高考数学二轮复习 第一部分 专题二 三角函数、解三角形、平面向量 第二讲 三角恒等变换与解三角形课件 文


第 一 部 分

知识专题部分

专 题 二

三角函数、 解三角形、平面向量

第二讲

三角恒等变换与解三角形 (选择、填空、解答题型)

———————————名师指南—————————— [核心考点] 三角恒等变换与求值、正弦定理、余弦定理. [高考解密] 1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用,常 和同角三角函数的关系、诱导公式结合. 2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形 状、求值等,经常和三角恒等变换结合进行综合考查.

重点透析 难点突破

考向一 三角恒等变换与求值 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α± β)=sin αcos β± cos αsin β. (2)cos(α± β)=cos αcos β?sin αsin β. tan α± tan β (3)tan(α± β)= . 1?tan αtan β

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α. (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 2tan α (3)tan 2α= . 1-tan 2α

要辩证地看待和角与差角, 根据需要, 可以进行适当的变换: α=(α+β)-β,α=(α- β)+β,2α=(α+β)+(α- β),2α=(α+β) -(β-α)等.

1 1 (1)(2015· 重庆卷)若 tan α=3,tan(α+β)=2,则 tan β=( 1 A.7 5 C.7 1 B.6 5 D.6
?π ? 1 sin?6-α?=3, 则 ? ?

)

(2)(2015· 济南一模)若

2π cos ( 3 +2α) =(

)

7 7 2 2 A.-9 B.9 C.-9 D.9

[思路引导]

π π (1)直接利用公式求解;(2)借助(6-α)+(3+

π π 2π α)=2,求得 cos(3+α) ,再利用二倍角公式求出 cos( 3 +2α).

1 tan α+tan β 3+tan β 1 [解析] (1)tan(α+β)= = =2,解得 tan 1 1-tan αtan β 1-3tan β 1 β=7.
?π ?π ?? 1 ?π ? 1 (2)∵sin?6-α?=3,∴sin?2-?3+α??=3, ? ?? ? ? ?

?π ? 1 ∴cos?3+α?=3, ? ? ?2π ? ? ? 1 2 π ? ? ? ? ∴cos 3 +2α =2cos 3+α -1=2×9-1 ? ? ? ?

7 =-9,选 A.

[答案] (1)A (2)A

[探究追问]

将例

?π ? 1 ?π ? 1(2)中“sin?6-α?=3”更改为“cos?6-α? ? ? ? ?

1 =3”,如何求解?

[解析]

?π ?π ?π ? 1 ?? 1 ?π ? ? ? ? ? ?? ? ∵cos?6-α?= ,∴cos? -?3+α??= ,∴sin?3+α? ?= 3 2 3 ? ? ? ?? ? ? ?

?2π ? ? ? 1 1 7 ? ? ? 2?π ,∴cos? 3 +2α?=1-2sin ?3+α?=1-2× = ,故选 B. 3 9 9 ? ? ? ?

[答案] B

(1)化简求值的方法与思路 三角函数式的化简求值可以采用 “切化弦 ”“弦化切 ” 来 减少函数的种类, 做到三角函数名称的统一, 通过三角恒等变换, 化繁为简, 便于化简求值, 其基本思路为: 找差异, 化同名(同角), 化简求值.

(2)解决条件求值应关注的三点 ①分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角来表示 未知角. ②正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三 角函数值来表示. ③求解三角函数中给值求角的问题时,要根据已知求这个角 的某种三角函数值,然后结合角的取值范围,求出角的大小.

[举一反三]
? π? 1 2? 1.(2015· 大连模拟)已知 sin 2α= ,则 cos ?α-4? ?=( 3 ? ?

)

1 A.- 3 1 C. 3

2 B.- 3 2 D. 3

[解析] cos
2?

∵ cos

2?

? π? ? α - ? 4? ? ?



? π? ? 1+cos?2α-2? ? ? ?

2

1+sin 2α = ,∴ 2

? π? ? 2 α - = ,故选 ? 4? ? ? 3

D.

[答案] D

2 . (2015· 洛阳模拟)若 2sin2α+sin 2α ? ? =( π ? α - cos? ? 4? ? ? 2 5 A.- 5 3 5 C.- 10 ) 3 5 B. 10 2 5 D. 5

? π? 1 π ? ? tan ?α+4? = , 且 - <α<0 , 则 2 2 ? ?

[解析] 由

? π? ? ? tan α+1 1 tan?α+4?= = ,得 ? ? 1-tan α 2

1 tan α=- . 3

π 10 又- <α<0,所以 sin α=- . 2 10 2sin2α+sin 2α 2sin α?sin α+cos α? 2 5 故 =2 2sin α=- , 故 ? ? = 5 π 2 ? α - cos? ?sin α+cos α? ? 4? 2 ? ? 选 A.
[答案] A

11 4 3 3.(2015· 太原模拟)若 cos(2α-β)=- ,sin(α-2β)= , 14 7 π π 0<β< <α< ,则 α+β 的值为________. 4 2

11 π [解析] ∵cos(2α-β)=- 且 <2α-β<π, 14 4 5 3 ∴sin(2α-β)= . 14 4 3 π π ∵sin(α-2β)= 且- <α-2β< , 7 4 2 1 ∴cos(α-2β)= . 7 ∴cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)] =cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)· sin(α-2β) 11 1 5 3 4 3 1 =- × + × = . 14 7 14 7 2

π 3π ∵4<α+β< 4 , π ∴α+β=3.

π [答案] 3

考向二 利用正、余弦定理解三角形 1.正弦定理 a b c = = =2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). sin A sin B sin C 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. a b c sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

2.余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. b2+c2-a2 a2+c2-b2 推 论 : cos A = , cos B = , cos C = 2bc 2ac a2+b2-c2 . 2ab 变形:b2+c2-a2=2bccos A,a2+c2-b2=2accos B,a2+b2 -c2=2abcos C.

3.面积公式 1 1 1 S△ABC= bcsin A= acsin B= absin C. 2 2 2

当用正、余弦定理判断三角形形状时,特别注意当转化为角 来解决时,不要忽视角的范围.

(2015· 新课标全国卷Ⅰ)已知 a, b, c 分别为△ABC 内角 A, B, C 的对边,sin2B=2sin Asin C. (1)若 a=b,求 cos B; (2)设 B=90° ,且 a= 2,求△ABC 的面积. [思路引导] 求解第(1)问时,首先由正弦定理将角化边,即

b2=2ac,再与 a=b 结合,用 c 表示 a,b,然后用余弦定理求解; 求解第(2)问时,先利用勾股定理求出 a,c,再利用三角形面积公 式求解.

[解] (1)由题设及正弦定理可得 b2=2ac. 又 a=b,可得 b=2c,a=2c. a2+c2-b2 1 由余弦定理可得 cos B= 2ac =4. (2)由(1)知 b2=2ac. 因为 B=90° ,由勾股定理得 a2+c2=b2. 故 a2+c2=2ac,得 c=a= 2. 所以△ABC 的面积为 1.

解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定 理,要适时、适度进行“角化边”或“边化角”.

[举一反三] (2015· 甘肃兰州诊断)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别 a c 为 a、b、c,已知 = . 3cos A sin C (1)求 A 的大小; (2)若 a=6,求 b+c 的取值范围.

[解]

a c a (1)∵ = = , 3cos A sin C sin A

∴ 3cos A=sin A,∴tan A= 3, π ∵0<A<π,∴A= . 3 a b c 6 (2)∵ = = = =4 3, sin A sin B sin C π sin 3 ∴b=4 3sin B,c=4 3sin C, ∴b+c=4 3sin B+4 3sin C

=4 3[sin B+sin(π-A-B)] =4
? 3? ?sin ? ?π ?? ? ? B+sin?3+B? ?? ? ??

? π? ? =12sin?B+6? ?, ? ? ? π? π π 5π ? ∵ <B+ < ,∴6<12sin?B+6? ?≤12, 6 6 6 ? ?

即:b+c∈(6,12].

考向三 正、余弦定理的实际应用 解决三角函数的实际问题的关键是在弄清题意的基础上,画 出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用 正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问 题的解.

准确理解方位角、 仰角、 俯角等角的概念是解决问题的关键.

(1)(2014· 浙江卷)如图, 某人在垂直水平地面 ABC 的墙面前的 点 A 处进行射击训练. 已知点 A 到墙面的距离为 AB, 某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确瞄准目标点 P,需计算 由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小(仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成角).若 AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30° ,则 tan θ 的最 大值是( )

30 A. 5 4 3 C. 9

30 B. 10 5 3 D. 9

(2)(2015· 湖北卷)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西 行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30° 的方向上, 行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75° 的方向上,仰 角为 30° ,则此山的高度 CD=________m.

[思路引导]

(1)先求 cos∠ACB,再确定 tan θ 和 PH 的函数

关系式;(2)求出∠ACB,利用正弦定理求出 BC,在 Rt△BCD 中 求出 CD.

[解析] (1)由题意,在△ABC 中, AB 15 3 sin∠ACB= = = , AC 25 5 4 则 cos∠ACB= . 5 作 PH⊥BC,垂足为 H,连接 AH,如图所示. 设 PH=x,则 CH= 3x,在△ACH 中,

由余弦定理得 AH= AC2+CH2-2AC· CH· cos∠ACB = 625+3x2-40 3x, PH tan∠PAH= = AH
?1 ? 1 ? ? >0 ? x ?, ? 625 40 3 ? - +3 x2 x

1 4 3 5 3 故当 = 时,最大值为 ,故选 D. x 125 9

(2)依题意,∠BAC=30° ,∠ABC=105° .在△ABC 中,由∠ ABC+∠BAC+∠ACB=180° ,所以∠ACB=45° ,因为 AB=600 600 BC m,由正弦定理可得 = ,即 BC=300 2 m.在 Rt△ sin 45° sin 30° CD BCD 中,因为∠CBD=30° ,BC=300 2 m,所以 tan 30° = = BC CD ,所以 CD=100 6 m. 300 2
[答案] (1)D (2)100 6

解三角形中的实际问题四步骤 (1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解 题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等; (2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求题的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运 用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解; (4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得 出正确答案.

[举一反三] 1.在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30° , 测得湖中之影的俯角为 45° ,则云距湖面的高度为 (精确到 0.1 m)( ) A.2.7 m C.37.3 m B.17.3 m D.373 m

[解析]

依题意画出示意图,

CM-10 CM+10 则 = , tan 30° tan 45° tan 45° +tan 30° ∴CM= ×10≈37.3(m),故选 C. tan 45° -tan 30°

[答案] C

2.(2014· 四川卷)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两 岸 B,C 的俯角分别为 67° ,30° ,此时气球的高是 46 m,则河流 的宽度 BC 约等于________m . (用四舍五入法将结果精确到个 位.参考数据:sin 67° ≈0.92,cos 67° ≈0.39,sin 37° ≈0.60,cos 37° ≈0.80, 3≈1.73)

[解析] 如图所示,过 A 作 AD⊥CB 且交 CB 的延长线于 D.

在 Rt△ADC 中,由 AD=46 m,∠ACB=30° ,得 AC=92 m. 在△ABC 中,∠BAC=67° -30° =37° ,∠ABC=180° -67° =113° ,AC=92 m,

AC BC 92 BC 由正弦定理 = ,得 = ,即 sin 113° sin 37° sin∠ABC sin∠BAC 92 BC 92sin 37° = ,解得 BC= ≈60 m. sin 67° sin 37° sin 67°

[答案] 60

3.如图所示,位于东海某岛的雷达观测站 A,发现其北偏东 45° , 与观测站 A 距离 20 2海里的 B 处有一货船正匀速直线行驶, 半小时后,又测得该货船位于观测站 A 东偏北 θ(0° <θ<45° )的 C 4 处,且 cos θ= .已知 A、C 两处的距离为 10 海里,则该货船的船 5 速为________海里/小时.

4 3 [解析] 因为 cos θ= ,0° <θ<45° ,所以 sin θ= , 5 5 2 4 2 3 7 2 cos(45° -θ)= × + × = ,在△ABC 中,BC2=800 2 5 2 5 10 7 2 +100-2×20 2×10× =340,所以 BC=2 85,该货船的船 10 速为 4 85海里/小时.

[答案] 4 85

名师微课 建模培优

热点 8

利用正、余弦定理解三角形问题

(2015· 西安五校联考)已知在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所 3cb 对的边分别为 a,b,c,且 tan A= 2 2 2. c +b -a (1)求角 A 的大小; (2)当 a= 3时,求 c2+b2 的最大值,并判断此时△ABC 的 形状.

[审题程序] 第一步:利用余弦定理化简条件等式; 第二步:由正弦定理把 b,c 用角 B 的三角函数表示; 第三步:把 c2+b2 表示为角 B 的三角函数; 第四步:得出结果.

[规范解答]

(1)由已知及余弦定理,

sin A 3cb 得 = ,① cos A 2cbcos A 3 sin A= ,② 2 因为 A 为锐角,所以 A=60° .③ a b c 3 (2)解法一:由正弦定理,得 = = = =2,④ sin A sin B sin C 3 2

所以 b=2sin B,c=2sin C=2sin(120° -B). c2+b2=4[sin2B+sin2(120° -B)]
?1-cos =4? ? 2 ?

2B 1-cos?240° -2B?? ? + ? 2 ?
?? 1? 3 ? 1 ? 2B- ?- cos 2B- sin 2B? ?? 2? 2 2 ??

? 1 ? =4?1- cos 2 ?

=4-cos 2B+ 3sin 2B =4+2sin(2B-30° ).⑤
? <B<90° , ?0° ? 由 ? <120° -B<90° ?0°

, 得 30° <B<90°, 所 以 30° <2B -

30° <150° ,

当 sin(2B-30° )=1,即 B=60° 时,(c2+b2)max=6, 此时 C=60° ,△ABC 为等边三角形.⑥ 解法二:由余弦定理得( 3)2=b2+c2-2bccos 60° =b2+c2- bc=3. b2+c2 ∵bc≤ (当且仅当 b=c 时取等号), 2 b2+c2 ∴3≥ ,即 b2+c2≤6(当且仅当 b=c 时取等号). 2 故 c2+b2 的最大值为 6,此时△ABC 为等边三角形.

[模型构建] 解决此类问题的模型示意图如下:

[感悟体验] (2015· 贵阳期末)如图所示, 在四边形 ABCD 中, ∠D=2∠B, 3 且 AD=1,CD=3,cos B= . 3

(1)求△ACD 的面积; (2)若 BC=2 3,求 AB 的长.

[解]

3 (1)因为∠D=2∠B,cos B= , 3
2

1 所以 cos D=cos 2B=2cos B-1=- . 3 2 2 因为∠D∈(0,π),所以 sin D= 1-cos D= . 3
2

因为 AD=1,CD=3, 1 1 2 2 所以△ACD 的面积 S= AD· CD· sin D= ×1×3× = 2. 2 2 3

(2)在△ACD 中,AC2=AD2+DC2-2AD· DC· cos D=12, 所以 AC=2 3. 因为 BC=2 3,所以∠B=∠BAC, AC AB 因为 = , sin B sin∠ACB 2 3 AB AB AB AB 所以 = = = = , sin B sin?π-2∠B? sin 2B 2sin Bcos B 2 3 sin B 3 所以 AB=4.


相关文档

更多相关文档

2016届高考数学二轮复习 高考大题专讲2 三角函数与解三角形课件 文
【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形课件 文
高一年段数学培优教材第六讲 三角恒等变换
2016高考数学理科二轮复习课件:专题2第二讲 三角变换与解三角形
高一数学培优教材(1-6)教案新人教版
电脑版