2013届马鞍山中加双语学校高三12月月中考试理科数学


数学试题(理)
(满分 150 分,考试时间 120 分钟)

第Ⅰ卷 选择题(60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)
1.复数 Z ?
5i 2?i ? (3 ? i ) 在复平面内的对应点位于





A.第一象限 C.第三象限

B.第二象限 D.第四象限

2 2.集合 M ? ?? 1, 0 , 4 ?, 集合 N ? ?x x ? 2 x ? 3 ? 0 , x ? N ? ,

全集 U=R,则图中阴影部分表示的集合是( A.{4} B.{4,—1} C.{4,5} D.{—1,0} 3.下列命题: ① ? x ? R , 不等式 x ? 2 x ? 4 x ? 3 成立;
2



②若 lo g 2 x ? lo g x 2 ? 2 ,则 x>1; ③命题“ 若 a ? b ? 0 且 c ? 0 , 则
2

c a

?

c b

”的逆否命题;
2

④若命题 p: ? x ? R , x ? 1 ? 1 ,命题 q: ? x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 ,则命题 p ? ? q 是真命题. 其中真命题只有 A.①②③ B.①②④ C.①③④ 4.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是( ) A.2010 B.—1 C.
1 2

( D.②③④



D.2 5.从四棱锥 S—ABCD 的八条棱中任取两条,其中抽到两 条棱成异面直线的概率为 ( ) A. C.
1 7 2 7

B. D.

1 2 4 7

6.已知某一几何体的正视图与侧视图如图,则在下列图形 中,可以是该几何体的俯视图的图形有 ( )

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A.①②③⑤ 7.函数 f ( x ) ? ? A.0

B.②③④⑤
2

C.①②④⑤ 的零点个数是 C.2

D.①②③④ ( D.3
2 2

? ln x ? x ? 2 x ?2x ? 1 ( x ? 0)

( x ? 0)



B.1

8.中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线 C 的两条渐近线与圆 ? x ? 2 ? ? y C 的离心率是 A. 3 或
6 2

? 1 都相切,则双曲线

) B. 2 或 3 C.
2 3 3 或2

D.

2 3 3



6 2

9.如图,△ABC 中,AD=2DB,AE=3EC,CD 与 BE 交于 F,设 A B ? a , A C ? b , A F ? xa ? yb , 则 ( x , y ) 为 A. ( , )
3 2 1 1
??? ? ???? ????

( B. ( , )
4 3 1 1 2



C. ( , )
7 7
x
3

3 3

D. ( ,
1 2

9

)

5 20
? a x ? 2 b x ? c 的两个极值分别为 f ( x1 ), f ( x 2 ), 若 x1 , x 2 分别在区间(0,
2

10.已知函数 f ( x ) ?

3

1)与(1,2)内,则 A.(一 1,一 C.(
1 4 ,1 ) 1 4

b ? 2 a ?1

的取值范围是 B.(—∞, D.(
2 4 1 4 ,2 )

( )∪(1,+∞)





二、填空题(本大题共 5 题,每小题 5 分,共 25 分;把答案填在题中横线上)
11.已知圆的极坐标方程为 ? ? 2 co s ? ,则该圆的圆心到直线 ? sin ? ? 2 ? co s ? ? 1 的距离是 ____________.

12.当 x ? 1 时,直线 y ? a x ? a 恒 在 抛 物 线 y = x 的 下 方 , 则 a 的取值范围是
2



13.定义一种运算: ( a1 , a 2 ) ? ( a 3 , a 4 ) ? a1 a 4 ? a 2 a 3 ,将函数

f ( x ) ? ( 3 , 2 sin x ) ? (co s x , co s 2 x )

的 图 象 向 左 平 移 n ( n>0 ) 个 单 位 , 所 得 图 象 对 应 的 函 数 为 偶 函 数 , 则 n 的 最 小 值 为 。

第 2 页 共 5 页

?x ?1 ? 0 ? 14. 已知实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 1 ? 0 , z ? y ? a x , 若使 z 取得最大值的有序数对 ( x , y ) 有无数 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?

多个,则 a ? ____________. 15.在三棱锥 T—ABC 中,TA,TB,TC 两两垂直,T 在 底面 ABC 上的正投影为 D,下列命题: ①TA⊥BC,TB⊥AC,TC⊥AB; ②△ABC 是锐角三角形; ③
1 TD
2
2

?

1 TA
2

?
2

1 TB
2

?
2

1 TC
2


2

④ S ?ABC ?

1 3

( S ? T A B ? S ? T B C ? S ? T A C ) (注:S△ABC 表示△ABC 的面积)

其中正确的是 (写出所有正确命题的编号)。 三:解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分) 16、 (本小题 12 分)已知△ABC 的面积是 3 ,角 A、B、C 所对的边分别是 a、 b 、 c ,且
s i n C ? s i n A ? s i n B ? s i nA s i n B
2 2 2

(Ⅰ)求角 C;

(Ⅱ)若△ABC 的外接圆半径是 2 时,求 a ? b 的值。

17、 (本小题 12 分)如图,四棱台 ABCD— A1 B1C 1 D 1 的直观图和三视图,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ? B A D ? 6 0 , A1 A ? D 1 D ? A1 D 1 ? 1 ,M、N 分别为 A1 D 1 、AD 的中点。
0

(Ⅰ)由三视图判断平面 A A1 D 1 D 与平面 ABCD 的位置关系(只需作出判断) (Ⅱ)求证:BC ? 平面 M N B B1 , (Ⅲ)求二面角 A1 ? A B ? D 的正切值。 D1 M A1 D N A 主视方向平行于 AD B
俯视图

正(主)视图

侧(左)试图

C1 B1 C

18、 (本小题 12 分) “5、12”汶川地震后,为支持灾区教育,某市有甲、乙、丙等六名教师志愿者, 被随机地分到灾区 A、B、C、D、E 五个不同的乡镇执教,且每个乡镇至少有一名教师。
第 3 页 共 5 页

(Ⅰ)求甲、乙两位教师同时分到 A 乡镇的概率; (Ⅱ)求甲、乙两位教师不在同一个乡镇的概率; (Ⅲ)设随机变量 ? 为这六名教师中分到 A 镇的人数,求 ? 的分布列。

19、 (本小题 12 分)已知中心在原点的椭圆 C 的一个焦点 F(4、0) ,长轴端点到较近焦点的距离为 1, A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), ( x1 ? x 2 ) 为椭圆上不同的两点。 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若 x1 ? x 2 ? 8 ,在 x 轴上是否在存在一点 D,使 | D A | ? | D B | ,若存在,求出 D 点的坐标; 若不存在说明理由。
??? ? ????

开始

20、 (本小题 12 分)已知数列 { a n } 满足右图所示的流程图 (Ⅰ)写出数列 { a n } 的一个递推关系式;

输入 n

a1 ? 1, a 2 ? 1, i ? 1

(Ⅱ)证明: { a n ? 1 ? 3 a n } 是等比数列;并求出 { a n } 的通项公式;
a n ? 2 ? 5 a n ?1 ? 6 a n

i ? i ?1


(Ⅲ)求数列 { n ( a n ? 3

n ?1

)} 的前 n 项和 T n

i? n


输出 a n ? 1

结束

21、 (本小题 14 分)设函数 f ( x ) ? x ? a ( x ? 1) ln ( x ? 1), ( x ? ? 1, a ? 0 ) (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 1 时,若方程 f ( x ) ? t 在 [ ?
n

1 2

,1] 上有两个实数解,求实数 t 的取值范围;
m

(Ⅲ)证明:当 m>n>0 时, (1 ? m ) ? (1 ? n ) 。

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