【高考导航】2018届高三数学理一轮复习第2章第4节二次函数与幂函数


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第二章 函数、导数及其应用

2 3 4 5

主干知识 自主排查 核心考点 互动探究
真题演练 明确考向

第四节 二次函数与幂函数

课时作业

1.掌握二次函数的图象与性质,会求二次函数的最值(值域)、单调区间. 2.了解幂函数的概念. 1 3.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=x 的图象,了解它们的变化情况.

[知识梳理] 1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).

(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)

图象

定义域 值域

(-∞,+∞)
?4ac-b2 ? ? ,+∞? 4 a ? ?

(-∞,+∞)
? 4ac-b2? ?-∞, ? 4a ? ?

b 在 -∞,-2a 上单调
? ? 单调性 递减; b ? ? ,+∞ ?- ? 在 ? 2a ?

? ? ? ?

? ? ? ?

b? -∞,-2a? ? ? 在
单调递增;

? ? ? ?





单调递增 对称性

? b 在 -2a,+∞? ? ?

? ? ? ?

上单调递减 b 函数的图象关于x=-2a对称

2.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,形如

y=xα

的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.

(2)常见的5种幂函数的图象

(3)常见的5种幂函数的性质

[自主诊断] 1 1.(2017· 贵阳模拟)已知幂函数y=f(x)的图象经过点(3, 3),则f(2)=( D ) 1 A.2 C. 2 B.2 2 D. 2

解析:设幂函数的解析式为f(x)=xα,将(3, 3 )代入解析式得3α= 3 ,解得α 1 1 2 =2,∴f(x)=x ,f(2)= 2 ,故选D.

2.(2017· 唐山模拟)如果函数f(x)=x2-ax-3在区间(-∞,4]上单调递减,那 么实数a满足的条件是( A ) A.a≥8 C.a≥4 B.a≤8 D.a≥-4

a a 解析:函数图象的对称轴方程为x=2,由题意得2≥4,解得a≥8.故选A.

? 2? ? 3.(人教A必修1第二章习题改编)已知幂函数y=f(x)的图象过点 2, ? ,则此 2? ?

函数的解析式为________;在区间________上递减.
1 答案:y=x-2 (0,+∞)

考点一

二次函数的图象与性质
1.(1)当ab>0时,函数y=ax2与f(x)=ax+b 在同一坐标系中的图象可能是下列图象中的 ( D )

因为ab>0,所以当a<0,b<0时, 函数y=ax2的图象开口向下,函 数f(x)=ax+b的图象在x,y轴上 的截距均为负值,显然D项满足 条件;而当a>0,b>0时,函数y =ax2的图象开口向上,函数f(x) =ax+b的图象在x轴上的截距为 负值,在y轴上的截距为正值, 没有符合条件的选项,故选D.

即时应用

考点一
(2)(2017· 沧州质检)如果函数f(x)=x2+bx+c 对任意的x都有f(x+1)=f(-x),那么( D ) A.f(-2)<f(0)<f(2)
解决二次函数图象与性质问题的2个 注意点

由f(1+x)=f(-x)知f(x)的图象关

1 于直线 x = (1)抛物线的开口、对称轴位置、定 2 对称,又抛物线f(x)开
义区间三者相互制约.常见的题型中 口向上,∴f(0)<f(2)<f(-2). 这三者有两定一不定,要注意分类讨 论; (2)要注意数形结合思想的应用,尤 其是给定区间上二次函数最值问 题.先“定性”(作草图),再“定 量”(看图求解),事半功倍.

即时应用

B.f(0)<f(-2)<f(2) C.f(2)<f(0)<f(-2) D.f(0)<f(2)<f(-2)

[即时应用 考点一 ]
1.(1)(2017· 武汉模拟)已知函数f(x)=ax2 +2ax+b(1<a<3),且x1<x2,x1+x2=1 -a,则下列说法正确的是( A )

即时应用

A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定

f(x)的对称轴为x=-1,因为1< a<3, 则-2<1-a<0,若x1<x2≤- 1,则x1+x2<-2, 不满足x1+x2=1-a且-2<1- a<0;若x1<-1,x2≥-1时, |x2+1|-|-1-x1|=x2+1+1+x1 =x1+x2+2=3-a>0(1<a< 3), 此时x2到对称轴的距离大,所以 f(x2)>f(x1); 若-1≤x1<x2,则此时x1+x2> -2,又因为f(x)在[-1,+∞) 上为增函数,所以 f(x )<f(x ).

[即时应用 考点一 ]
(2)设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间 [0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m 的取值范围是( D )

二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区 间[0,1]上单调递减,则a≠0, f′(x)=2a(x-1)<0,x∈[0,1], 所以a>0,即函数的图象开口 向上,又因为对称轴是直线 x=1. 所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0) 时,有0≤m≤2.

即时应用

? A.? ?-∞,0?

B.[2,+∞) C.(-∞,0]∪[2,+∞) D.[0,2]

考点二

二次函数的最值问题
∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1, ∴对称轴为直线x=1, ∵x=1不一定在区间[-2,a]内, ∴应进行讨论. 当-2<a≤1时,函数在[-2,a]上 单调递减,则当x=a时,y取得最小 值,即ymin=a2-2a; 当a>1时,函数在[-2,1]上单调递 减,在[1,a]上单调递增,则当x= 1时,y取得最小值,即ymin=-1. 综上,g(a)= ?a2-2a,-2<a≤1, ? ?-1,a>1.

2.设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为 g(a),求g(a).

考点二
变式点1

二次函数的最值问题
若将条件变为“y=x2-ax,x∈[-
a a ∵x对称轴=2,∴①当2≤-2,即a≤-4时, 此时在[-2,2]上单调递增,故当x=-2时, ymin=g(a)=4+2a. a ②当2≥2,即a≥4时, 此时在[-2,2]上单调递减,∴当x=2时, ymin=g(2)=4-2a. a ③当-2<2<2,即-4<a<4时, a 函数在x=2时取得最小值. a a2 即ymin=g(2)=- 4 . 4+2a,a≤-4, ? ? a 综上,g(a)=?- 4 ,-4<a<4, ? ?4-2a,a≥4.
2

2,2]”,问题不变.

考点二
变式点2

二次函数的最值问题
若条件变为“y=ax2
1?2 1 1. x - f(x)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间 = a? ? a? - . a ①当a=0时,f(x)=-2x在[0,1]上递减, 定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关 ∴f(x)min=f(1)=-2. 1 1 键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对 ②当a>0时,函数f(x)的图象的开口方向向上,且对称轴为x= .当 a a ? 1? ? 称轴与区间的关系进行分类讨论. 0 , ≤1,即a≥1时,函数f(x)图象的对称轴在[0,1]内,∴f(x)在 ? 上递 ? a? ? ? ?1 ? ?1? 1 1 ? ? ? ? 2. 二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称 , 1 减,在 上递增.∴ f ( x ) = f min ?a ? ?a? =- a .当 a >1,即0<a<1时,函数 ? ? ? ? f(x)的图象的对称轴在[0,1]的右侧,∴f(x)在[0,1]上递减.∴f(x)min=f(1) 轴进行分析讨论求解. =a-2. 1 ③当a<0时,函数f(x)的图象的开口方向向下,且对称轴x= <0,在y轴 a 的左侧,∴f(x)在[0,1]上递减. ∴f(x)min=f(1)=a-2.
? ? ? ?

-2x,x∈[0,1]”,问题不变.

a-2,a<1, ? ? 综上所述,g(a)=? 1 ? ?-a,a≥1.

考点三

幂函数的图象和性质
3.(1)(2017· 江南七校联考)已知幂函数f(x) =(n2+2n-2)· xn2-3n(n∈Z)的图象关于y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n

(1)由于f(x)为幂函数,所以n2+ 2n-2=1,解得n=1或n=- 3,当n=1时,函数f(x)=x-2为 偶函数,其图象关于y轴对称, 且f(x)在(0,+∞)上是减函数, 所以n=1满足题意;当n=-3 时,函数f(x)=x18为偶函数,其 图象关于y轴对称,而f(x)在(0, +∞)上是增函数,所以n=-3 不满足题意,舍去.故选B.

即时应用

的值为( B ) A.-3 C.2 B.1 D.1或2

考点三
(2)1.1 ,0.9 ,1的大小关系为
1.可以借助幂函数的图象理解 (2)把1看作1 ,幂函数y=x 在 函数的对称性、单调性; (0,+∞)上是增函数. 2.在比较幂值的大小时,必须 ∵0<0.9<1<1.1,∴0.9 <1 结合幂值的特点,选择适当的

0.9 <1<1.1 _________________ .

即时应用

<1.1 . 函数,借助其单调性进行比 即0.9 <1<1.1 . 较,准确掌握各个幂函数的图
象和性质是解题的关键.

考点三
2.(1)(2017· 烟台三中模拟)若(a+1) <(3
2? -1,3? ? -2a) ,则实数a的取值范围是_______ ?.
? ? ? ?

(1)易知函数y=x 的定义域为 [0,+∞),在定义域内为增函 a+1≥0, ? ? 数,所以?3-2a≥0, ? ?a+1<3-2a, 2 解得-1≤a<3.

即时应用

考点三
2 ? ?x,x≥2, (2)已知函数f(x)= ? 若关 3 ? ??x-1? ,x<2,

(2)作出函数y=f(x)的图象如 图.则当0<k<1时,关于x的方 程f(x)=k有两个不同的实根.

即时应用

于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则

(0,1) . 实数k的取值范围是________

常考幂函数的图象与性质,二次函数的图象与性质以及二次函数的应用.题型 多以选择、填空题为主,二次函数的应用有时也会在解答题中考查,难度中 档. 1.(2016· 高考全国Ⅲ卷)已知a=2 ,b=4 ,c=25 ,则( A ) A.b<a<c C.b<c<a B.a<b<c D.c<a<b

解析:因为a=2 ,b=4 =2 ,由函数y=2x在R上为增函数知b<a;又因为a= 2 =4 ,c=25 =5 ,由函数y=x 在(0,+∞)上为增函数知a<c.综上得b<a<c. 故选A.

2.(2016· 高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2- 2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),?,(xm,ym),则 ?xi=( B )
i=1 m

A.0 C.2m

B.m D.4m

解析:根据函数y=f(x)与y=|x2-2x-3|的图象都关于直线x=1对称求解. ∵f(x)=f(2-x),∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称. 又y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图象关于直线x=1对称,∴两函数图象的交点 关于直线x=1对称. m 当m为偶数时, ?xi=2× 2 =m;
m i=1

m-1 当m为奇数时, ?xi=2× 2 +1=m.故选B.
m i=1

3.(2013· 高考辽宁卷)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x- a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q 中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的 最大值为B,则A-B=( C ) A.a2-2a-16 C.-16 B.a2+2a-16 D.16

解析:f(x)=g(x),即x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8,即x2-2ax+a2 -4=0,解得x=a+2或x=a-2.f(x)与g(x)的图象如图.

由图及H1(x)的定义知H1(x)的最小值是f(a+2),H2(x)的最大值为g(a-2),A-B =f(a+2)-g(a-2)=(a+2)2-2(a+2)2+a2+(a-2)2-2(a-2)2+a2-8=-16.

4.(2015· 高考福建卷)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的 零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等
9 比数列,则p+q的值等于__________ .

解析:因为a,b为函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,所以
2 p -4q>0, ? ? ?a+b=p, ? ?ab=q.

所以a>0,b>0,所以数列a,-2,b不可能成等差数列,数

列a,b,-2不可能成等比数列,数列-2,a,b不可能成等比数列.不妨取a >b,则只需研究数列a,b,-2成等差数列,数列a,-2,b成等比数列,则
?a-2=2b, ?a=4, ?a=-2, ?p=5, 有? 解得 ? 或? (舍去),所以 ? 所以p+q ab = 4 , b = 1 b =- 2 q = 4 , ? ? ? ?

=9.

5.(2015· 高考湖北卷改编)a为实数,函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值 记为g(a).当a为何值时,g(a)的值最小?

a 2 a2 a 解析:f(x)=|(x- 2 ) - 4 |,其在区间[0,1]上的最大值必在x=0,x=1,x= 2 a a2 处产生,即g(a)=max{f(0),f(1),f( 2 )}=max{0,|1-a|, 4 }=max{|1-a|, a2 a2 4 },在同一坐标系中分别画出y=|1-a|,y= 4 的图象(图略)可知,在两图象 a2 的交点处,g(a)取得最小值,此时1-a= 4 ,则a=2 2-2(-2-2 2舍去).


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