三道高考试题 一种解答方略
中学数 学 杂志
２ ０ １ ５年 第 ７期
２
昆 ‘ 岩 器 冕舅
三道 高 考试 题 一 － 一 种 解 答 方 略
山 东师 范大 学附属 中学 ２ ５ ０ ０ １ ４ 傅 平修
山 东邹城 市第二 中学
翻看今 年 山东 的高 考试 题 ， 发 现文 （ ２ １ ） 、 理（ ２ ０ ） 与 山东 ２ ０ １ １ 年理（ ２ ２ ） 、 ２ ０ １ ３ 年文（ ２ ２ ） 可 以借 助 同一
２ ７ ３ ５ ０ ０
张伟志
面积 的 最 大 值 ．
为了解 答上述三题 ， 现给 出以下两个结论 ：
种 方 略 解 答 ，即 借 助 三 角 形 的 面 积 公 式 Ｓ ＝
结论 １ 人教 Ｂ版《 数学 ? 必修 ５ 》第 １ ０页“ 探 索
及研究 ”中的命题 ：
÷Ｊ ａ Ｉ ｂ 一 ａ ２ ６ 。 Ｉ 和椭圆的 参数方程， 就可以比 较简捷
的解答． 现给 出试题及解答方 略．
试题 １ （ ２ ０ １ １ 年 山东理 ２ ２ ）已知动直线 ｚ 与椭 圆
ｃ： ＋了 ｙ ＝１ 交于 Ｐ （ 。， 。 ）， Ｑ （ ： ， ｙ ： ）两 不 同点 ， 且
已知 ＝（ 。 ， ， ｎ ： ） ，
厶
ｒ
＝（ ６ ， ６ ） ， 设 Ａ Ｏ Ａ Ｂ的 面
积为 则 Ｓ： １ ｌ ａ ｉ ｂ ２ 一ａ ： ｂ １ １ ．
，
证明 Ｓ＝ １ ｆ ｏ ａ Ｊ ．Ｊ Ｏ Ｂ’ Ｉ ｓ ｉ ｎ （ 为
，
的 夹
二
．
ＡＯ Ｐ Ｑ的面积 Ｓ 。 ＝ ， 其 中 ０为坐标原点．
角） ，
所以４ Ｓ 。 ＝ｌ ０ 州 ?ｌ Ｄ ， ／ １ 一Ｃ Ｏ Ｓ ０
（Ｉ）证明 ： ＋ 和Ｙ ＋Ｙ 均为定值 ；
＝ （ ｏ ＋ ａ ） ? （ ｂ ＋ ６ ） ?
（ ． １ Ｉ ） 设线段 Ｐ Ｑ的中点为 ， 求Ｉ Ｏ Ｍ１ ． Ｉ Ｐ Ｑｆ 的最
大值 ；
（ ａ ｉ ｂ Ｉ＋ｈ ２ ｂ ２ ） ￣
（ Ｉ ｌ Ｉ ） 椭圆 Ｃ上足否存在 三点 Ｄ， Ｅ， Ｇ， 使得 Ｓ
＝
ｓ △ ∞ 。 ＝ｓ 叩 。 ＝ ？若存在 ， 判断 ／ ｈ Ｄ Ｅ Ｇ的形状 ； 若 不
所 以 Ｓ ＝ ÷ Ｊ 一 ｂ ， Ｉ ．
结论 ２ 椭 圆 ２
＋
存在 ， 请说 明理 由．
试题 ２ （ ２ ０ １ ３ 年 山 东文 ２ ２ ）在平 面直 角 坐标 系
ｘ Ｏ ｙ中 ， 已知椭 圆 Ｃ的中心在原点 ０， 焦点 在 轴上 ， 短
／ ６ ＇
吾 ＝ ｌ 的 参 数 方 程 为 Ｘ
一
＝ ａｃ ｏ ｓ Ｏ
。
试 题 １解 析 （Ｉ） 由 已 知 可 设 ： Ｐ（ ｃ ｏ ，
ｓ ｉ ｎ ） ， ｏ （ ， ／ ｘ ｃ 。 ， ｓ ｉ ｎ ／ ３ ） ，
所以Ｓ Ａ Ｏ ｐ Ｑ＝ １
轴长为 ２ ， 离心率为 ．
（Ｉ） 求椭 圆 Ｃ的方程 ；
？ ｓ ／ ｏ ｓ ｉ 一 ｓ ｉ ｎ ／ ｏ 。 ｆ
＝
（ １ １ ， ） ， Ｂ为椭 圆 Ｃ上满 足 ＡＡ Ｏ Ｂ的面积为 的
譬【 ｓ ｉ ｎ （ 一 卢 Ｉ ＝ ．
所以锄 ｉ ｎ （ 、 － １） ｆ ＝ ±１ ， 即 — Ｊ Ｂ ＝ ＋ Ｔ ｒ （ Ｊ ｉ ｝ ∈ｚ）
，
任 意两点 ， Ｅ为线段 Ａ 丑的 中点 ， 射线 Ｏ Ｅ交椭 圆 Ｃ于点
Ｐ， 设Ｄ ＝ｔ Ｏ Ｅ ， 求实数 ｔ 的值 试题 ３ （ ２ ０ １ ５ 年 山东文 ２ １ ） 平 面直角 坐标 系 ｘ Ｏ ｙ 中， 已知椭 圆 Ｇ ： ＋ ｙ ＝ｌ （ 。＞６＞０ ）的离心 率 为
ａ Ｄ
所 以 ＋ ２ ２ ＝ ３ （ ｃ ｏ ｓ ／ ＋ｃ Ｏ ｏ ｄ ￣） ＝３ （ ｓ ｉ ｎ ￣ ｌ＋ ｆ ｃ ｏ ｓ ） ＝ ３ ，
ｙ ２ ＋ｙ ２ ＝２ （ ｓ ｉ ｎ ２ ａ
ｔ
＋ｓ ｉ ｎ ２ １） ｆ ＝２ （ ｓ ｉ ｎ ＋ｃ 。 ｓ ） ＝２ ．
（ Ｉ Ｉ ）由 已 知 肘（ （ ｃ ０ ｓ ＋唧
） ， （ ｓ ｉ ｎ ＋
，
且点（ √ ， ） 在椭圆 ｃ上．
（Ｉ） 求 椭圆 ｃ的方程
ｓ ｉ ） ） ， 则 ： 】 １ ０ Ｍ ＿ ÷ （ ３ （ ｃ 。 Ｓ Ｏ ／ ＋ ｃ 。 ） ＋ ２ （ ｓ ’ ｉ ｎ ／ Ｏ 、 ’
。 ｓ ｉ ） ） ＝ ÷ （ ５ ＋ ． ６ ｃ 。 ｃ 。 ＋ ４ ｓ ｉ ｎ ｓ ｉ ） ． ．
Ｉ Ｐ Ｑ Ｉ 。 ：３ （ Ｃ Ｏ Ｓ ／ 一ｃ Ｏ ｏ ｓ 卢） ＋２ （ ｓ ｉ ｎ ａ —ｓ ｉ ｎ ） Ｉ ＿ １
（ １ Ｉ ） 设椭 圆Ｅ：
＋
１ ， 尸为椭 圆 ｃ３ ： ｆ ： ￣ ， ， －
点， 过 Ｐ的直线 Ｙ＝ｋ ｘ＋ｍ交椭圆 Ｅ于 Ａ， Ｂ两点 ， 射线
Ｐ Ｄ交椭圆Ｅ于点Ｑ ： （ １ ） 求
的值； （ ２ ） 求△ Ｑ
： ５ — ６ ｃ 。 ｓ ｃ 。 一 ４ ｓ ｉ ｎ ｓ ｉ 。 『 Ｏ Ｍ Ｉ ? Ｉ Ｐ Ｑ 『 ２ ｛ （ ５
十 ６ ｃ ｏ ｓ ａｃ ｏ ｓ ￣ ＋ ４ ｓ ｉ ｎ ／ Ｏ ｓ ｉ ｎ １） ｆ （ ５ — ６ ｃ ｏ ｓ ／ Ｏ ｃ ｏ ｓ ￣ 一
４ ｓ ｉ ｎ ｓ ｉ ）≤ １（ １ ０ ）
２ ５
；
．
Ｐ （ ２ ｃ ｏ ｓ Ｏ ， ｓ ｉ ｎ ０ ） ， 所以Ｓ Ｂ ： ÷Ｉ ４ ｃ ｏ ｓ ￣‘ ２ ｓ ｉ 一 ４ ｃ ｏ ｓ ｌ ｆ
?
所以 ｌ Ｏ Ｍ １ ?Ｉ Ｐ Ｑ Ｉ ≤－ ５ － ， 等 号 成 立 的条 件 是
３ ｃ ｏ ｓ ａ ｃ ｏ ｓ ￣ ＋２ ｓ ｉ ｎ ￣ ｓ ｉ ＝０ ．
２ ｓ ｉ ｎ ａ Ｉ ＝４ ｌ ｓ ｉ ｎ （ 一 ）１ ．
因为 Ｐ， Ａ ， Ｂ三点共线 ， 且 Ｐ在 Ａ ， 之间 ， 所 以ｏ ｐ＝
（ Ｉ Ｕ ）由（Ｉ） 知 Ｄ、 Ｅ、 Ｇ中必有 两点 连线过坐标原 点， 故此 椭圆上不存 在满足条件的三点．
试题 ２ 解析 （Ｉ） ＋Ｙ ＝１ ．
ｍ Ｏ Ａ ＋（ １一ｍ）Ｄ 百（ ０ ＜ｍ ＜ １ ） ， 即 （ ２ ｃ ｏ ｓ Ｏ ， ｓ ｉ ｎ ０ ） ＝ ｍ（ ４ ｃ ｏ ｓ ａ， ２ ｓ ｉ ｎ ａ） ＋ （ １ 一 ｍ） （ ４ ｃ ｏ ｓ Ｂ， ２ ｓ ｉ ） ，
所以 ｃ ｏ ｓ Ｏ：２ ［ ｍ ｃ ｏ ｓ ￣ ＋（ １一ｍ） ｅ ｏ ］，
①
（ Ⅱ ） 设Ａ （ √ ｃ ｏ ｓ ， ｓ ｉ ｎ ａ ） ， 日 （ √ ｃ ｏ ， ｓ ｉ ｎ １ ｆ ）
ｓ ｉ ｎ Ｏ＝２ ［ ｍ ｓ ｉ ｎ ａ＋（ １一ｍ） ｓ ｉ 】，
①② 平方相加得
②
财 ｓ ＝ ｛ ｃ ｏ ｓ ａ ｓ ｉ 一 ｓ ｉ ｎ ｃ 。 ｌ ＝
÷＝ ｍ ＋ （ １ 一 ｍ ） ＋ ２ ｍ （ １ 一 ｍ ） ｃ ｏ ｓ （ 一 Ｊ Ｂ ） （
知 ～ ／ ３ ） ｉ ： ．
ｓ ｉ ｎ （ 一 ／ ３ ） ｊ ＝ ５ － ｓ ｉ 咄
Ｅ （， — ／ Ｙ ｏｓ￣ ＋ （ ｃ ｃ ｏ ｓ ／ ３ ）
—
—
因 为 ｍ ２ ＋ （ １ 一 ≥
＝± ．
２ ｍ（ １一ｍ）≤ ： １
，
＝ ÷ ，
所以Ｃ Ｏ Ｓ （ 一 ）
一
，
Ｐ （
＋２ ｃ ｏ ｓ （ ～ ． Ｂ ） ） ＝４ ．
等
） ， 所 以 ＜ ０ ． 由 ③ ， １ ≥ ÷ ＋ ÷ ｃ 。 ｓ （ 一 卢 ） ， 所 以 ｃ 。 ｓ （ 一 卢 ） 所以ｓ ｉ ｎ （ 一 ／ ３ ） ＝ｌ —ｃ 。 ｓ （ ａ－ ／ ３ ）≤ ３ 所 以 ＝
１
≤ 一
，
，
２ 得ｔ 【 （ ｃ ｏ ｓ ＋ｃ ｏ ） ＋（ ｓ ｉ ｎ ｓ＋ｓ ｉ ｎ １） ｆ 】＝４ ， 即： ｔ ２ （ ２
ｓ ｉ ｎ （ 一 口 ） １ ≤ ， 所以ｓ … ≤２
由（ １ ） Ｓ △ 即 ＝３ Ｓ ， 所 以（ Ｓ △ 即） ＝６ ， ３．
因 为 ｃ 。 ｓ （ 一 卢 ） ： ± ÷ ， 所 以 ￡ ＝ ４ 或 ｆ ＝ 了 ４ ， Ｙ ． Ｉ ￣ Ｉ
为 ． ＞ ０ ， 所 以 ： ２ 或 ： 孳．
２
注 （ １ ）由此 法亦可得 ， 当 Ｐ为Ａ 中点时 Ｊ ｓ 删 的
面积最大． （ ２ ） 山东理科卷 ２ ０题（Ⅱ）同此题 （ Ｉ １ ） ．
作者简介 傅 平修 ， 男， １ ９ ６ ５年 ３月生 ， １ ９ ９ ７年破 格 晋
试题 ３ 解析
（Ｉ）
＋， ， 。 ：１ ．
升为 中学 高级教 师． 全 国 中学生数 学奥林 匹克 优 秀辅 导 员、
省高 中数 学骨干教 师、 市优 秀教 师 、 市教 学能手、 市学科 带头 人． 潜心于教育教 学及教 学研 究三十 余年 ， 主 编 中学 生读 物
（Ⅱ） （ １ ）
＿２ ＿
十余部 ， 在《中学数 学杂 志》 等发表 论文 ３ ０余篇．
２ ０ １ ５年 浙 江 高 考 理 科 压 轴 题 的解 题 分 析
浙 江省桐 乡第二 中学
与往年 一样 ， ２ ０ １ ５年 高考 理科 压轴 题 （ 第２ ０题 ） 仍然延续 了往年的风格 ， 保持对 不等式的考查 ， 不 同的
３ １ ４ ５ １ １
范 广法
（Ｉ）证 明 ： １≤ — ≤ ２ （ ／ ＇ ｔ ∈Ｎ ） ；
ａ ｎ＋ｌ
是今年 的压轴题 以迭 代数列 为背 景 ， 往 年多 以 函数 和
导数 的内容 为依 托． 今 年 的压 轴题构 思更精 巧 ， 设计别
（ Ｉ Ｉ ） 设数列 ｛ 。 ： ｝ 的前 ｎ 项和为ｓ ， 证明
≤ ≤ ．
出心裁 ， 解答长度 大 大缩短 ， 给学 生 更多 的思 维空 间 ，
题 目简 约 不简 单 ．
１
题目 已知数列｛ ｏ ｝ 满足ｏ ＝ ÷ 且ａ ： ｎ 一
／
１ 解题 的“ 切入 点”与“ 突破 口”分析 根据递 推关 系 ， 本题 中的数列 ｛ ａ ｝ 认 为是在 给定
０ ２ （ ｎ ∈ Ｎ ） ．
５ ６
首项 ａ 。 后， 由递推公式 ａ ＝ ， （ ａ ） （ 其 中Ｉ 厂 （ ） ＝ — ）