内随机爬行,则其恰在离四个顶 点距离都大于 1 的地方的概率为 ▲ . ▲ .

10、已知曲线 y ? ln x ? 2 在点 P 处的切线经过点 A(0,1) ,则此切线的方程为 11、若椭圆

12、已知 g ( x) ? x ? x ? x ? 1 ,若对 ?x1 , x2 ? ?0,2? ,都有 m ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则
3 2

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 和双曲线 ? ? 1 有相同的焦点 F1 , F2 ,点 P 是两条曲线的一 25 9 9 7 个交点,则 PF ▲ . 1 ? PF 2 的值是

m 的最大值为



.

13、已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? (e ? 1) ln x ,其中 e 为自然对数的底,则满足 f ( x) ? 0 的 x 的 取值范围为 14、已知椭圆 ▲ .

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A ,若在椭 a 2 b2 c2 圆上存在点 P 满足 PF ? AF ,则 2 ? 2(ln c ? ln a) 的范围是 ▲ . a

二、 解答题: (本大题共 6 小题, 共计 90 分. 请把答案写在答题卡相应的位置上. 解 答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )
15、 (本小题满分 14 分) 设命题 p :复数 z ? (m ? 1) ? (m ? 4)i 在复平面上对应的点在第一或第三象限,命题

q :方程
围.

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,若“ p且q ”为真命题,则求实数 m 的取值范 1 ? 2m m ? 2

16、 (本小题满分 14 分) 为更好地迎接江苏省学业水平测试,某校针对本届高二文科学生,进行了物理学科模拟测 试,从参加测试的学生中抽出 60 名学生,对他们的物理成绩进行统计(注:学生成绩均 为整数且满分为100 分) ,并把其中成绩不低于 50 分的分成五段:[50,60) ,[60,70)? [90,100],画出如下部分频率分布直方图.请观察图形的相关信息,回答下列问题: ⑴ 根据江苏省高中学业水平测试要求, 成绩低于 60 分的属于不合格需要补考, 求抽取 的 60 名学生中需要补考的学生人数; ⑵ 根据江苏省高中学业水平测试要求,成绩为 60 分或高于 60 分的属于合格,成绩为

90 分或高于 90 分的属于优秀,估计本次测试物理学科的合格率和优秀率.
频率 组距 0.03 0.025 0.015 0.005 50 60 70 80 分数 90 100

17、 (本小题满分 14 分)

⑴ 分别从集合 P ? ?? 2,?1,1,2,3?和 Q ? ?? 3,4? 中随机抽取一个数依次作为 m 和 n 的取 值,构成关于 x 的一次函数 y ? mx ? n ,求构成的函数 y ? mx ? n 是增函数的概率;

?m ? n ? 1 ? ⑵ 在不等式组 ?? 1 ? m ? 1 所对应的区域内, 随机抽取一点 A(m, n) , 以 m 和 n 的取值 ?? 1 ? n ? 1 ?
构成关于 x 的一次函数 y ? mx ? n ,求构成的函数 y ? mx ? n 的图象经过一、二、 四象限的概率.

18、 (本小题满分 16 分) 如图, 在半径为 10 3 (m) 的半圆形 (其中 O 为圆心) 铝皮上截取一块矩形材料 ABCD , 其中点 C 、 D 在圆弧上,点 A 、 B 在半圆的直径上,现将此矩形铝皮 ABCD 卷成一 个以 BC 为母线的圆柱形罐子的侧面(注:不计剪裁和拼接损耗) ,设矩形的边长

BC ? x(m) ,圆柱的侧面积为 S (m2 ) 、体积为 V (m3 ) ,
⑴ 分别写出圆柱的侧面积 S 和体积 V 关于 x 的函数关系式; ⑵ 当 x 为何值时,才能使得圆柱的侧面积 S 最大? ⑶ 当 x 为何值时,才能使圆柱的体积 V 最大?并求出最大值.

D

C
X

A

O

B

19、 (本小题满分 16 分)

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以椭圆的左顶点 T 为圆 2 a b 2 心作圆 T : ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N .
如图,已知椭圆 C : ⑴ 求椭圆 C 的方程; ⑵ 求 TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程; ⑶ 设点 P 是椭圆 C 上异于 M , N 的任意一点,且直线 MP , NP 分别与 x 轴交于点

R , S , O 为坐标原点,求证: OR ? OS 为定值.
y
M
R T

P

S

O

x

N

20、 (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ? ? x ?

a (a ? 0) ,设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) , x

⑴ 当 a ? 2 时,求函数 F ( x) 的单调区间;

⑵ 若函数 y ? F ( x)(x ? ?0,1?) 图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率记为 k , 且 k ? 1 恒成立,求实数 a 的最大值; ⑶ 是否存在实数 m ,使得函数 y ? g (

2a 2a )? 2 ? m ? 1 的图象与函数 x ?1 x ?1
2

y ? ? f ( x) ? 2 x ?

2 的图象恰有三个不同交点?若存在,求出实数 m 的取 x

值范围;若不存在,请说明理由.

高二文科数学期末质量调研 数学试题参考答案 2016.1
一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1、 ?x ? 3 , x 2 ? 9 , 5、 140 , 9、 2、 3 , 6、 66 , 3、 y ? ?2 , 4、

8 , 5

7、 bn ? bm ? (n ? m)d , 8、充分不必要, 11、 16 , 14、 ?1,

15 ? ? , 15

10、 x ? y ? 1 ? 0 , 13、 (1, e) ,

12、 ? 3 ,

? 1 ? ? 2 ln 2? , ? 4 ?

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤) 15、 (本题满分 14 分) 解:∵复数 z ? (m ? 1) ? (m ? 4)i 在复平面上对应的点在第一或第三象限, ∴ (m ? 1)(m ? 4) ? 0 ,解得 m ? 4 或 m ? ?1 , 即命题 p : m ? 4 或 m ? ?1 ??????????????????5 分

∵方程

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线, 1 ? 2m m ? 2
1 或 m ? ?2 , 2
?????????????????10 分

∴ (1 ? 2m)(m ? 2) ? 0 ,解得 m ? 即命题 q : m ?

1 或 m ? ?2 2

又∵“ p且q ”为真命题,∴命题 p 与命题 q 均为真命题??????????12 分

?m ? 4或m ? ?1 ? 则由 ? 解得: m ? 4 或 m ? ?2 , 1 m ? 或m ? ?2 ? 2 ?
则所求实数 m 的取值范围为 (??,?2) ? (4,??) ?????????????14 分

16、 (本题满分 14 分)

解: (1)因为各组的频率和等于 1 , 故成绩低于 50 分的频率为:

频率 组距 0.03 0.025 0.015

1 ? (0.005? 2 ? 0.015? 0.025? 0.03) ? 10 ? 0.1 ?3 分
所以低于 60 分的人数为 60 ? (0.1 ? 0.15) ? 15 (人)

0.005

即抽取的 60 名学生中需要补考的学生人数为 15 人?6 分 (2)依题意,成绩 90 及以上的分数所在的第六组(低于 50 分的为第一组) , 频率为 0.005 ? 10 ? 0.05 , 所以,抽样学生成绩的优秀率是 5 %, 于是,可以估计这次考试物理学科的优秀率是 5 %; ????????????10 分 成绩为 60 分及以上的频率为: f ? 1 ? (0.1 ? 0.15) ? 0.75,

分数 50 60 70 80 90 100

即抽样学生成绩的合格率是 75 %, 于是,可以估计这次考试物理学科的合格率是 75 %;????????????14 分 17、 (本题满分 14 分) 解: (1)由题意可知,抽取的全部结果可表示为 (m, n) 并且所有基本事件为: (?2,?3) ,

(?2,4), (?1,?3), (?1,4), (1,?3), (1,4), (2,?3), (2,4), (3,?3), (3,4) 共 10 个基本事件 ???3 分
设使函数为增函数的事件为 A ,则需满足 m ? 0 ,故事件 A 包含的基本事件有: (1,?3) ,

(1,4), (2,?3), (2,4), (3,?3), (3,4) ,共 6 个基本事件???5 分
则由古典概型公式得: P( A) ?

6 3 ? 10 5 3 ????7 分 5

即构成的函数 y ? mx ? n 是增函数的概率为

?m ? n ? 1 ? (2) m 和 n 满足的不等式组 ?? 1 ? m ? 1 所对应的区域如右图: ?? 1 ? n ? 1 ?
要使构成的函数 y ? mx ? n 的图象经过第一、二、四象限,则需满足: ? 此时符合条件的点 (m, n) 所在的区域为图中第二象限的阴影部分, 由几何概型的概率公式得所求事件的概率为 P ?

?m ? 0 , ?n ? 0

??????12 分

S阴影 1 2 ? ? 7 7 S总 2
2 7
??????14 分

即构成的函数 y ? mx ? n 的图象经过一、二、四象限的概率为 18、 (本题满分 16 分)

解: (1)连结 OC ,因为 BC ? x , OC ? 10 3 , 所以 OB ?

(10 3 ) 2 ? x 2 ,??????1 分

设圆柱底面半径为 r ,则 AB ? 2 300? x2 ? 2?r , 即r ?

300? x 2

?

,??????????2 分

则 S ? 2 x 300 ? x 2 (0 ? x ? 10 3 )

???????????????4 分

V ? ?r 2 x ?

300x ? x3

?

(0 ? x ? 10 3 )

???????????????6 分

2 2 4 2 2 (2) S ? 2 x 300 ? x ? 2 300 x ? x ? 2 ? ( x ? 150 ) ? 22500 (0 ? x ? 10 3 ) ,

2 所以当 x ? 150时,即 x ? 5 6 (m) 时,圆柱的侧面积为 S 为最大??????10 分

(3)∵ V ? ?r x ?
2

300x ? x3

?

(0 ? x ? 10 3 )

∴V ? ?

300 ? 3x 2

?

,由 V ? ? 0 解得 x ? 10 , ???????????????13 分

又在 x ? (0,10) 上 V ? ? 0 ,在 x ? (10,10 3) 上 V ? ? 0 , 所以 V ?

300x ? x 3

?

在 (0,10) 上是增函数,在 (10,10 3) 上是减函数,

所以当 x ? 10(m) 时,圆柱的体积 V 的最大值为 19、 (本题满分 16 分) 解: (1)由题意可知, a ? 2 , e ? 即c ? 3 ,b ?

2000

?

(m3 )

???????16 分

c 3 , ? a 2

a2 ? c2 ? 1,
x2 ? y2 ? 1. 4
???????????????4 分

即所求椭圆 C 的方程为

(2)∵椭圆 C 和圆 T 均关于 x 轴对称, ∴交点 M 与点 N 关于 x 轴对称, 所以可设 M ( x1, y1 ) , N ( x1,? y1 ) ,且不失一般性设 y1 ? 0 .

由于点 M 在椭圆 C 上,故 y1 ? 1 ?
2

x12 .由 T (?2,0) 可得, ?????????6 分 4
5 8 1 ( x1 ? ) 2 ? (?2 ? x1 ? 2) , 4 5 5

TM ? TN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x1 ? 2,? y1 ) ? ( x1 ? 2) 2 ? y12 ?
当 x1 ? ?

8 1 时, TM ? TN 的最小值为 ? , ???????????????8 分 5 5 9 13 2 2 2 2 并且此时 y1 ? , r ? ( x1 ? 2) ? y1 ? , 25 25 13 2 2 即所求圆 T 的方程为 ( x ? 2) ? y ? . ???????????????10 分 25
(3)设 P( x0 , y0 ) 且 y0 ? y1 ,则直线 MP 的方程为: y ? y0 ?

y0 ? y1 ( x ? x0 ) , x0 ? x1

令 y ? 0 ,得 xR ?

x1 y0 ? x0 y1 x y ? x0 y1 ,同理可求: xS ? 1 0 ????????13 分 y0 ? y1 y0 ? y1
2 2 2 x12 y0 ? x0 y1 , 2 2 y0 ? y1

故 OR ? OS ? (? xR ) ? (? xS ) ? xR ? xS ?

2 2 2 又 x1 ? 4(1 ? y12 ), x0 ? 4(1 ? y0 ) 代入上式可得:

OR ? OS ?

2 2 2 2 2 x12 y0 ? x0 y1 4(1 ? y12 ) y0 ? 4(1 ? y0 ) y12 ? ? 4 为定值 ??????16 分 2 2 y0 ? y12 y0 ? y12

20、 (本题满分 16 分) 解: (1)∵ a ? 2 ,∴ F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? x ? 则 F ?( x) ?

2 , x

1 2 ? x2 ? x ? 2 ?1? 2 ? ( x ? 0) , x x x2

??????????????2 分

2 当 ? x ? x ? 2 ? 0 时,解得 0 ? x ? 2 时, F ?( x) ? 0 ,

即函数 y ? F ( x) 在 (0,2) 上单调递增,

??????????????4 分

2 当 ? x ? x ? 2 ? 0 时,解得 x ? 2 时, F ?( x) ? 0 ,

即函数 y ? F ( x) 在 (2,??) 上单调递减, 则函数 y ? F ( x) 的单调递增区间为 (0,2) ,单调递减区间为 (2,??) , (2)∵ F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? x ? ???6 分

a , x

∴ F ?( x) ?

1 a ? x2 ? x ? a ?1? 2 ? (0 ? x ? 1, a ? 0) , ??????????7 分 x x x2

以函数 y ? F ( x)(x ? ?0,1?) 图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率为 k

? x0 ? x0 ? a 则k ? ? 1在 x0 ? ?0,1? 上恒成立, 2 x0
2 即 a ? 2x0 ? x0 在 x0 ? ?0,1? 上恒成立,
2 2 令 h( x0 ) ? 2 x0 ? x0 ? 2( x0 ? ) ?

2

??????????8 分

1 时, h( x0 ) min 4 1 1 所以 a ? h( x0 ) min ? ? ,即所求实数 a 的最大值为 ? ?????????10 分 8 8 2a 2a 2 )? 2 ? m ? 1 的图象与函数 y ? ? f ( x) ? 2 x ? 的图象 (3)∵函数 y ? g ( 2 x ?1 x ?1 x
当 x0 ? 恰有三个不同交点,

1 1 ( x0 ? ?0,1?) 4 8 1 1 ? h( ) ? ? , 4 8

x2 ? 3 2 ? ? ln x ? 2 x ? ( x ? (0,??)) 恰有三个不同的实数根, ∴方程 m ? 2 x
即方程 m ?

x2 ? 3 2 ? ln x ? 2 x ? ( x ? (0,??)) 恰有三个不同的实数根,???12 分 2 x

令 G ( x) ?

x2 ? 3 2 ? ln x ? 2 x ? ( x ? (0,??)) , 2 x 1 2 x3 ? x ? 2 x 2 ? 2 ( x ? 2)(x ? 1)(x ? 1) ?2? 2 ? ? , x x x2 x2

则 G?( x) ? x ?

由 G?( x) ? 0 解得: x ? 2 或 0 ? x ? 1 ,由 G?( x) ? 0 解得: 1 ? x ? 2 , 所以函数 y ? G ( x) 在 (0,1) 和 (2,??) 上单调递增,在 (1,2) 上单调递减,???14 分 即当 x ? 1 时,函数 G ( x ) 的极大值为 G(1) ? ?2 ,

3 ? ln 2 , 2 3 则由函数 y ? G ( x) 图象的草图(略)可知,当 ? ? ln 2 ? m ? ?2 时, 2
即当 x ? 2 时,函数 G ( x ) 的极小值为 G (2) ? ? 方程 m ?

x2 ? 3 2 ? ln x ? 2 x ? ( x ? (0,??)) 恰有三个不同的实数根, 2 x

即函数 y ? g (

2a 2a 2 )? 2 ? m ? 1 的图象与函数 y ? ? f ( x) ? 2 x ? 的图象恰有 x ?1 x ?1 x
2

三个不同交点.

??????????????????????16 分


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