河南省顶级名校2015届高三数学入学定位考试试题 文


河南省顶级名校 2015 届高三数学入学定位考试试题 文
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1、已知集合 A.

M ? x x ? x2 , N ? y y ? 2x , x ? R
B.

?

?

?

?,则 M

N ?(



? 0,1?
z?

? 0,1?

C.

?0,1?


D.

?0,1?

2、 已知复数

i3 2i ? 1 ,则 z 的虚部是(
? 1 5 1 ? i 5 C.

1 A. 5

?
D.

B.

2 5

3、某学生在一门功课的 22 次考试中,所得分数如下茎叶 图所示,则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为( ) A.117 B.118 C.118.5 D.119.5

y2 ? x2 ? 1 2 2 my ? x ? 1( m ? R ) 4、已知双曲线 与椭圆 5 有相同的焦点,则该双曲线的
渐近线方程为( A. y ? ? 3 x )

y??
B.

3 x 3

1 y?? x 3 D. y ? ?3 x C.

2? 5、平面向量 a 与 b 的夹角为 3 , a ? (3, 0) , | b |? 2 ,则 | a ? 2b | =(
A.



13

B.

37

C. 7

D. 3

2 6.下列有关命题的叙述, ①若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题;②“ x ? 5 ”是“ x ? 4 x ? 5 ? 0 ” 2 2 的充分不必要条件;③命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ;④命 2 2 题“若 x ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 或 x ? 2 ”的逆否命题为“若 x ? 1 或 x ? 2 ,则 x ? 3 x ? 2 ? 0 ”。其

中错误的个数为( A. 1 B. 2

) C. 3 D. 4

7 、 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列

?an ?

中 , 若

am ?1 ? am ?1 ? 2am (m ? 2) , 数 列 ?an ? 的 前 n 项 积 为 Tn , 若 T2 m ?1 ? 512 ,则 m 的值为(
A.4 B.5 ) C. 6 D. 7

8、设偶函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图象如图所示, ?KML 为等腰直角

三角形, ?KML ? 90 ,

KL ? 1
1 4

1 f( ) ,则 6 的值为(
1 C. 2 ?
C. i ? 7



?
A.

3 4

?
B.

D.

3 4


9、执行如图中的程序框图,若输出的结果为 21,则判断框中应填( A. i ? 5 B.

i?6

D. i ? 8

10、如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是( ) A.54 B.27 C.18 D. 9

(第 9 题图)
2

(第 10 题图)

11、抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 A, B 在抛物线上,且 ?AFB ? 120 ,弦 AB 中点 M 在其准线上的射

MN
影为 N ,则

AB

的最大值为(



3 A. 3

2 3 B. 3

C.

3

4 3 D. 3

1 a ? f (? ), b ? f (3), c ? f (0) 2 12.己知函数 f ( x ? 1) 是偶函数, 当 x ? (1, ??) 时, 函数 f ( x) 单调递减, 设 ,
则 a, b, c 的大小关系为( A. b ? a ? c ) C. b ? c ? a D. a ? b ? c

B. c ? b ? a

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

?2 x ? y ? 0 ? ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?y ? 0 则 z ? x ? y 的取值范围是 13、若点 P ( x, y ) 满足线性约束条件 ?
2 2



14、已知直线 2ax ? by ? 1 (其中 a, b 为非零实数)与圆 x ? y ? 1 相交于 A, B 两点, O 为坐标原点,

1 2 ? 2 2 b 的最小值为 且 ?AOB 为直角三角形,则 a



2 2 15 、设 O 是 ?ABC 的三边中垂线的交点 , a, b, c 分别为角 A, B, C 对应的边 , 已知 b ? 2b ? c ? 0 , 则

uuu r uuu r BC ? AO 的范围是___________.
16 、 已 知 有 限 集

A ? ?a1 , a2 , a3 , ???, an ?? n ? 2, n ? N ?

a ? i ? 1, 2,3, ???, n ? .如果 A 中元素 i 满足

a1a2 ??? an ? a1 ? a2 ? ??? ? an ,就称 A 为“复活集”,给出下列结论:
? ?1 ? 5 ?1 ? 5 ? ? ? , ? ? 2 ? ? 2 ? 是“复活集”;② 若a1 , a2 ? R, 且 ?a1 , a2 ? 是“复活集”,则 a1a2 ? 4 ;③ ①集合 ?

若a1 , a2 ? N * , 则?a1 , a2 ?

不可能是“复活集”;④若

ai ? N * ,则“复活集” A 有且只有一个,且 n ? 3 .

其中正确的结论是___________________. (填上你认为所有正确的结论序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2 .

A?
(Ⅰ)若

?
3 ,求 b ? c 的取值范围;

(Ⅱ)若 AB ? AC ? 1 ,求 ?ABC 面积的最大值. 18、 (本小题满分 12 分) 如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD, AB ? AA1 ? 2 . (Ⅰ) 证明: A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.

D1 A1 B1

C1

D A O B

C

19、 (本小题满分 12 分) 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生作为样本,将他们的期中考 试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段:

?40,50? , ?50,60? ,?, ?90,100? 后得到如图的频率分布直方图.
(Ⅰ)求图中实数 a 的值; (Ⅱ)若该校高一年级共有学生 500 人,试估计该校高一年级在这次考 试中成绩不低于 60 分的人数. ( Ⅲ ) 若从样本中数学成绩在

? 40,50 ? 与 ?90,100? 两个分数段内的学生

中随机选取两名学生,试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率。 20、(本小题满分 12 分)

C:
椭圆

? 3? x2 y 2 1 A ?1, ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 F,F F a b 过点 ? 2 ? ,离心率为 2 ,左、右焦点分别为 1 2 ,过 1 的直线交椭

圆于 A, B 两点.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

12 2 (Ⅱ)当 ?F2 AB 的面积为 7 时,求直线的方程.
21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ( x ? 1) ? ln x ? 1 .
2

(Ⅰ)当

a??

1 4 时,求函数 f ( x) 的极值;

(Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 [2, 4] 上是减函数,求实数 a 的取值范围;
? x ? 1, ? y?x?0 (Ⅲ)当 x ? [1, ??) 时,函数 y ? f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的平面区域内,求实数 a 的取值范

围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 已 知 , 在 ?ABC 中 , D 是 AB 上 一 点 , ?ACD 的 外 接 圆 交 BC 于 E ,

AB ? 2 BE .
(Ⅰ)求证: BC ? 2 BD ; (Ⅱ)若 CD 平分 ?ACB ,且 AC ? 2, EC ? 1 ,求 BD 的长. 23、 (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中, 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

C : ? sin 2 ? ? 2a cos ? ? a ? 0 ?



? x ? ?2 ? ? ? ? ? y ? ?4 ? P ? ?2, ?4 ? ? 已知过点 的直线的参数方程为: ?
(Ⅰ)写出曲线 C 和直线的普通方程; (Ⅱ)若

2 t 2 t是参数 ? ? 2 t 2 ,直线与曲线 C 分别交于 M , N .

PM , MN , PN

成等比数列,求 a 的值.

24、(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| . (Ⅰ)解不等式: f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 ; (Ⅱ)当 a ? 0 时, 不等式 2a ? 3 ? f (ax) ? af ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围. 参考答案

一、选择题 1-5 ABBAA

6-12 BBDCC AA

二、填空题 13、 三、解答题

? ?2, 0 ?
a ? 2, A ?

14、 4

? 1 ? ?? , 2 ? 15、 ? 4 ?

16、 ①③④

?
3

,?

17、 解: (1)

a 4 3 ? ? 2R sin A 3 ???( 2 分)

? b ? c ? 2 R sin B ? 2 R sin C ?

4 3 4 3 4 3 4 3 ? sin B ? sin C ? sin B ? sin( B ? ) 3 3 3 3 3

? 2 3 sin B ? 2 cos B ? 4sin( B ? ) 6
A?

?

?
3

?B ?C ?

2? 2? ? ? 5? ? 1 ?0 ? B ? ? ? B? ? ? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 3 6 6 6 6 2 .

? b ? c ? (2, 4]

???( 6 分)

(2)

1 b2c 2 ? 1 AB ? AC ? bc cos A ? 1? cos A ? ? 0 ? sin A ? bc bc ??? (8 分)

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? b 2 ? c 2 ? 2 ? 6 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? bc ? 3? b 2c 2 ? 9 ???( 10 分)

? S ?ABC

1 1 b2c 2 ? 1 1 2 2 1 ? bc sin A ? bc ? ? b c ?1 ? 9 ?1 ? 2 2 2 bc 2 2
3 时, ?ABC 的面积取到最大值为 2 . ??? (12 分) B1 D1 线段的中点为 O1

当且仅当 b ? c ?

18、 【答案】 (I)设

19。解: (I)由 0.05 ? 0.1 ? 0.2 ? 10a ? 0.25 ? 0.1 ? 1 ,可得 a ? 0.03 。

C:
20、 解: (1) 因为椭圆

? 3? x2 y 2 1 9 1 A ?1, ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ?1 2 2 a b 4b 过点 ? 2 ? , 所以 a ①, 又因为离心率为 2 ,

b2 3 c 1 ? ? 2 2 2 4 ②,解①②得 a ? 4, b ? 3. 所以 a 2 ,所以 a x2 y 2 ? ?1 3 所以椭圆的方程为: 4 ??? (4 分)
3 3 A(?1, ), B(?1, ? ), 2 2 (2)①当直线的倾斜角为 2 时,
S ?ABF2 ? 1 1 12 2 AB ? F1 F2 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 2 7 ,不适合题意。??? (6 分)

?

? ②当直线的倾斜角不为 2 时,设直线方程 l : y ? k ( x ? 1) ,
x2 y 2 ? ?1 2 2 2 2 3 代入 4 得: (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ??? (7 分)



A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x2 ?

?8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? , 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

? S ?ABF2 ? ?k (

1 1 AB ? F1 F2 ? y1 ? y2 ? F1 F2 ? k 2 2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

2 ?8k 2 2 4k 2 ? 12 12 k k ? 1 12 2 ) ? 4( ) ? ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 7

?17k 4 ? k 2 ? 18 ? 0 ? k 2 ? 1? k ? ?1 ,
所以直线方程为: x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 ??? (12 分) 21.

1 x ,∵函数 f ( x) 在区间 [2, 4] 上单调递减, (Ⅱ) 1 1 f ?( x) ? 2a( x ? 1) ? ? 0 2a ? 2 [2, 4] x ? x ? x 在 [2, 4] 上恒成立, ∴ 在区间 上恒成立,即 f ?( x) ? 2a( x ? 1) ? 1 只需 2a 不大于 ? x ? x 在 [2, 4] 上的最小值即可. 6 分 1 1 ? 2 1 1 1 1 ? x ? x ?( x ? ) 2 ? 1 ? [? , ? ] 2 2 12 , 2 4 (2 ? x ? 4) ,则当 2 ? x ? 4 时, ? x ? x 而
2



2a ? ?

1 1 1 a?? (??, ? ] 2 ,即 4 ,故实数 a 的取值范围是 4 .8 分

(Ⅲ)因 f ( x) 图象上的点在

? x ? 1, ? ?y ? x ? 0

所表示的平面区域内,即当 x ? [1, ??) 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,

2 2 即 a( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 ? 0 恒成立,设 g ( x) ? a( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 ( x ? 1 ) ,只需 g ( x) max ? 0 即可.



g ?( x) ? 2a( x ? 1) ?

2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 1 ?1 ? x x ,
1? x x ,当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递减,故 g ( x) ? g (1) ? 0

(ⅰ)当 a ? 0 时, 成立.

g ?( x) ?

2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 g ?( x) ? ? x (ⅱ)当 a ? 0 时,由

2a( x ? 1)( x ? x

1 ) 2a

? ,令 g ( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 或

x2 ?

1 2a ,

1 1 ?1 a? 2 时,在区间 (1, ??) 上, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增,函数 g ( x) 在 [1, ??) ①若 2a ,即 上无最大值,不满足条件;

1 1 1 1 ?1 0?a? (1, ) ( , ??) g ( x ) 2 时,函数 ②若 2a ,即 在 2a 上单调递减,在区间 2a 上单调递增,同样 g ( x) 在

[1, ??) 上无最大值,不满足条件.
2a( x ? 1)( x ? x 1 ) 2a

(ⅲ)当 a ? 0 时,由

g ?( x) ?

? ,因 x ? (1, ??) ,故 g ( x) ? 0 ,则函数 g ( x) 在 (1, ??) 上单调

递减,故 g ( x) ? g (1) ? 0 成立. 综上所述,实数 a 的取值范围是 (??, 0] . 12 分

22、解: (Ⅰ)连接 DE ,∵四边形 ACED 是圆的内接四边形, ∴ ?BDE ? ?BCA ,又 ?DBE ? ?CBA ,∴ ?DBE ∽ ?CBA ,

BE BD ? ∴ AB BC ,
又 AB ? 2 BE ,∴ BC ? 2 BD ?????????(5 分)

BE ED ? (Ⅱ)由(Ⅰ) ?DBE ∽ ?CBA ,知 AB AC ,又 AB ? 2 BE ,∴ AC ? 2 DE ,
∵ AC ? 2 ,∴ DE ? 1 ,而 CD 是 ?ACB 的平分线∴ DA ? 1 , 设 BD ? x ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC

x ? x ? 1? ?


1 1 ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 1? ? ? 2 ?2 ?,
????(10 分)

解得 x ? 1 ,即 BD ? 1

23、解: (Ⅰ) y ? 2ax, y ? x ? 2 ???????(4 分)
2

(Ⅱ)直线的参数方程为(t 为参数),代入 y ? 2ax 得到
2

t 2 ? 2 2 (4 ? a )t ? 8(4 ? a ) ? 0 ,
则有 t1 ? t 2 ? 2 2 (4 ? a ), t1 ? t 2 ? 8(4 ? a ) , 因为 即

MN ? PM PN
2

2

,所以

? t1 ? t2 ?
2

2

? t1t2



? t1 ? t2 ?

? 5t1t2

,即

8 ? 4 ? a ? ? 40 ? 4 ? a ?

解得 a ? 1 ???????10 分

1 ? x ?1 24、解:(Ⅰ)原不等式等价于:当 x ? 1 时, ?2 x ? 3 ? 2 ,即 2 ; 2? x? 5 2.

当 1 ? x ? 2 时, 1 ? 2 ,即 1 ? x ? 2 ; 当 x ? 2 时, 2 x ? 3 ? 2 ,即

{x |
综上所述,原不等式的解集为 (Ⅱ)当 a ? 0 时,

1 5 ?x? } 2 2 .????(5 分)

f (ax) ? af ( x) ?| ax ? 1| ?a | x ? 1| = | ax ? 1| ? | a ? ax | ? | ax ? 1 ? a ? ax |?| a ? 1|
所以 2a ? 3 ?| a ? 1|

?a ? 2

?????(10 分)


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