金山中学2011届高三上学期期末考试文科数学试题


金山中学 2011 届高三上学期期末考试文科数学试题
一、选择题(以下题目从 4 项答案中选出一项,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知 sin( A. ?
3 5

?
2

??) ?

3 5

,则 cos ? 的值是
3 5


4 5
2



B. ?

C.

D.

3 5

2.已知集合 M ? { x | ? 4 ? x ? 7 }, N ? { x | x ? x ? 6 ? 0}, 则 M ? N 为 ( A. { x | ? 4 ? x ? ? 2 或 3 ? x ? 7 } C. { x | x ? ? 2 或 x ? 3}



B. { x | ? 4 ? x ? ? 2 或 3 ? x ? 7 } D. { x | x ? ? 2 或 x ? 3} ( ) D.既非充分又非必要条件 ( )

3.在 ? ABC 中, AB ? AC ? 0 ”是“ ? ABC 为锐角三角形”的 “ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 4.已知等比数列 { a n } 满足 a1 ? a 2 ? 3, a 2 ? a 3 ? 6 ,则 a 7 ? A.64 B.81 C.128 D.243
? ? ? ? 5.设向量 a与 b 的模分别为 6 和 5,夹角为 1 2 0 ? ,则 | a ? b | 等于





A.

2 3

B. ?

2 3

C. 9 1

D. 3 1

c * 6 . 数 列 { a n } 中 , a n ? 2 n ? 3 , 前 n 项 和 S n ? a n2 ? b n ? ( n? N ) , a 、 b 、 c 为 常 数 , 则 a-b+c=



)A. ? 3

B. ? 4

C. ? 5
x

D. ? 6 )

7.设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 2 ? 2 x ? b ( b为 常 数 ),则 f ( ? 1) ? ( A.-3 8.已知 f ( x ) ? cos( A. π 6 B.-1
3x ? ? ) ? 3 sin(

C.1 π C.- 6
?a, ?b,

D.3 ) π 3
l2 o gx 则 函 数 ,

3 x ? ? ) 为偶函数,则 ? 可以取的一个值为(

B.

π 3

D.-
a? b , a ?b .

{ } 9 . 对 于 任 意 实 数 a , b , 定 义 m i n a b, ? ?

? 设 函 数 f ( x ) ? ? x ? 3 , g (x )

h( x)? m i n { f

x )g, x(的最大值是 ( )}

( C. 2 D. 3
x



A. 0

B. 1

10. 已知 f ( x ) 为偶函数,且 f (1 ? x ) ? f (3 ? x ), 当 ? 2 ? x ? 0时 , f ( x ) ? 3 ,若 n ? N , a n ? f ( n ), 则 a 2 0 1 1 ?
*



)A. ?

1 3

B.

1 3

C. ? 3

D. 3

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

11.已知平面向量 a ? (1, 2 ), b ? ( ? 2 , m ) ,且 a ∥ b ,则 2 a ? 3 b =

. .

12.在 ? A B C 中, a , , 分别为角 A ,B , 所对边,若 a ? 2 b cos C ,则此三角形一定是 b c C 13.设 3 b 是1 ? a 和1 ? a 的等比中项,则 a ? 3 b 的最大值为 14.给出下面的四个命题:①函数 y ? sin ( 2 x ?
3? 2
3? 2

.
?
2

?
3

) 的最小正周期是

;

②函数 y ? sin ( x ? ③x ?
5? 4

) 在区间 [ ? , 5? 2

] 上单调递增;

是函数 y ? sin ( 2 x ?

) 的图象的一条对称轴.

④函数 f ( x ) ? 2 sin( ? x ) 在 [ ? 其中正确的命题是 三、解答题(共 80 分)

? ? , ] 上是增函数, ? 可以是 1 或 2 。 3 4

15. (本小题满分 12 分) 设 { a n } 是一个公差为 d ( d ? 0 ) 的等差数列,它的前 10 项和 S 10 ? 110 且 a1 , a 2 , a 4 成等比数列。 (I)证明 a1 ? d ;(II)求公差 d 的值和数列 { a n } 的通项公式。

16. (本小题满分 12 分)光明中学准备组织学生去国家体育场“鸟巢”参观.参观期间,校车每天至少要 运送 544 名学生.该中学后勤集团有 7 辆小巴、4 辆大巴,其中小巴能载 16 人、大巴能载 32 人. 已知 每辆客车每天往返次数小巴为 5 次、大巴为 3 次,每次运输成本小巴为 48 元,大巴为 60 元.请问每天 应派出小巴、大巴各多少辆,能使总费用最少?

17 . 本 小 题 满 分 14 分 ) 在 ? ABC 中 , 设 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 向 量 m ? ( c o s A , s i n A ) , (
n ? ( 2 ? sin A , cos A ) ,若 | m ? n |? 2 。

(1)求角 A 的大小;

(2)若 b ? 4 2 ,且 c ?

2 a ,求 ? ABC 的面积。

18. (本小题满分 14 分)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量 y(升)关于行驶速度 x (千米/小时)的函数解析式可以表示为:y =
1 128000 x ?
3

3 80

x?8

(0<x≤120).已知甲、乙两地相距

100 千米。 (Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (Ⅱ)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

19. (本小题满分 14 分)设 a 为实数,函数 f ( x ) ? 2 x ? ( x ? a ) | x ? a | . (1)当 a ? 1 时,判断函数 f ( x ) 在
2

(1, ?? ) 的单调性并用定义证明;

(2)求 f ( x ) 的最小值。

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? ( x ? 6 x ? 3 x ? t ) e , t ? R .
3 2 x

(1)若函数 y ? f ( x ) 依次在 x ? a , x ? b , x ? c ( a ? b ? c ) 处取到极值,求 t 的取值范围; (2) 若存在实数 t ? ? 0, 2 ? ,使对任意的 x ? ?1, m ? ,不等式 f ( x ) ? x 恒成立,求正整数 m 的最大值。

高三文科数学答案
一、选择题(50 分) 二、填空题(20 分) 11. (-4,-8) 15. (12 分) 12.等腰三角形 13.2 14. ①②④ 三、解答题(80 分 ) DABAD AADBB

解:(I)证明:因 a1 , a 2 , a 4 成等比数列,故
a 2 ? a1 a 4 ????(2 分)
2



{ a n } 是等差数列,有 a 2 ? a1 ? d , a 4 ? a1 ? 3 d . 于是
( a1 ? d ) ? a1 ( a1 ? 3 d ), ????(4 分)
2

即 化简得

a1 ? 2 a1 d ? d
2

2

? a1 ? 3 a1 d .
2

a1 ? d ????(6 分)
10 ? 9 2 d , 得到????(8 分)

(II)解:由条件 S 10 ? 110 和 S 1 0 ? 1 0 a1 ?
1 0 a1 ? 4 5 d ? 1 1 0 .

由(I), a 1 ? d , 代入上式得
d ? 2,

5 5d ? 1 1 故????(9 分) 0,

a n ? a 1 ? ( n ? 1) d ? 2 n .

????(11 分)

因此,数列 { a n } 的通项公式为 a n ? 2 n , n ? 1, 2, 3, ... ????(12 分) 16. (12 分) 解:设每天派出小巴 x 辆、大巴 y 辆,总运费为 z 元;????(1 分)
? 5 x ? 6 y ? 34 ? ?0 ? x ? 7 ????(4 分) ? 0? y ? 4 ? ? x, y ? N ?

目标函数是 z ? 240 x ? 180 y ????(5 分) 如图,????(8 分) 由 网 格 法 可 得 : x ? 2, y ? 4 时 ,
zm
i n

? 1 2 0 .????(11 分) 0

答:派 4 辆小巴、2 辆大巴费用最 少.????(12 分)

17. (14 分) 解: (1) m ? n ? ( 2 ? cos A ? sin A , cos A ? sin A ) ????(1 分)

| m ? n | ? ( 2 ? cos A ? sin A ) ? (cos A ? sin A )
2 2

2

? 2 ? 2 2 (cos A ? sin A ) ? (cos A ? sin A ) ? (cos A ? sin A )
2

2

? 2 ? 2 2 (cos A ? sin A ) ? 2

????(3 分)

? 4 ? 4 sin( A ?

?
4

) ????(4 分)

∵ | m ? n |? 2 又∵ 0 ? A ? ? ∴?
?
4 ? A??

∴ 4 ? 4 sin( A ?

?
4

) ? 4 , sin( A ?

?
4

) ? 0 ????(5 分)

?
4

?

3? 4

????(6 分) ????(7 分)
2 2

∴A?

?
4

? 0得A ?
2

?
4

(2)由余弦定理, a ? b ? c ? 2 bc cos A ,????(9 分) 又b ? 4 2 ,c ?
2 2

2a , A ?

?
4

得 a ? 32 ? 2 a ? 2 ? 4 2 ? 即 a ? 8 2 a ? 32 ? 0
2

2a ?

2 2

解得 a ? 4 2
1 2

????(11 分) ????(12 分)
?
4

∴c ? 8 ∴ S ? ABC ? 18. (14 分) 解: (1)当 x=40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 100
40 ? 2 .5

1 2

b ? c sin A ?

? 4 2 ? 8 ? sin

? 16

???(14 分)

小时,

要耗油(

1 128000

? 40

3

?

3 80

? 40 ? 8) 2 . 5 ? 17 . 5 ( 升 ) . ?

答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升.5 分 (2)当速度为 x 千米/小时,汽车从甲地到乙地行驶了 100
x 小时 ,

设耗油量为 h(x)升,依题意得 ,?8 分

h(x)=(

1 128000

x ?
3

3 80

x ? 8 )· 100
x

?

1 1280

x

2

?

800 x

?

15 4

( 0 < x ? 120 )

(没有写定义域扣 1 分) h'(x)=
x 640 ? 800 x
2

?

x

3

? 80
2

3

(0<x≤120),令 h'(x)=0,得 x=80.??10 分

640 x

当 x∈(0,80)时,h'(x)<0,h(x)是减函数; 当 x∈(80,120)时,h'(x)>0,h(x)是增函数. ∴当 x=80 时,h(x)取到极小值 h(80)=11.25. 因为 h(x)在(0,120)上只有一个极值,所以它是最小值. 升. 19. (14 分) ??13 分 ??14 分 答 : 当 汽 车 以 80 千 米 / 小 时 的 速 度 匀 速 行 驶 时 , 从 甲 地 到 乙 地 耗 油 最 少 , 最 少 为 11 . 25

解: (1)当 a ? 1 , x ? 1 时,
f ( x ) ? 2 x ? ( x ? 1 ) x ? 1 ? 2 x ? ( x ? 1)
2
2 2

? 3 x ? 2 x ? 1 ????(1 分)
2

函数 f ( x ) 在 (1, ?? ) 上单调递增. 设 1 ? x 1 ? x 2 , f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 3 x 1 ? 2 x 1 ? 1 ? ( 3 x 2 ? 2 x 2 ? 1)
? ( x 1 ? x 2 )[ 3 ( x 1 ? x 2 ) ? 2 ] ???(4 分)
? x1 ? x 2
2 2

∴ x1 ? x 2 ? 0
? 1 ? x1 ? x 2

∴ x1 ? x 2 ? 2 得 3( x1 ? x 2 ) ? 2 ? 0 ∴ f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (1, ?? ) 上单调递增。????(6 分) (2)当 x ? a 时, f ( x ) ? 3 x ? 2 a x ? a , ????(7 分)
2 2

f ( x ) m in

?2a 2, a ? 0 ? f ( a ), a ? 0 ? ? ? ? ? ? 2a 2 a f ( ), a ? 0 ? ,a ? 0 ? 3 ? ? 3
2 2

????(9 分)

当 x ? a 时, f ( x ) ? x ? 2 a x ? a , ????(10 分)
2 ? f ( ? a ), a ? 0 ? ? 2 a , a ? 0 ? f ( x ) m in ? ? ? ? ????(12 分) 2 ?2a , a ? 0 ? f ( a ), a ? 0 ?

综上, f ( x ) m in 20(14 分)

??2a 2 , a ? 0 ? ????(14 分) ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3

2 x 3 2 x 3 2 x 解: (1)① f ? ( x ) ? (3 x ? 12 x ? 3) e ? ( x ? 6 x ? 3 x ? t ) e ? ( x ? 3 x ? 9 x ? t ? 3) e

…1 分
? f ( x ) 有 3 个 极 值 点 ,? x ? 3 x ? 9 x ? t ? 3 ? 0 有 3 个 根 a , b , c .
3 2

令 g ( x ) ? x ? 3 x ? 9 x ? t ? 3, g '( x ) ? 3 x ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 1)( x ? 3) …3 分
3 2 2

g ( x ) 在 (- ? ,-1),(3,+ ? ) 上 递 增 , (-1,3) 上 递 减 .

?g(-1)>0 ? g ( x )有 3个 零 点 ? ? ? ? 8 ? t ? 2 4 . …………7 分 ? g (3) ? 0

(2)不等式 f ( x ) ? x ,即 ( x ? 6 x ? 3 x ? t ) e ? x ,即 t ? xe
3 2 x

?x

? x ? 6 x ? 3x 。
3 2

转化为存在实数 t ? ? 0, 2 ? ,使对任意的 x ? ?1, m ? ,不等式 t ? xe 即不等式 0 ? xe 即不等式 0 ? e 设? ( x) ? e
?x
?x

?x

? x ? 6 x ? 3 x 恒成立。
3 2

? x ? 6 x ? 3 x 在 x ? ?1, m ? 上恒成立。…9 分
3 2 2

?x

? x ? 6 x ? 3 在 x ? ?1, m ? 上恒成立。…10 分
2 ?x

? x ? 6 x ? 3 ,则 ? ? ( x ) ? ? e
?x

? 2 x ? 6 。…11 分
?x

设 r ( x ) ? ? ?( x ) ? ? e

? 2 x ? 6 ,则 r ? ( x ) ? e

? 2 ,因为 1 ? x ? m ,有 r ? ( x ) ? 0 。
?1

故 r ( x ) 在区间 ?1, m ? 上是减函数。又 r (1) ? 4 ? e

? 0, r (2) ? 2 ? e

?2

? 0, r (3) ? ? e

?3

?0

故存在 x 0 ? ( 2, 3) ,使得 r ( x 0 ) ? ? ?( x 0 ) ? 0 。 当 1 ? x ? x 0 时,有 ? ? ( x ) ? 0 ,当 x ? x 0 时,有 ? ? ( x ) ? 0 。 从而 y ? ? ( x ) 在区间 ?1, x 0 ? 上递增,在区间 ? x 0 , ? ? ? 上递减。 又 ? (1) ? e
? (4) ? e
?4 ?1

? 4 ? 0, ? (2 ) ? e
?5

?2

? 5 > 0, ? (3) ? e
?6

?3

? 6>0,

? 5> 0, ? (5) ? e

? 2 ? 0, ? (6) ? e

? 3 ? 0.

所以当 1 ? x ? 5 时,恒有 ? ( x ) ? 0 ;当 x ? 6 时,恒有 ? ( x ) ? 0 ; 故使命题成立的正整数 m 的最大值为 5。…………14 分


相关文档

更多相关文档

天津一中11-12学年高二上学期期末考试理科数学试题
广东省汕头金山中学2011届高三上学期期末考试(数学文)WORD版
黑龙江省哈尔滨六中2011届高三上学期期末考试理科数学试题
广东省汕头金山中学2011届高三上学期期末考试(文数)word版
惠州市2013届高三第三次调研考试文科数学试题与答案
电脑版