2.2瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量 - 副本


第二章 质点运动学

§2.2 瞬时速度矢量 与瞬时加速度矢量
§2.2.1 平均速度与瞬时速度 §2.2.2 平均加速度与瞬时加速度

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第二章 质点运动学

§2.2 瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量
§2.2.1 平均速度与瞬时速度
1.平均速度

? ? ?r v ? 定义 ?t __ ? ? ?r 相 同 v 是矢量 , 方向与
大小为 平均速率
__

P

? r (t )
O

? ?r

Q

? r ( t ? ?t )

? ? ?r v ? ?t

?s v? ? 0 ?s为路程 ?t

? v 不能反映位移变化相对 于时间的不均匀性 .
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第二章 质点运动学

2. 瞬时速度(简称速度)
定义

? v是 矢 量 ,

? ? dr ?r ? ? lim ? v ? l i mv ? ? t ? 0 ?t ?t ? 0 dt
Q ??

方向:质点运动路径的切向. Q ???

? ? dr 大小:v ? v ? dt

? v
P

? ?r4

? ?r3

? dr

? ?r2 ? ?r1

Q?

Q

动画演示

瞬时速度反映质点在某时刻或某位置的运动状态.

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第二章 质点运动学 在直角坐标系中的分解式 ? ? ? d x ? dy ? dz ? ? v ? v x i ? v y j ? vz k ? i ? j? k dt dt dt

? 2 2 v ?| v |? v x ? v2 ? v y z
vx cos ? v ? v
cos ? v ? vy v

vz cos ? v ? v

瞬时速率(简称速率)

? ?r ? lim ?s ? ds v ? lim ?t ? 0 ? t dt ?t ?0 ?t

s是 路 程

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第二章 质点运动学

[例题1]某质点的运动学方程为

? ? ? ? 2 r ? ?10i ? 15tj ? 5t k

(单位m,s)

求:(1)t = 0,1s时质点的速度矢量;

(2)t =0到t =1s质点的平均速度;
(3)t =0,t =1s时的瞬时速率. [解 ]
? ? ? ? dr (1) v ? ? 15 j ? 10 tk (单位m/s , s) z dt
?

? v (t )

大小 v ? v ? 15 2 ? (10 t ) 2
? 225? 100t 2
O

? v ( 0)

y

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第二章 质点运动学

方向
cos ? ? vx 0 ? ?0 v v
15 cos ? ? ? v v vy

v z 10t cos? ? ? v v

t =0时, v ? 15 m/s
t =1s时, v ? 5 13 m/s

cos? ? 0, cos ? ? 1, cos? ? 0

cos? ? 0, cos ? ?

3 2 ? 0.832, cos? ? ? 0.555 13 13

? ? ? ? ? ? ? r1 ? r0 ( ?10i ? 15 j ? 5k ) ? ( ?10i ) ( 2) v ? ? t1 ? t 0 1? 0 ? ? ? 15 j ? 5k (m /s)

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第二章 质点运动学
? ? dr ?r ( 3) v ? ? lim ?t ?0 ?t dt
? d ( 10 2 ? (15 t ) 2 ? (5t ) 2 dt

t =0 时, t =1 s时,

v =0
550 16 v? m/s ? m/s 250 5

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第二章 质点运动学

§2.2.2 平均加速度与瞬时加速度
1.平均加速度

? ? ?v 定义 a ? ?t ? 方向同 ?v

? va ( t )

? v b ( t ? ?t )

? v b ( t ? ?t )

? ?v

注意:
①说到平均加速度,一定要明确是哪一段时间或
哪一段位移中的平均加速度.

? ? . ②一般 ?v与v方向不同

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第二章 质点运动学

2. 瞬时加速度(简称加速度) ? ? ? 2? d dr d r ? ?v dv ? ( )? 2 ? 定义 a ? lim ?t ? 0 ?t dt dt dt dt

? ? ? a是矢量 , 一般a与v方向不同 .
直角坐标中 ? dv x ? dv y ? dv t ? d 2 x ? d 2 y ? d 2 z ? a? i? j? k ? 2 i ? 2 j? 2 k dt dt dt dt dt dt

? ? ? ? a x i ? a y j ? az k

? 2 2 a ?| a |? a x ? a2 ? a y z
ax cos ? a ? a
cos ? a ? ay a
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az cos ? a ? a
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第二章 质点运动学 [例题2]某质点的运动学方程为

? ? ? ? 2 r ? ?10i ? 15tj ? 5t k

(单位m,s)

求质点的加速度矢量.
[解 ]

? 2? ? ? dv d r ? 2 ? 10k a ? d t dt
a =10 m/s2 方向沿 z 轴.

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