2.2瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量


第二章 质点运动学

§2.2 瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量
§2.2.1 平均速度与瞬时速度
1.平均速度
? ?r

P
? r (t )
? ?r

定义
__

?t ? ? v 是矢量 , 方向与 ? r 相同
__

? v ?

Q

? r (t ? ?t )

大小为 平均速率

? v ?

? ?r ?t

O
? s 为路程
于时间的不均匀性 .

v ?

?s ?t

? 0

? v 不能反映位移变化相对

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第二章 质点运动学

2. 瞬时速度(简称速度)
定义
? ? v ? lim v ? lim
?t? 0
?t? 0

? ?r ?t

?

? dr dt
Q ??

? v 是矢量,

方向:质点运动路径的切向. Q ???
? ? dr 大小:v ? v ? dt

? v

? ?r4

? ?r3

Q?

? Q ?r2 ? ?r1

? dr P

动画演示

瞬时速度反映质点在某时或某位置的运动状态.

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第二章 质点运动学 在直角坐标系中的分解式
? ? ? ? dx ? dy ? dz ? v ? v xi ? v y j ? vzk ? i ? j ? k dt dt dt

? v ? | v |?
cos ? v ?

vx ? v y ? vz
2 2

2

vx v

cos ? v ?

vy v

cos ? v ?

vz v

瞬时速率(简称速率)
v ? lim ? ?r ?t
? lim ?s ?t ? ds dt
s 是路程

?t? 0

?t? 0

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第二章 质点运动学

说明:

速度具有相对性;
速度具有瞬时性; 速度是矢量,有大小和方向

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第二章 质点运动学

[例题1]某质点的运动学方程为
? ? ? ? 2 r ? ?10i ? 15tj ? 5t k

(单位m,s)

求:(1)t = 0,1s时质点的速度矢量;

(2)t =0到t =1s质点的平均速度;
(3)t =0,t =1s时的瞬时速率. [解]
(1 ) ? ? ? ? dr v ? ? 15 j ? 10 t k dt
? v ? v ? 15
2

(单位m/s , s) z
2

? v (t )

大小

? ( 10 t )

? v (0)
2

y

?

225 ? 100 t

O

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第二章 质点运动学

方向
cos ? ? vx v ? 0 v ? 0
cos ? ? vy v ? 15 v

cos ? ?

vz v

?

10 t v

t =0时, v ? 15 m/s
t =1s时, v ? 5 13 m/s

cos ? ? 0 , cos ? ? 1 , cos ? ? 0

cos ? ? 0 , cos ? ?

3 13

? 0 . 832 , cos ? ?

2 13

? 0 . 555

? (2) v ?

? ? r1 ? r0

t1 ? t 0 ? ? ? 15 j ? 5 k

?

? ? ? ? ( ? 10 i ? 15 j ? 5 k ) ? ( ? 10 i ) 1?0 (m/s)

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第二章 质点运动学
(3) v ? ? dr dt
? d dt

? lim

? ?r ?t
2 2

?t ? 0

( 10 ? ( 15 t ) ? ( 5 t )
2

t =0 时, t =1 s时,

v =0
v ? 550 250 m/s ? 16 5 m/s

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第二章 质点运动学

§2.2.2 平均加速度与瞬时加速度
1.平均加速度 定义
?t ? 方向同 ? v ? a ? ? ?v
? va (t )

? vb ( t ? ?t )

? ?v
? vb ( t ? ?t )

注意:
①说到平均加速度,一定要明确是哪一段时间或
哪一段位移中的平均加速度.
? ? ②一般 ? v 与 v 方向不同 .

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第二章 质点运动学

2. 瞬时加速度(简称加速度)
定义
dt dt dt ? ? ? a 是矢量 , 一般 a 与 v 方向不同 .

? a ? lim

? ?v

?t? 0

?

? dv

?

d

(

? dr dt

)?

? d r
2

dt

2

直角坐标中
2 2 2 ? dv x ? dv y ? dvt ? d x ? d y ? d z ? a ? i ? j ? k ? i ? j? k 2 2 2 dt dt dt dt dt dt

? ? ? ? a xi ? a y j ? azk
2 2

? a ? | a |?
cos ? a ? ax a

ax ? a y ? az

2

cos ? a ?

ay a
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cos ?

a

?

az a
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第二章 质点运动学

说明 ? 加速度是矢量,有大小和方向 ? 匀变速运动: 加速度为恒量 ? 非匀变速运动:加速度为变量 ? 加速度具有瞬时性, ? 加速度具有相对性

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第二章 质点运动学 [例题2]某质点的运动学方程为
? ? ? ? 2 r ? ?10i ? 15tj ? 5t k

(单位m,s)

求质点的加速度矢量.
[解]
? a ? ? dv dt
? ? d r
2

dt

2

? ? 10 k

a =10 m/s2 方向沿 z 轴.

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§2.2 瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量
2.2瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量 - 副本
瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量
3.1.2瞬时速度与瞬时加速度
2-4平均加速度和瞬时加速度
3.1.2 瞬时变化率(2)瞬时速度与瞬时加速度
2加速度为恒矢量时的质点运动
1.2曲线的切线与瞬时速度、瞬时加速度
物理1-2加速度为恒矢量时的质点运动
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