直线与平面垂直的判定及其性质


2.3.1直线与平面垂直的判定

实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的 实例

旗杆与地面垂直

实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的 实例

大桥的桥柱与水面垂直

一条直线与一个平面垂直的意 A 义是什么?

α

B

旗杆AB所在直线与地面内任意一条过点 直线垂直于平面内的 B的直线垂直. 与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也 任意一条直线. 垂直.

直线与平面垂直

如果直线 l 与平面? 内的任意 一条直线都垂直,我们说直线 l 与 平面 互相垂直, 记作 l ? ? . 平面 的垂线 ? 垂足 l 直线 l 的垂面

?

?

P

1: 2. a ? ? , b ? ? ? a ? b

思考:

( ) ?

直线 l 垂直于平面α ,则直线 l 垂直于平面α中的任意一条直线
线线垂直
性质定理

线面垂直

2.如果一条直线 l 和一个平面内的无数 条直线都垂直,则直线 l 和平面 α互 相垂直( ? )C l B ?

直线与平面垂直

除定义外,如何判定一条直线与平面 垂直呢? A A
如图,准备一块三角形的纸片,做一个试
A A
P

验:

?
B
D

C

D
D

? B D B 过 ?ABC 的顶点A翻折纸片,得到折 当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时, ? 痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 AD所在直线与桌面所在平面 垂直. (BD,DC于桌面接触)
C l C

?

C

B

直线与平面垂直判定定理

一条直线与一个平面内的两条相交直 线都垂直,则该直线与此平面垂直. l

l?a l ?b a ?? b ?? a ?b ? A

线线垂直

? ? ? ? ?? l ?? ? ? ? 判定定理

b
A

a

线面垂直

例1 如图,已知 a // b, a ? ? ,求证b ? ? . 证明:在平面
因为直线

a ? ?,

? 内作 两条相交直线m,n.
a
b
m

根据直线与平面垂直的定 义知 a ? m, a ? n.

?

n

又因为

b // a 又 m ? ? , n ? ? , m, n 所以 b ? ? .

所以

b ? m, b ? n.

是两条相交直线,

? ?

例2:课本67页练习1 练习:探究

斜线



垂线

第2个空 间角

平面的一条斜线和它 A ? O 在平面内的射影所成的锐 ? 角,叫做这条直线和这个 斜线在平面上的射影 平面所成的角
一条直线垂直于平面,它们所成的角是直 角条直线和平面平行,或在平面内, 一 它们所成的角是0 ?的角

直线和平面所成角的范围是[0?,90?]

斜线

?



垂线
O a

找垂线
得射影
C1
B1 C
1

斜线在平面上的射影1
D A1
1

分别指出对角 D 线A1C与六个面 所成的角. A

B

例3 在正方体ABCD—A1B1C1D1 中, 求:直线A1B与平面A1B1CD所成的角
D1
A1
Q

C1 B1
P

D1
A1

C1 B1 F

D
1

C A

D
O

C
E B
1

A

变:1)求直线AC与平面A1B1CD所成的角 (2)E,F分别是BC,CC1的中点,求EF 与面ACC1A1所成的角.

B

过ΔABC所在平面α外一点P,作PO ⊥α,垂足 为O,连接PA,PB,PC. 1).若PA = PB = PC,则O是ΔABC的_____心. 2).若PA = PB = PC,∠C = 90 ,则O是AB边的__点. *3).若PA ⊥ PB,PB ⊥ PC,PC ⊥ PA,则O是ΔABC 的_____心.
0

如果已知一直线垂直于一平面,你能得 到一些什么结论? 如果两条直线都垂直于一个平面呢?

直线与平面垂直的性质定理 如果两条直线同时垂直于一个平面,那么

这两条直线平行。

a

b

?

知识小结
1.直线与平面垂直的概念 2.直线与平面垂直的判定、性质

线线垂直

线面垂直

3.数学思想方法:转化的思想 空间问题

平面问题


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