河南省顶级名校2015届高三数学入学定位考试试题 文

河南省顶级名校 2015 届高三数学入学定位考试试题 文
（时间：120 分钟 满分：150 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 1、已知集合 A．

M ? x x ? x2 , N ? y y ? 2x , x ? R
B．

?

?

?

?，则 M

N ?（

）

? 0,1?
z?

? 0,1?

C．

?0,1?
）

D．

?0,1?

2、 已知复数

i3 2i ? 1 ，则 z 的虚部是（
? 1 5 1 ? i 5 C．

1 A． 5

?
D．

B．

2 5

3、某学生在一门功课的 22 次考试中，所得分数如下茎叶 图所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（ ） A．117 B．118 C．118．5 D．119．5

y2 ? x2 ? 1 2 2 my ? x ? 1( m ? R ) 4、已知双曲线 与椭圆 5 有相同的焦点，则该双曲线的
渐近线方程为（ A． y ? ? 3 x ）

y??
B．

3 x 3

1 y?? x 3 D． y ? ?3 x C．

2? 5、平面向量 a 与 b 的夹角为 3 ， a ? (3, 0) ， | b |? 2 ，则 | a ? 2b | ＝（
A．

）

13

B．

37

C． 7

D． 3

2 6．下列有关命题的叙述， ①若 p ? q 为真命题，则 p ? q 为真命题；②“ x ? 5 ”是“ x ? 4 x ? 5 ? 0 ” 2 2 的充分不必要条件；③命题 p : ?x ? R ，使得 x ? x ? 1 ? 0 ，则 ?p : ?x ? R ，使得 x ? x ? 1 ? 0 ；④命 2 2 题“若 x ? 3 x ? 2 ? 0 ，则 x ? 1 或 x ? 2 ”的逆否命题为“若 x ? 1 或 x ? 2 ，则 x ? 3 x ? 2 ? 0 ”。其

中错误的个数为（ A． 1 B． 2

） C． 3 D． 4

7 、 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列

?an ?

中 ， 若

am ?1 ? am ?1 ? 2am (m ? 2) ， 数 列 ?an ? 的 前 n 项 积 为 Tn ， 若 T2 m ?1 ? 512 ，则 m 的值为（
A．4 B．5 ） C． 6 D． 7

8、设偶函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )（ A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的部分图象如图所示， ?KML 为等腰直角

三角形， ?KML ? 90 ，

KL ? 1
1 4

1 f( ) ，则 6 的值为（
1 C． 2 ?
C． i ? 7

）

?
A．

3 4

?
B．

D．

3 4
）

9、执行如图中的程序框图，若输出的结果为 21，则判断框中应填（ A． i ? 5 B．

i?6

D． i ? 8

10、如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A．54 B．27 C．18 D． 9

（第 9 题图）
2

（第 10 题图）

11、抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ，点 A, B 在抛物线上，且 ?AFB ? 120 ，弦 AB 中点 M 在其准线上的射

MN
影为 N ，则

AB

的最大值为（

）

3 A． 3

2 3 B． 3

C．

3

4 3 D． 3

1 a ? f (? ), b ? f (3), c ? f (0) 2 12.己知函数 f ( x ? 1) 是偶函数， 当 x ? (1, ??) 时， 函数 f ( x) 单调递减， 设 ，
则 a, b, c 的大小关系为（ A． b ? a ? c ） C． b ? c ? a D． a ? b ? c

B． c ? b ? a

二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

?2 x ? y ? 0 ? ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?y ? 0 则 z ? x ? y 的取值范围是 13、若点 P ( x, y ) 满足线性约束条件 ?
2 2

．

14、已知直线 2ax ? by ? 1 （其中 a, b 为非零实数）与圆 x ? y ? 1 相交于 A, B 两点， O 为坐标原点，

1 2 ? 2 2 b 的最小值为 且 ?AOB 为直角三角形，则 a

。

2 2 15 、设 O 是 ?ABC 的三边中垂线的交点 , a, b, c 分别为角 A, B, C 对应的边 , 已知 b ? 2b ? c ? 0 , 则

uuu r uuu r BC ? AO 的范围是___________．
16 、 已 知 有 限 集

A ? ?a1 , a2 , a3 , ???, an ?? n ? 2, n ? N ?

a ? i ? 1, 2,3, ???, n ? ．如果 A 中元素 i 满足

a1a2 ??? an ? a1 ? a2 ? ??? ? an ，就称 A 为“复活集”，给出下列结论：
? ?1 ? 5 ?1 ? 5 ? ? ? , ? ? 2 ? ? 2 ? 是“复活集”；② 若a1 , a2 ? R, 且 ?a1 , a2 ? 是“复活集”，则 a1a2 ? 4 ；③ ①集合 ?

若a1 , a2 ? N * , 则?a1 , a2 ?

不可能是“复活集”；④若

ai ? N * ，则“复活集” A 有且只有一个，且 n ? 3 ．

其中正确的结论是___________________． （填上你认为所有正确的结论序号） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤． 17、 (本小题满分 12 分）在 ?ABC 中，角 A, B, C 对的边分别为 a, b, c ，已知 a ? 2 ．

A?
（Ⅰ）若

?
3 ，求 b ? c 的取值范围；

（Ⅱ）若 AB ? AC ? 1 ，求 ?ABC 面积的最大值． 18、 （本小题满分 12 分） 如图, 四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD, AB ? AA1 ? 2 ． (Ⅰ) 证明: A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD－A1B1D1 的体积．

D1 A1 B1

C1

D A O B

C

19、 （本小题满分 12 分） 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生作为样本，将他们的期中考 试数学成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：

?40,50? ， ?50,60? ，?， ?90,100? 后得到如图的频率分布直方图．
（Ⅰ）求图中实数 a 的值； （Ⅱ）若该校高一年级共有学生 500 人，试估计该校高一年级在这次考 试中成绩不低于 60 分的人数． ( Ⅲ ) 若从样本中数学成绩在

? 40,50 ? 与 ?90,100? 两个分数段内的学生

中随机选取两名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率。 20、(本小题满分 12 分）

C:
椭圆

? 3? x2 y 2 1 A ?1, ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 F,F F a b 过点 ? 2 ? ，离心率为 2 ，左、右焦点分别为 1 2 ，过 1 的直线交椭

圆于 A, B 两点．

（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；

12 2 （Ⅱ）当 ?F2 AB 的面积为 7 时，求直线的方程．
21、 （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) ? a ( x ? 1) ? ln x ? 1 ．
2

（Ⅰ）当

a??

1 4 时，求函数 f ( x) 的极值；

（Ⅱ）若函数 f ( x) 在区间 [2, 4] 上是减函数，求实数 a 的取值范围；
? x ? 1, ? y?x?0 （Ⅲ）当 x ? [1, ??) 时，函数 y ? f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的平面区域内，求实数 a 的取值范

围． 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22、 （本小题满分 10 分）选修 4—1：几何证明选讲 已 知 ， 在 ?ABC 中 ， D 是 AB 上 一 点 ， ?ACD 的 外 接 圆 交 BC 于 E ，

AB ? 2 BE ．
（Ⅰ）求证： BC ? 2 BD ； （Ⅱ）若 CD 平分 ?ACB ，且 AC ? 2, EC ? 1 ，求 BD 的长． 23、 （本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中， 以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

C : ? sin 2 ? ? 2a cos ? ? a ? 0 ?

，

? x ? ?2 ? ? ? ? ? y ? ?4 ? P ? ?2, ?4 ? ? 已知过点 的直线的参数方程为： ?
（Ⅰ）写出曲线 C 和直线的普通方程； （Ⅱ）若

2 t 2 t是参数 ? ? 2 t 2 ，直线与曲线 C 分别交于 M , N ．

PM , MN , PN

成等比数列，求 a 的值．

24、(本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| ． (Ⅰ)解不等式: f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 ； (Ⅱ)当 a ? 0 时, 不等式 2a ? 3 ? f (ax) ? af ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围． 参考答案

一、选择题 1-5 ABBAA

6-12 BBDCC AA

二、填空题 13、 三、解答题

? ?2, 0 ?
a ? 2, A ?

14、 4

? 1 ? ?? , 2 ? 15、 ? 4 ?

16、 ①③④

?
3

,?

17、 解： （1）

a 4 3 ? ? 2R sin A 3 ???（ 2 分）

? b ? c ? 2 R sin B ? 2 R sin C ?

4 3 4 3 4 3 4 3 ? sin B ? sin C ? sin B ? sin( B ? ) 3 3 3 3 3

? 2 3 sin B ? 2 cos B ? 4sin( B ? ) 6
A?

?

?
3

?B ?C ?

2? 2? ? ? 5? ? 1 ?0 ? B ? ? ? B? ? ? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 3 6 6 6 6 2 .

? b ? c ? (2, 4]

???（ 6 分）

（2）

1 b2c 2 ? 1 AB ? AC ? bc cos A ? 1? cos A ? ? 0 ? sin A ? bc bc ??? （8 分）

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? b 2 ? c 2 ? 2 ? 6 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? bc ? 3? b 2c 2 ? 9 ???（ 10 分）

? S ?ABC

1 1 b2c 2 ? 1 1 2 2 1 ? bc sin A ? bc ? ? b c ?1 ? 9 ?1 ? 2 2 2 bc 2 2
3 时, ?ABC 的面积取到最大值为 2 . ??? （12 分） B1 D1 线段的中点为 O1

当且仅当 b ? c ?

18、 【答案】 （I）设

19。解： （I）由 0.05 ? 0.1 ? 0.2 ? 10a ? 0.25 ? 0.1 ? 1 ，可得 a ? 0.03 。

C:
20、 解： （1） 因为椭圆

? 3? x2 y 2 1 9 1 A ?1, ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ?1 2 2 a b 4b 过点 ? 2 ? ， 所以 a ①， 又因为离心率为 2 ，

b2 3 c 1 ? ? 2 2 2 4 ②，解①②得 a ? 4, b ? 3. 所以 a 2 ，所以 a x2 y 2 ? ?1 3 所以椭圆的方程为： 4 ??? （4 分）
3 3 A(?1, ), B(?1, ? ), 2 2 （2）①当直线的倾斜角为 2 时，
S ?ABF2 ? 1 1 12 2 AB ? F1 F2 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 2 7 ，不适合题意。??? （6 分）

?

? ②当直线的倾斜角不为 2 时，设直线方程 l : y ? k ( x ? 1) ，
x2 y 2 ? ?1 2 2 2 2 3 代入 4 得： (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ??? （7 分）

设

A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) ，则

x1 ? x2 ?

?8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? , 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

? S ?ABF2 ? ?k (

1 1 AB ? F1 F2 ? y1 ? y2 ? F1 F2 ? k 2 2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

2 ?8k 2 2 4k 2 ? 12 12 k k ? 1 12 2 ) ? 4( ) ? ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 7

?17k 4 ? k 2 ? 18 ? 0 ? k 2 ? 1? k ? ?1 ，
所以直线方程为： x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 ??? （12 分） 21.

1 x ，∵函数 f ( x) 在区间 [2, 4] 上单调递减， （Ⅱ） 1 1 f ?( x) ? 2a( x ? 1) ? ? 0 2a ? 2 [2, 4] x ? x ? x 在 [2, 4] 上恒成立， ∴ 在区间 上恒成立，即 f ?( x) ? 2a( x ? 1) ? 1 只需 2a 不大于 ? x ? x 在 [2, 4] 上的最小值即可． 6 分 1 1 ? 2 1 1 1 1 ? x ? x ?( x ? ) 2 ? 1 ? [? , ? ] 2 2 12 ， 2 4 (2 ? x ? 4) ，则当 2 ? x ? 4 时， ? x ? x 而
2

∴

2a ? ?

1 1 1 a?? (??, ? ] 2 ，即 4 ，故实数 a 的取值范围是 4 ．8 分

（Ⅲ）因 f ( x) 图象上的点在

? x ? 1, ? ?y ? x ? 0

所表示的平面区域内，即当 x ? [1, ??) 时，不等式 f ( x) ? x 恒成立，

2 2 即 a( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 ? 0 恒成立，设 g ( x) ? a( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 （ x ? 1 ） ，只需 g ( x) max ? 0 即可．

由

g ?( x) ? 2a( x ? 1) ?

2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 1 ?1 ? x x ，
1? x x ，当 x ? 1 时， g ?( x) ? 0 ，函数 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递减，故 g ( x) ? g (1) ? 0

（ⅰ）当 a ? 0 时， 成立．

g ?( x) ?

2ax 2 ? (2a ? 1) x ? 1 g ?( x) ? ? x （ⅱ）当 a ? 0 时，由

2a( x ? 1)( x ? x

1 ) 2a

? ，令 g ( x) ? 0 ，得 x1 ? 1 或

x2 ?

1 2a ，

1 1 ?1 a? 2 时，在区间 (1, ??) 上， g ?( x) ? 0 ，函数 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增，函数 g ( x) 在 [1, ??) ①若 2a ，即 上无最大值，不满足条件；

1 1 1 1 ?1 0?a? (1, ) ( , ??) g ( x ) 2 时，函数 ②若 2a ，即 在 2a 上单调递减，在区间 2a 上单调递增，同样 g ( x) 在

[1, ??) 上无最大值，不满足条件．
2a( x ? 1)( x ? x 1 ) 2a

（ⅲ）当 a ? 0 时，由

g ?( x) ?

? ，因 x ? (1, ??) ，故 g ( x) ? 0 ，则函数 g ( x) 在 (1, ??) 上单调

递减，故 g ( x) ? g (1) ? 0 成立． 综上所述，实数 a 的取值范围是 (??, 0] ． 12 分

22、解： （Ⅰ）连接 DE ，∵四边形 ACED 是圆的内接四边形， ∴ ?BDE ? ?BCA ，又 ?DBE ? ?CBA ，∴ ?DBE ∽ ?CBA ，

BE BD ? ∴ AB BC ，
又 AB ? 2 BE ，∴ BC ? 2 BD ?????????(5 分)

BE ED ? （Ⅱ）由（Ⅰ） ?DBE ∽ ?CBA ，知 AB AC ，又 AB ? 2 BE ，∴ AC ? 2 DE ，
∵ AC ? 2 ，∴ DE ? 1 ，而 CD 是 ?ACB 的平分线∴ DA ? 1 ， 设 BD ? x ，根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC

x ? x ? 1? ?
即

1 1 ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 1? ? ? 2 ?2 ?，
????(10 分)

解得 x ? 1 ，即 BD ? 1

23、解： （Ⅰ） y ? 2ax, y ? x ? 2 ???????(4 分)
2

（Ⅱ）直线的参数方程为（t 为参数）,代入 y ? 2ax 得到
2

t 2 ? 2 2 (4 ? a )t ? 8(4 ? a ) ? 0 ,
则有 t1 ? t 2 ? 2 2 (4 ? a ), t1 ? t 2 ? 8(4 ? a ) ， 因为 即

MN ? PM PN
2

2

，所以

? t1 ? t2 ?
2

2

? t1t2

，

? t1 ? t2 ?

? 5t1t2

，即

8 ? 4 ? a ? ? 40 ? 4 ? a ?

解得 a ? 1 ???????10 分

1 ? x ?1 24、解:(Ⅰ)原不等式等价于:当 x ? 1 时, ?2 x ? 3 ? 2 ,即 2 ； 2? x? 5 2.

当 1 ? x ? 2 时, 1 ? 2 ,即 1 ? x ? 2 ； 当 x ? 2 时, 2 x ? 3 ? 2 ,即

{x |
综上所述,原不等式的解集为 (Ⅱ)当 a ? 0 时,

1 5 ?x? } 2 2 .????（5 分）

f (ax) ? af ( x) ?| ax ? 1| ?a | x ? 1| = | ax ? 1| ? | a ? ax | ? | ax ? 1 ? a ? ax |?| a ? 1|
所以 2a ? 3 ?| a ? 1|

?a ? 2

?????（10 分）