期末复习卷6-圆锥曲线2(带答案)


高二数学期末复习卷(6)-----圆锥曲线二
1、双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左支上一点 ( a, b) 到其渐近线 y ? x 的距离为 2 ,则

a ? b =_______ ?

1 2

2 、在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC 顶点 A(? 4, 0)和 C(4, 0) ,顶点 B 在椭圆

sin A ? sin C x2 y2 ? ? ? 1 上,则 sin B 25 9



.

利用椭圆定义和正弦定理 得 a ? c ? 2 ? 5 ? 10 , b =2· 4=8, ∴

sin A ? sin C a ? c 10 5 ? ? ? 。 sin B b 8 4

3、在平面直角坐标系 x O y 中,双曲线 到双曲线右焦点的距离是

x2 y2 ? ? 1 上一点 M,点 M 的横坐标是 3,则 M 4 12

设 d 为点 M 到右准线 x ? 1 的距离,MF 为 M 到双曲线右焦点的距离。根据双曲线的定义, 得

MF 4 ? e ? ? 2 ,而 d ? 2 ,∴MF=4。 d 2

4、过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A,B 两点,若直线 AB 的倾斜角为 600, 则|AB|=

16 3
2 2

4、点 P 在椭圆 7 x ? 4 y ? 28上,则点 P 到直线 3x ? 2 y ? 16 ? 0 的距离的最大值为

24 13 13
5、已知双曲线
x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F , 若以 F 为圆心的圆

x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 与此双曲线的渐近线相切,则该双曲线的离心率为

3 5 5
1 ?0平 2

6、中心在原点,一个焦点为 F1 (0, 50) 的椭圆截直线 y ? 3x ? 2 所得弦被直线 x ? 分,则椭圆方程为_____________

7、已知点 P 是抛物线 y ? 4 x 上的点,设点 P 到抛物线的准线距离为 d1 ,到圆
2

( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 上一动点 Q 的距离为 d2 ,则 d1 ? d 2 的最小值为_________

8、已知圆 C1: x ? y ? 4 ,圆 C2: x ? y ? 12x ? 64 ? 0 ,动圆 P 与圆 C1 外切,与圆 C2 内
2 2 2 2

切,则动圆圆心 P 的轨迹方程是

9、 设双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左、 右焦点分别为 F1 , F2 , 点 P 在双曲线的右支上, 且 PF1 ? 4PF2 , a 2 b2
5 3
2 2

则此双曲线离心率的最大值为
2 2

10、已知⊙A: x ? y ? 1,⊙B: ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 ,P 是平面内一动点,过 P 作⊙A、 ⊙B 的切线,切点分别为 D、E,若 PE ? PD ,则 P 到坐标原点距离的最小值为

11 5

11、A、B 是双曲线 C 的两个顶点,直线 l 与实轴垂直,与双曲线 C 交于 P、Q 两点,若

uur uuu r PB ? AQ ? 0 ,则双曲线 C 的离心率 e=

解析:设双曲线方程为 双曲线上点 P(x,y),

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? , a 2 b2

uur uuu r 则 A(?a,0), B(a,0) , Q (x, ? y).由 PB ? AQ ? 0 得

x2 y 2 ? a ? x, ? y ? ? x ? a, ? y ? ? 0 从而 x ? y ? a ,又因点 P 在双曲线上,满足 2 ? 2 ? 1 , a b
2 2 2

另从题中知点 P 为任意可由两式比较得 a ? b ,则双曲线 C 的离心率 e= 2 .
2 2

[来源:学科网]

法二:由 PB ? AQ, AB ? PQ 知 B 为垂心,即 PQ 运动中始终要 B 点垂心;从而可假设三角 形 PAQ 为等边三角形来处理. 12、在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点为 a 2 b2

右准线为 l , 短轴的一个端点为 B , 设原点到直线 BF 的距离为 d1 ,F 到 l 的距离为 d 2 , F, 若 d2 ? 6d1 ,则椭圆 C 的离心率为

3 3

13、有一隧道,内设双行线公路,同方向有两个车道(共有四个车道) , 每个车道宽为 3m,此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成, 如右图所示。为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧 道顶部在竖直方向上高度之差至少为 0.25m ,靠近中轴线的车道 为快车道,两侧的车道为慢车道,则车辆通过隧道时,慢车道的 限制高度约为 . (精确到 0.1m ) 4.3 8m A B 3m 3m 3m 3m 16m 2m

14、已知抛物线 x 2 ? 2 py 上一点,对点 A(0, a ) ,恒有 | PA |?| a | ,则 a ?________ 15、如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,左、右焦点分别为 F1 , F2 ,右顶点为 A,上 a 2 b2

顶点为 B, P 为椭圆上在第一象限内一点. (1)若 S?PF1F2 ? S?PAF2 ,求椭圆的离心率; (2)若 S ?PF1F2 ? S ?PAF2 ? S ?PBF1 ,求直线 PF1 的斜率 k ; (3)若 S?PAF2 、 S?PF1F2 、 S?PBF1 成等差数列,椭圆的离心率 e ? ? ,1? ? ? ,求直线 PF1 的斜率

1 ?4 ?

k 的取值范围.
y B 解: (1)∵S?PF1F2 = S?PAF2 ∵ a-c=2c ∴e = ∴F 1F2 ? F2 A P F2 A x

1 …………………………2′ 3 (2)设 PF 的直线方程为 y ? k ( x ? c) , 1 1 b ? kc 1 2kc ∵S?PF1F2 = S?PBF1 ∴ PF1 · ………………4′ ? PF1 · 2 2 k ?1 2 k 2 ?1
∴ b-kc=2kc ∴ b=3kc ∴ k=

F1 O

∵ a=3c∴ b=2 2 c

2 2 …………………………7′ 3
a?c t …………………………8′ 2c

(3)设 S?PF1F2 =t,则 S ?PAF2 ?

b ? kc
∵ P 在第一象限 ∴k ?

b c

S ?PBF1 S ?PF1 F2

?

k 2 ? 1 ? b ? kc 2kc 2kc 2 k ?1

b ? kc · t …………………………9′ 2kc a?c b ? kc t? · t ∴ 2t= 2c 2kc ∴4kc ? ak ? ck ? b ? kc ∴k (6c ? a) ? b b ∴k ? …………………………11′ 6c ? a b b ? ∴ 6c ? a c 1 1 1 ∴ ? e ?1 又由已知 ? e ? 1 ∴ ? e ? 1 …………………………12′ 5 4 4
∴S ?PBF1 ?

∴k ?
2

b2 a2 ? c2 = 36c 2 ? 12ac ? a 2 36c 2 ? 12ac ? a 2

=

m ?1 1 ? e2 1 ? e2 = (令 m ? 6e ? 1 ,∴e ? )……13′ 2 2 6 36e ? 12e ? 1 (6e ? 1)

m ?1 2 ) 1 36 ? m2 ? 2m ? 1 1 35 2 6 ( ? ? 1) = = = 36 m 2 m 36 m2 m2 1 1 ? e ?1 ∵ ∴ ?m?5 4 2 1 1 15 15 2 ?2 ∴ ? ∴0 ? k ? ∴0 ? k ? …………………………16′ 5 m 4 2 1? (
16、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :
6 ). 2 (1) 求椭圆 E 的方程; ( 2,

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的焦距为 2,且过点

(2) 若点 A , B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭 圆上异于 A , B 的任意一点,直线 AP 交 l 于点 M . (ⅰ)设直线 OM 的斜率为 k 1 , 直线 BP 的斜率为 k 2 ,求证: k 1 k 2 为定值; (ⅱ)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m .求证:直线 m 过定点,并求出定点的坐标.

y P A
m

M

O

B
x
l

⑴由题意得 2c ? 2 ,所以 c ? 1 ,又

2 3 + 2 ? 1 ,…………………………………2 分 2 a 2b 1 消去 a 可得, 2b4 ? 5b2 ? 3 ? 0 ,解得 b2 ? 3 或 b2 ? ? (舍去) ,则 a 2 ? 4 , 2 2 2 x y ? ? 1 .……………………………………………………4 分 所以椭圆 E 的方程为 4 3
⑵(ⅰ)设 P( x1 , y1 )( y1 ? 0) , M (2, y0 ) ,则 k1 ?

y1 y0 , k2 ? , x1 ? 2 2

因为 A, P, B 三点共线,所以 y0 ?

y0 y1 4 y12 4 y1 ? , 所以, k1k2 ? ,8 分 x1 ? 2 2( x1 ? 2) 2( x12 ? 4)

因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 y12 ? (4 ? x12 ) ,故 k1k2 ?

3 4

4 y12 3 ? ? 为定值.10 分 2 2( x1 ? 4) 2

(ⅱ)直线 BP 的斜率为 k2 ?

y1 2 ? x1 ,直线 m 的斜率为 km ? , x1 ? 2 y1

则直线 m 的方程为 y ? y0 ?

2 ? x1 ( x ? 2) ,…………………………………………12 分 y1

y?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 4 y12 2 ? x1 2 ? x1 2(2 ? x1 ) 4 y1 ( x ? 2) ? y0 ? x? ? ? x? y1 y1 y1 x1 ? 2 y1 ( x1 ? 2) y1

?

2 ? x1 2( x12 ? 4) ? 12 ? 3x12 2 ? x1 2 ? x1 2 ? x1 x? ( x ? 1) , x? = = y1 y1 y1 y1 ( x1 ? 2) y1
………………………………………………………16 分

所以直线 m 过定点 (?1,0) .

17、已知椭圆 T: 为 3,

3 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) )上一点 R (1, ) ,且右焦点到椭圆 T 右准线的距离 2 2 a b

(1)求椭圆 T 的方程; (2)设 A 为椭圆 T 的左顶点,F 为椭圆 T 的右焦点,过 F 的直线交椭圆 T 于 M,N,连结 AM,AN 分别交右准线于 P,Q,直线 PF,QF 的斜率为 k1 , k2 (k1 ? 0, k2 ? 0) ,求 k1 ? k 2 的最小值. y P M A O F N
9 1 a2 a2 (1)设右准线 l : x ? ,据条件有: 2 ? 42 ? 1 ①及 ? c ? 3 ②, a b c c

x

Q

利用 a 2 ? b2 ? c 2 及②,可得: b 2 ? 3c 代入①:
? 4c 2 ? 9c ? 13 ? 0 ,解得: c ? 1 或 c ? ?

1 3 ? ? 1 , ……………………2 分 3c ? c2 4c

13 (舍). 4
……………………4 分

b2 ? 3, a2 ? 4. 所以椭圆 T:

x2 y 2 ? ?1. 4 3

(2) (i)若直线 MN 与 X 轴不垂直,设其斜率为 k ,则直线 MN 的方程: y ? k ( x ? 1) , 代入椭圆 T 的方程,得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? (4k 2 ? 12) ? 0 , ……………………6 分

? 8k 2 x ? x ? 2 ? ? 1 3 ? 4k 2 , ?? 2 ? x x ? 4k ? 12 1 2 ? 3 ? 4k 2 ?
设 M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y2 ) ,直线 AM: y ? 令 x ? 4 ,得 y ?
y1 ( x ? 2) , x1 ? 2

6 y1 6 y1 6 y2 ,所以点 P (4, ) ,同理点 Q (4, ). x1 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2
……………………9 分

k1 ? k2 ?

6 y1 6 y1 ? x1 ? 2 x1 ? 2 6k ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4
6k ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2

?

x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

64k 4 4k 2 ? 12 ? 4 ? (3 ? 4k 2 )2 3 ? 4k 2 ? 4k 2 ? 12 16k 2 ? ?4 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 1 ? 2 1? 2 ? 2 . k 6k

……………………13 分

(ii)若直线 MN 与 X 轴垂直,则点 M 与点 R 重合.此时 k AP ?

1 1 ,直线 AP: y ? ( x ? 2) . 2 2

点 P 的坐标为(4,3) ,所以 k1 ? 1 ,类似得: k2 ? ?1 , k1 ? k2 ? 2 . 综上, k1 ? k 2 的最小值为 2. ……………………16 分


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