题型技法点拨-快得分系列之(六)特值法解等差数列问题


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[典例] 在等差数列{an}中,a1=1,前 n 项 S2n 4n+2 和 Sn 满足条件 = ,n=1,2,…则 an= Sn n+1 ________.

n?n-1? n?n-1? [常规解法] 因 Sn=na1+ d=n+ d, 2 2 2n?2n-1? 则 S2n=2na1+ d=2n+n(2n-1)d, 2 故 S2n 2n+n?2n-1?d 2?2dn+2-d? 4n+2 = = = . Sn n?n-1? dn+2-d n+1 n+ d 2

解得 d=1,则 an=n. [答案] n ——————[高手支招]—————————————————————————— 1.上述解法计算量较大,很容易出错,若采用特殊值计算很简单,因{an}为等差数列 S2 且 a1=1,只要求出公差 d,便可得出 an,若令 n=1,则有 =3,即可求出公差 d. S1 2.特殊值法在解一些选择题和填空题中经常用到,就是通过取一些特殊值、特殊点、 特殊函数、特殊数列、特殊图形等来求解或否定问题的目的;用特殊值法解题时要注意,所 选取的特例一定要简单,且符合题设条件. ————————————————————————————————————— — S2 [巧思妙解] 令 n=1,则 =3,∴S2=3,a2=2,可得 d=1,则 an=n. S1 ?针对训练 1.已知正数数列{an}对任意 p,q∈N*,都有 ap+q=ap+aq,若 a2=4,则 a9=( A.6 C.18 B.9 D.20 )

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解析:选 C 法一:∵a2=a1+1=a1+a1=4,∴a1=2,a9=a8+1=a8+a1=2a4+a1=4a2 +a1=18. 法二:∵a2=a1+1=a1+a1=4,∴a1=2,令 p=n,q=1,所以 an+1=an+a1,即 an+1 -an=2,∴{an}是等差数列,且首项为 2,公差为 2,故 a9=2+(9-1)×2=18.

Sn 2n an 2.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若 = ,则 =( Tn 3n+1 bn 2 A. 3 2n+1 C. 3n+1 2n-1 B. 3n-1 2n-1 D. 3n+4

)

2?2n-1? 2n-1 an 2an a1+a2n-1 S2n-1 解析:选 B 法一: = = = = = . bn 2bn b1+b2n-1 T2n-1 3?2n-1?+1 3n-1 法二:令 n=1,只有 B 项符合. 文章来源:福州五佳教育网 www.wujiajiaoyu.com(中小学直线提分,就上福州五佳教育)


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