高考数学第二轮专题限时复习题22-函数与方程思想和数形结合思想


高考数学第二轮专题限时复习题 22-函数与方程思想和数形结合思想

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专题限时集训(二十二) [第 22 讲 函数与方程思想和数形结合思想]

1.已知一个三次项系数为 1 的三次函数,其图象与 x 轴两个交点的横坐标分别是 0, 3,且 x=1 为其一个极值 点,那么这个三次函数的极大值是( ) A.3 B.2 C.-2 D.-3 2 2.方程 sin x+2sinx+a=0 一定有解,则 a 的取值范围是( ) A.[-3,1] B.(-∞,1] C.[1,+∞) D.[-1,1] 1 3.函数 y=ln 的图象为( ) |2x-3|

2-sinx 4.函数 y= 的值域是________. 3-cosx 1.斜率等于 1 的直线被圆 x2+y2=2 所截得的弦长等于 2,则该直线在 x 轴和 y 轴上的截距之和等于( ) D.0 A. 2 B.2 2 C.-2 2 1 ? 2.若不等式 x2+ax+1≥0 对于一切 x∈? ) ?0,2?成立,则 a 的最小值是( 5 A.0 B.-2 C.- D.-3 2 3.某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况,从某码头乘汽艇出发,沿直线方向匀速开往该岛, 靠近岛时, 绕小岛环行两周后, 把汽艇停靠岸边上岸考察, 然后又乘汽艇沿原航线提速返回. 设 t 为出发后的某一时刻, S 为汽艇与码头在时刻 t 的距离,下列图象中能大致表示 S=f(t)的函数关系的为( )

4.已知 y=f(x)是最小正周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则函数 y=f(x)(x∈R)图象与 y=|log5|x|| 图象 的交点的个数是( ) A.8 B.9 C.10 D.12 5.若 a,b 是正数,且满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是________. 1 ? ?log2?x+1?,x∈[0,1?, 6.定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x≥0 时 f(x)=? 则关于 x 的方程 f(x)=a(-1<a<1)的

?1-|x-3|,x∈[1,+∞?, ?
.

所有解之和为________.(用 a 表示) 7.证明:当正整数 n>8 时,( n)

n+1

>( n+1)

n

b 8.函数 f(x)=ax- +lnx.当 f(x)在 x=2,x=4 处取得极值时,若方程 f(x)=c 在区间[1,8]内有三个不同的实数根, x 求实数 c 的取值范围(ln2≈0.693).

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专题限时集训(二十二) 【基础演练】 1.B 【解析】 设这个三次函数的解析式为 y=x(x- 3)(x-b),即 y=x3-( 3+b)x2+ 3bx. y′=3x2-2( 3+b)x+ 3b,由 x=1 时,导数等于零得 b=- 3.即函数的解析式是 y=x3-3x,不难求出这个函 数的极大值点是 x=-1,极大值等于 2. 2.A 【解析】 构造函数 f(x)=sin2x+2sinx,则函数 f(x)的值域是[-1,3],因为方程 sin2x+2sinx+a=0 一定有解, 所以-1≤-a≤3,∴-3≤a≤1. 3 3.A 【解析】 易知 2x-3≠0,考虑对称性,当 x> 时,函数为减函数,所以选 A. 2 ?3- 3 3+ 3? 【解析】 函数 y 的几何意义是指坐标平面上定点 A(3,2)与动点 M(cosx,sinx)连线的斜率,而 4.? ? ? 4 , 4 ? 动点 M 的两坐标的平方和为 1,动点 M 是坐标平面内单位圆上的点组成的,问题等价于求定点 A 和单位圆上的动点连 线斜率的取值范围.如图,函数 y 的值域的两个端点,就是过点 A 的单位圆的两条切线 AM,AN 的斜率,设切线方程 |-3k+2| 3± 3 为 y -2= k(x- 3),即 kx- y- 3k +2= 0,圆心到直线的距离为 2 = 1 ,解得 k = 4 ,故所求的函数值域为 1+k ?3- 3 3+ 3?. ? 4 , 4 ? ? ?

【提升训练】 b2 2- =1,解得 b=± 2.当 b= 2时,直线在 x 轴 2 上的截距为- 2,此时截距之和等于零;同理得当 b=- 2时,截距之和等于零. 1? ? 1? ? 1? 2.C 【解析】 不等式化为 a≥-? ?x+x?,设 f(x)=-?x+x?,易证 f(x)在区间?0,2?上单调递增,所以 f(x)max= 1? 5 5 - ,所以,不等式 x2+ax+1≥0 对于一切 x∈? ?0,2?成立的 a 的最小值是-2. 2 3.C 【解析】 当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时,S=vt,图象为一条线段;当环岛两周时,S 两次增至最大, 并减少到与环岛前的距离 S0;上岛考察时,S=S0;返回时,S=S0-vt′,图象为一条线段.所以选 C. 4.C 【解析】 因函数 y=f(x)(x∈R)与 y=|log5|x||均为偶函数,故研究它们在 y 右侧交点情况即可.作函数图象 如图所示,从图可知,当 0<x<5 时有四个交点,当 x=5 时有一个交点,在 x>5 时没有交点,故在 y 右侧交点个数为 5, 由对称性知,在 y 轴左侧交点个数也是 5.则两个函数图象交点个数为 10.选 C. 1.D 【解析】 设直线方程为 y=x+b,即 x-y+b=0,由

a+3 5.[9,+∞) 【解析】 方法 1:∵ab=a+b+3,∴a≠1,b= >0,从而 a>1 或 a<-3.又 a>0,∴a>1,∴a a-1 a+3 4 4 -1>0,所以 ab=f(a)=a· =(a-1)+ +5≥9, 当且仅当 a-1= ,即 a=3 时取等号,当 1<a<3 时, 函数 f(a) a-1 a-1 a-1 单调递减,当 a>3 时函数 f(a)单调递增,所以 ab 的取值范围是[9,+∞). ?t-3? -4t≥0, ? ? 2 方法 2: 设 ab=t, 则 a+b=t-3,∴a, b 可看成方程 x -(t-3)x+t=0 的两个正根, 从而有?t-3>0, ? ?t>0,
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得 t≥9,即 ab≥9. 方法 3:由于 a>0,b>0,ab=a+b+3,则有 ab≥2 ab+3,即( ab-3)( ab+1)≥0,所以 ab-3≥0,即 ab≥9. 1?a ? ?log2?1-x?,x∈?-1,0?, ?? -1?-1<a<0?, ? ? 6.? 2? 【解析】 当 x<0 时,函数的解析式是 f(x)=? 函数图象如 ? ?|x+3|-1,x∈?-∞,-1], a ? ?1-2 ?0≤a<1? 图所示,当-1<a<0 时,方程 f(x)=a 有五个根,最左边的两个根之和为-6,最右边的两根之和为 6,中间的一个根是

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1?a 1 满足 log (x+1)=a 的 x,故 x=? ?2? -1,同理当 0<a<1 时方程 f(x)=a 的所有根之和是满足 log2(1-x)=a 的 x 值,即 x 2 =1-2a,当 a=0 时所有根之和为 0,故所有根之和为 1?a ? ?? -1?-1<a<0?, ??2?

? ?1-2a?0≤a<1?.

7. 【解答】 证明:设 a=( n) n 1,b=( n+1) 则 lna= n+1 ln n,lnb= n ln n+1, ln n n n + 1 ln n lna 作商有 = = . lnb n ln n+1 ln n+1


n



n+1 1-lnx lnx lnx 构造函数 f(x)= ,当 x>e 时,f′(x)= 2 <0,所以函数 f(x)= 在(e,+∞)内是减函数. x x x ln n ln n+1 lna 从而,当正整数 n>8 时, n∈(e,+∞), n+1∈(e,+∞),所以有 > >0,即 >1,所以 lna>lnb, lnb n n+1 即 a>b. + 所以( n) n 1>( n+1) n. 8. 【分析】 方程 f(x)=c 在区间[1,8]内有三个不同的实数根, 类似于下面的图示, 由于函数的两个极值点在区间[1,8] 内,根据图示,只有当 c 介于 f(2),f(8)中的较大者,f(1),f(4)的较小者时即可.

b b 1 【解答】 ∵f(x)=ax- +lnx,∴f′(x)=a+ 2+ . x x x

?a+4+2=0, ∵f(x)在 x=2,x=4 处取得极值,∴f′(2)=0,f′(4)=0,即? b 1 ?a+16+4=0,

b 1

?a=-6, 解得? 4 ?b=-3.

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x 4 ∴f(x)=- + +lnx, 6 3x x2-6x+8 ?x-2??x-4? 1 4 1 由 f′(x)=- - 2+ =- =- , 6 3x x 6x2 6x2 当 x∈(1,2)时,f′(x)<0,故 f(x)在(1,2)上单调递减;当 x∈(2,4)时,f′(x)>0,f(x)在(2,4)上单调递增;当 x∈(4,8) 时,f′(x)<0,f(x)在(4,8)上单调递减. 1 4 7 f(1)=- + +ln1= ≈1.167, 6 3 6 2 4 1 f(2)=- + +ln2= +ln2≈1.026, 6 6 3 4 4 1 f(4)=- + +ln4=- +2ln2≈1.053, 6 3×4 3 8 4 7 f(8)=- + +ln8=- +3ln2≈0.912. 6 3×8 6 故函数在[1,8]上的最大值是 f(1),最小值是 f(8).方程 f(x)=c 在区间[1,8]内有三个不同的实数根,则只要 c 介于函 1 1 ? 数的极大值和极小值之间即可,故 c 的取值范围是? ?3+ln2,-3+2ln2?.


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