51东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--抛物线A


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 049A

抛物线(教案)A
一、知识梳理: 1. 抛物线的定义 定义的理解: 定点在直线上,轨迹是: 2. 抛物线的标准方程及性质(见下表)
标准方程 图 形 顶 点 对称 轴 焦 点 准 线 离心 率 焦半径 焦点弦公式

.

y

y ? 2 px ? p ? 0?
2
l

?0,0?
F

O

x

x轴

?p ? ? ,0 ? ?2 ?

x??

p e ?1 2

PF ?

p ? x0 2

l ? p ? ( x1 ? x2 )

y 2 ? ?2 px ? p ? 0?

y

?0,0?
x
l

F

O

x轴

? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

x?

p 2

e ?1

PF ?

p ? x0 2

l ? p ? ( x1 ? x2 )

x 2 ? 2 py ? p ? 0?

?0,0?

y轴

? p? ? 0, ? ? 2?

y??

p e ?1 2

PF ?

p ? y0 2

l ? p ? ( y1 ? y2 )

x 2 ? ?2 py ? p ? 0?
3、焦半径公式

?0,0?

y轴

p? ? ? 0,? ? 2? ?

y?

p 2

e ?1

PF ?

p ? y0 2

l ? p ? ( y1 ? y2 )

(1)y 2 =2px (p>0) , M( x0 , y0 ) 为抛物线上任意一点。 F 为抛物线的焦点, |MF|=2 +x0 (2) 、n=1+cos θ
p P

, m=1?cos θ

p

1 m

+n =p

1

2

1

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4、若抛物线y 2 = 2px (p > 0)过焦点的弦 AB,设 A(x1 ,y1 )B(x2 ,y2 ) ,则有下 列结论: (1) 、|AB|=p+x1 +x2 (2) 、|AB|=
2p si n 2 θ 2p

( y 2 =2px (p>0), |AB|=

2p

co s 2 θ

( x 2 =2py (p>0))

(3) 、|AB|=co s 2 θ ( x 2 =2py (p>0))(通径是最短的焦点弦) (4) 、x1 x2 =
p2 4

, y1 y2 =-p2

(5) 、过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径:|AB|=2p (6) 、焦点弦端点与顶点构成的三角形面积: S?AOB = 2sin θ =2|AB|?|ON|=2|OF|?|A1 B1 |=2|OF|?|yA ? yB | (7) 、以焦点弦为直径的圆与准线相切 (8) 、过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,两切线交点位置有何特殊之处? 以y 2 = 2px(p > 0)为例说明 特例:当弦 AB ? x 轴时,则点 P 的坐标为
?p 2 p2 1 1 1

,0 在准线上.

证明:当弦 AB 过焦点 F,设 A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y2 ? 则过 A 点的切线方程是: y1 y ? p?x ? x1 ? 过 B 点的切线方程是: y 2 y ? p?x ? x2 ? 由①-②可得: ? y1 ? y2 ?y ? p?x1 ? x2 ? ① ②

即:

? y1 ? y 2 ?y ? p ? y1
y? y1 ? y 2 2

2

2 ? y2 2p



代入①式可得: y1 ? y2 ? 2 px

2 ∵弦 AB 过焦点弦,由焦点弦性质可知 y1 y2 ? ? p ,∴

x=? ,即交点 P 坐标为 ?
2

p

? p y1 ? y 2 ? ?? , ? 2 2 ?.

2

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结论延伸:切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论发散:当弦 AB 不过焦点即切线交点 P 不在准线上时,切线交点与弦中点的 连线也平行于对称轴. (9) 、过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点。
2 以 y ? 2 px (p>0)为例说明

特例:过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线,则过两切点 AB 的弦必过焦点.
p 证明: p(? 2 ,0),设 A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y2 ? ,则切线 PA 的方程为 y1 y ? p?x ? x1 ? ,切线 p p PB 的方程为 y 2 y ? p?x ? x2 ? .均过点 P,则x1 = , ,x2 = ,故弦 AB 过焦点. 2 2 p 证明:设准线上任一点p ? ,y0 ,切点分别为 A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y2 ? , 2

则切线方程分别为: y1 y ? p?x ? x1 ? , y 2 y ? p?x ? x2 ? 两切线均过点 P,则满足
? p ? ? p ? y1 y0 ? p? ? ? x1 ? y 2 y 0 ? p? ? ? x 2 ? ? 2 ?, ? 2 ?.

p? ? y0 y ? p? x ? ? 2?, ? 故过两切点的弦 AB 方程为:

则弦 AB 过焦点. 结论延伸: 过准线上任一点作抛物线的切线, 过两切 点的弦最短时,即为通径.
2 (10) 、如图,AB 是过抛物线 y ? 2 px (p>0)焦点

F 的弦,Q 是 AB 的中点,l 是抛物线的准线, AA1 ? l , BB1 ? l ,过点 A,B 的切线相 交于 P 点,PQ 与抛物线交于点 M. (1) PA 与 PB 是否有特殊的位置关系? 结论:PA⊥PB. 证明:
k PA ? p y1



k PB ?

p y2

,∴

k PA ? k PB ?

p2 ? ?1 y1 ? y 2

3

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∴PA⊥PB. (2) PF 与 AB 是否有特殊的位置关系? 结论:PF⊥AB.
?p ? ? p y ? y2 ? F ? ? ,0 ? P ? ?? , 1 ? 2 2 ?2 ? ? ? 证明: ,

k PF

y ? y2 ? 1 ? 2p ,

K AB ?

y1 ? y2 y1 ? y2 2p ? 2 ? 2 x1 ? x2 y1 ? y 2 y1 ? y2 2p

? K PF ? K AB ? ?1

∴PF⊥AB.

(3)点 M 与点 P、Q 的关系 结论:M 平分 PQ.
y ? y2 ? p y ? y2 ? x ? x y ? y2 ? P? ? , 1 yM ? 1 ? Q? ? 1 2, 1 ? 2 2 2 2 2 ?, ? ?∴ 证明: ?
xM ?
2 ? y ? y2 ?2 ? y12 ? y22 ? 2 p2 ? 2 p?x1 ? x2 ? ? 2 p2 ? x1 ? x2 ? p ? xP ? xQ yM ? 1 2p 8p 8p 8p 4 2



∴M 平分 PQ. (4)直线 PA 与∠A1AB,直线 PB 与∠B1BA 的关系 结论:PA 平分∠A1AB,PB 平分∠B1BA.
? p ? y ? y1 ? ? p ? p ? ? x,0 ? AP ? ? ? ? x1 , 2 AF ? ? ? ? x1 ,? y1 ? ? AA 1 ? ?? 2 2 2 2 ? ?, ? ?, ? ? 证明:
p 2 y1 y2 y12 ?p ? AP ? AA ? x1 ? AP ? AF ? x12 ? ? ? 1 ?? 4 2 2 ?2 ? , ∴
2

? x12 ?

p2 p? ? ? px1 ? ? x1 ? ? 4 2 ? ?

2



AA 1 ? AF

∴ ?A1 AP ? ?FAB

即 PA 平分∠A1AB,同理 PB 平分 B1BA. (5)
FA ? FB

与 PF 的大小比较

2

4

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结论:

FA ? FB ? PF

2

p ? ? p ? ? ? ? ? y1 ? y2 ? ? FA ? ? x1 ? , y1 ? FB ? ? x2 ? , y2 ? PF ? ? p, ? 2 2 2 ? ?, ? ?, ? ? 证明:

p ?? p? ? FA ? FB ? ? FA ? FB ? ?? x1 ? ?? x2 ? ? ? y1 y2 2 ?? 2? ?
? ? x1 x2 ?
?
PF ? p 2 ?
2

?

?

2 2 2 p ?x1 ? x2 ? ? p ? p 2 ? ? p ? p ?x1 ? x2 ? ? p ? p 2 2 4 4 2 4

2 p ?x1 ? x2 ? ? p 2 2

? y1 ? y2 ?2
4
2

? p2 ?

1 2 p2 p 2 y1 ? y2 ? 2 y1 y2 ? ? ?x1 ? x2 ? 4 2 2

?

?



FA ? PB ? PF

(6) S ?PAB 的最值问题 结论: S ?PAB 证明: ∵
PQ ?
min

? p2

S ?PAB ?

1 PQ ? y1 ? y2 2

AA 1 p p 1 ? BB 1 ? ?x1 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? p 2 2 2 2

p ? ? ?当x1 ? x2 ? 时取“?” ? 2 ? ?

y1 ? y2 ? y1 ? y2



2 y1 ? y2 ? 2 p

?当y

1

? ? y2 ? p时取“?”

?

∴ S ?PAB

min

? p2 (两等号可同时取得)

课下思考:当弦 AB 不过焦点,切线交于 P 点时,有无与上述结论类似结果. 则①
xp ? y1 y2 y ? y2 y ? 1 2p , p 2

②PA 平分∠A1AB,同理 PB 平分∠B1BA. ③ ?PFA ? ?PFB ④点 M 平分 PQ ⑤
FA ? FB ? PF
2

5

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【练习】
2 (2006 年重庆高考(文)22)对每个正整数 n, An ?xn , yn ? 是抛物线 x ? 4 y 上的

点,过焦点 F 的直线 FAn 交抛物线于另一点 Bn ?sn , tn ? , (1)试证: xn ? sn ? ?4 (n≥1)
n (2) 取 xn ? 2 , 并 Cn 为抛物线上分别以 An 与 Bn 为切点的两条切线的交点,

求证:

FC1 ? FC2 ? ? ? FCn ? 2n ? 2?n ?1 ? 1 (n≥1)

(1)证明:焦点(0,1) 设直线 An Bn 方程为: y ? kn x ? 1
? y ? kn x ? 1 ? 2 ?x ? 4 y

消去 y 得

x2 ? 4kn x ? 4 ? 0



xn ? sn ? ?4
y' ?

(2)由

x 1 y ' xn ? n x 2 2 则

2 故 x ? 4 y 在 An 处 切 线 方 程 为

y ? yn ?

xn x x2 ?x ? xn ? y? n x? n 2 2 4 类似的, ,即
n 2 n

sn s s x2 ? 4 y 在 Bn 处切线方程为 y ? tn ? 2 ?x ? sn ? ,即 y ? 2 x ? 4

两式相减得

x?

xn ? sn s ?x y ? n n ? ?1 2 代入可得 4

?x ?s ? Cn ? n n ,?1? 2 ? ? 则点
2 2 ? xn 2 ? x 2 ? sn x2 4 ?x ?s ? ?? n n ? ?4? n ?2? n ? 2 ?2?? ?2 ?x ? ? 4 4 xn ? 2 ? n ? ? 2 2

FCn

∴ 从而

FCn ?

xn 2 ? 2 xn

6

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FC1 ? FC2 ? ? ? FCn ?


?

? 1 1 1 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? ? 2? ? x ? x ??? x ? 2 2 n ? ? 1

1 1? ?1 1 2 ? 22 ? ? ? 2n ? 2? ? 2 ? ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2 ? 2? n ?1 ? 2n ? 2? n ?1 ? 1 2 2 ? ?2 2

?

?

【作业】 1、证明上述问题中的结论发散
2 2、 已知抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F, A, B 是抛物线上的两动点, 且 AF ? ? FB( ?

>0) ,过 A,B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M, (1)证明: FM ? AB 的值; (2)设 ?ABM 的面积为 S,写出 S ? f ?? ?的表达式, 并求 S 的最小值.
2 3、已知抛物线 C 的方程为 x ? 4 y ,焦点为 F,准线为 l,直线 m 交抛物线于两

点 A,B; (1)过点 A 的抛物线 C 的切线与 y 轴交于点 D,求证: AF ? DF ; (2)若 直线 m 过焦点 F,分别过点 A,B 的两条切线相交于点 M,求证:AM⊥BM,且点 M 在直线 l 上. 5、直线与抛物线的关系 (1) 、K AB ? yM =p (2) 、直线与抛物线的公共点的情况

6、二次函数 y=ax 2 + bx + c(a ≠ 0) 按向量m=(2a , ?
1

b

4ac ?b 2 4a

) 平移得到 y=ax 2 ,其中平
?b 1?4ac +b 2 4a

移后坐标系下的焦点坐标为(0,4a ) ,平移前的焦点坐标为(( 2a ,



7、抛物线的焦点的位置的判断:看方程中的一次项,一次项是哪个变量,焦点就在 哪个变量对应的坐标轴上,而且正系数在正半轴,负系数在负半轴;

7

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8、A、B 两点都在抛物线上,且 OA⊥OB,则x1 x2 =4p , y1 y2 =-4p2 二、题型探究 探究一:抛物线的标准方程 例 1:根据下列条件求出抛物线的标准方程 (1) 、焦点到准线的距离是 2; (2) 、已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 X 轴,抛物线上的点 A(-3,y)到焦点 的距离是 5, 解: (1) :y 2 = ±x;x 2 = ±y (2) :P=4,y 2 = ?8x

探究二:抛物线的几何性质 例 2:过抛物线y 2 = 4x的焦点作一条直线与抛物线相交于 A,B 两点,它们的横坐标 之和为 5,则这样的直线(B) (A) 有且只有一条(B)有且仅有两条(C)有无数条 (D)不存在 例 3:已知点 P 是抛物线y 2 = 2x上任意一点,F 为抛物线的焦点,点 A(3,2) ,则 |PA|+|PF|的最小值为 3.5,此时 P 的坐标是( 2,2 ) 探究三:直线与抛物线的关系 例 4:已知 A,B 是抛物线上两点,O 为原点,且 OA⊥OB,求证: (1)A,B 两点的横坐标之积和纵坐标之积都是常数;(4p2 , -4p2 ) (2) 、直线 AB 过定点。(2p,0) 三、方法提升: 1、抛物线的定义是对抛物线考察的重点,往往从几何代数两个方面考察: 2、关于直线与抛物线的交点问题,相对于椭圆与双曲线来说,由于其方程的特点, 直接设交点的坐标解决问题简便易行;直线方程也可以根据方程的特点,灵活设为 y=kx+b 或者 x=my+a

8

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四、反思感悟

五、课时作业 1.过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? 两点,如果
2

x1 ? x2 ? 6 ,那么 | AB | = (B)
(A)10 (B)8
2

(C)6

(D)4

2 .已知 M 为抛物线 y ? 4 x 上一动点, F 为抛物线的焦点,定点 P?3 , 1? ,则

| MP | ? | MF | 的最小值为(B )
(A)3 3.过抛物线 y ? ax
2

(B)4

(C)5

(D)6

?a ? 0? 的焦点 F 作直线交抛物线于 P 、 Q 两点,若线段 PF 、
1 1 ? =(C ) p q
(C) 4 a (D)

QF 的长分别是 p 、 q ,则
(A) 2 a (B)

1 2a
2

4 a

4.顶点在原点,焦点在 y 轴上,且过点 P(4,2)的抛物线方程是(A ) (A) x =8y
2 2

(B) x =4y

2

(C) x =2y

2 (D) x ?

1 y 2

5.抛物线 y =8x 上一点 P 到顶点的距离等于它们到准线的距离,这点坐标是(D) (A) (2,4) (B) (2,±4) (C) (1, 2 2 ) (D) (1,± 2 2 ) 6.过抛物线 y ? 4 x 焦点 F 的直线 l 它交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的中点的轨迹方
2

程是 ______ 7.抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长等于 8,则 抛物线方程为 2 8.抛物线 y =-6x,以此抛物线的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程 是

9

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x2 y2 9.以双曲线 ? ? 1 的右准线为准线,以坐标原点 O 为顶点的抛物线截双曲线 16 9
的左准线得弦 AB,求△OAB 的面积.

10. 正三角形的一个顶点位于坐标原点, 另外两个顶点在抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上,
2

求这个正三角形的边长

王新敞
奎屯

新疆

(答案:边长为 4 3 p )

11.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上,
2

求正三角形外接圆的方程 (答案: x ? y ? 8 px ? 0 )
2 2
王新敞
奎屯 新疆

10

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12. 已知 ?ABC 的三个顶点是圆 x ? y ? 9 x ? 0 与抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 的交点,
2 2 2

且 ?ABC 的垂心恰好是抛物线的焦点,求抛物线的方程

王新敞
奎屯

新疆

(答案: y ? 4 x )
2

13.已知直角 ?OAB 的直角顶点 O 为原点, A 、 B 在抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上,
2

(1)分别求 A 、 B 两点的横坐标之积,纵坐标之积; (2)直线 AB 是否经过一个定 点,若经过,求出该定点坐标,若不经过,说明理由; (3)求 O 点在线段 AB 上的射 影 M 的轨迹方程
王新敞
奎屯 新疆

答案: (1) y1 y2 ? ?4 p ; x1 x2 ? 4 p
2
2

2

; (2)直线 AB 过定

点 ?2 p , 0? ;(3)点 M 的轨迹方程为 ?x ? p? ? y 2 ? p 2

?x ? 0?

王新敞
奎屯

新疆

14.已知直角 ?OAB 的直角顶点 O 为原点, A 、 B 在抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上,
2

原点在直线 AB 上的射影为 D?2 , 1? ,求抛物线的方程

王新敞
奎屯

新疆

(答案: y ?
2

5 x) 2

11

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15.已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 与直线 y ? ? x ? 1 相交于 A 、 B 两点,以弦长 AB
2

为直径的圆恰好过原点,求此抛物线的方程

王新敞
奎屯

新疆

(答案: y ? x )
2

16. 已知直线 y ? x ? b 与抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 相交于 A 、B 两点, 若 OA ? OB ,
2

( O 为坐标原点)且 S?AOB ? 2 5 ,求抛物线的方程

王新敞
奎屯

新疆

(答案: y ? 2 x )
2

17.顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 , 求抛物线的方程
2
王新敞
奎屯 新疆

( 答案: y ? 12x 或 y ? ?4 x )
2

王新敞
奎屯

新疆

12

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参考答案: 1.B2.B3.C4.A5.D6. y ? 2?x ? 1? 7.x =±8y
2
2

8. ( x ?

3 2 ) ? y2 ? 9 2

,9.

512 25

10.边长为 4 3 p
2 2

11.分析:依题意可知圆心在 x 轴上,且过原点,故可设圆的方程为: x ? y ? Dx ? 0 , 又∵ 圆过点 A 6 p , 2 3 , ∴ 所求圆的方程为 x ? y ? 8 px ? 0
2 2

?

?

12.y ? 4 x
2

13. (1)y1 y2 ? ?4 p ; x1 x2 ? 4 p
2
2

2

; (2) 直线 AB 过定点 ?2 p , 0?
新疆

(3)点 M 的轨迹方程为 ?x ? p? ? y 2 ? p 2

?x ? 0?
2

王新敞
奎屯

14.y ?
2

5 x 2

15.y ? x
2

16.y ? 2 x

17.y ? 12x 或 y ? ?4 x
2 2

13


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