2.3.2两个平面垂直的判定OK (公开课用)


2.3.2 平面与平面垂直的判定
学习目标
?了解二面角及其平面角的概念,并会求二面角的大小 ?理解并掌握两个平面垂直的判定定理,并能解决有关 面面垂直的问题。

重、难点
?两个平面垂直判定定理的应用

1.线面垂直定义: 2.线面垂直判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.

m?α n?α m∩n=B l ⊥α l⊥m ? l⊥n 线线垂直 ? 线面垂直

l

?

B m

n A

二、新知建构
问题:在实际生活中,有许多问题要涉及到两 个平面相交所成的角的情形,

A B

D
C

?

你还能举出类似这些角的一些例子吗?

资料一:沙发

资料二:室内一景

资料三:水库一角.

想 一 想

这些角有何特点,该如何表示呢?

1、半平面:一个平面内的一条直线, 把这个平面分成两部分,其中的每 一部分都叫做半平面.
D E C

A

F

B

2、二面角:从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱. 这两个半平面叫做二面角的面.
A A

?

? ?
?

l

l 记为:二面角α-l -β 或者

?

B

?

B ?

?

二面角α-AB-β

思考:书本展开时形成的“角度”的大 小如何来确定?用什么来衡量?
? ? ?

?

?

?

?

思考1:如图,能否用∠AOB来刻画二面角的张开程度? β β O l B α l O A α

B

A

思考2:在上图中如何调整OA、OB的位置,使∠AOB被 二面角α -l-β 唯一确定? 思考3:这个角的大小是否与顶点O在棱上的位置有关? 思考4:上面所作的角叫做二面角的平面角,你能给二 面角的平面角下个定义吗?

3.二面角的平面角
以二面角的棱上任一点为端点,在 两个面 内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成 的角叫做二面角的平面角 注意: 二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上
? B
O

2.线在面内

3.与棱垂直

平面角是直角的二面角叫做直二面角
? A A O B

∠AOB=90°

l

二面角的范围 [0°,180°]

二面角的平面角是用来度量二面角的大小, 平面角是多少度,就说这个二面角是多少度。
D?

A?

B?

C?

?

A

D

?

C

B

上图是正方体ABCD-A‘B’C‘D’, 二面角 ? ? CD ? ? 度数为45°

两平面互相垂直
?
l
B A

?

O

如果两个平面相交, 且其所成的二面角是直 二面角,那么我们称这 两个平面相互垂直. 记作: ?

??

画法:

如何检测所砌的墙面和地面是否垂直?

1、定义法 找二面角的平面角 说明该平面角是直角

除了定义之外,还有什么办法吗?

可以用铅垂线判断所在直线是否与地面垂直。

面面垂直的判定方法:
2、判定定理
一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两 个平面垂直.
符号表示

(线面垂直 ? 面面垂直)
线线 垂直
线面 垂直

l ?? ? ? ?? ? ? l ? ??

β

l α
A

面面 垂直

例1.设AB是圆O的直径 , PA垂直于圆 O所在平面 , C是圆周上的任意点。 求证: 平面PAC ? 平面PBC

P

线线垂直

C
A
O

线面垂直

B
面面垂直

证明: 设已知⊙O平面为α PA ? 面? , BC ? 面?
? PA ? BC 又? AB为圆的直径 ? AC ? BC PA ? BC ? AC ? BC ? PA AC ? A ? ? PA ? 面PAC ?
? ? ?

AC ? 面PAC ? ? ? BC ? 面PAC BC ? 面PBC

? 面PAC ? 面PBC

探究 已 知 AB ? 面 BCD , BC ? CD 请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB ? 面BCD ? 面ABC ? 面BCD AB ? 面BCD ? 面ABD ? 面BCD CD ? 面ABC ? 面ABC ? 面ACD
B C D A

随堂练习 1. 判断: 1)如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的一条直线,则α⊥β( ×) 2)如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的两条直线,则α⊥β( ×) 3)如果平面α内的一条直线垂直于平面β 内的两条相交直线, 则α⊥β(√ ) 4)若m⊥α,m β,则α⊥β( √ ) ?

2. 填空:
无数平面 1)过平面α的一条垂线可作个____ 与平面α垂直。 无数 个平面与已知平面垂 2)过一点可作_____ 直。 1 个平面 3)过平面α的一条斜线,可作___ 与平面α垂直。

1 个平面 4)过平面α的一条平行线可作___ 与α垂直。

3. 选择:
1)给出下列四个命题: ①垂直于同一个平面的两个平面平行; ②垂直于同一条直线的两个平面平行; ③垂直于同一个平面的两条直线平行; ④垂直于同一条直线的两条直线平行。 其中正确的命题的个数是( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 2)给出下列四个命题:(其中a,b表直线,α,β,γ表平面) ①若a⊥b,a∥α,则b⊥α; ②若a∥α,α⊥β,则a⊥β; ③若β∥γ,α∥γ,则α⊥β; ④若α⊥β,a⊥β,则a∥α 其中不正确的命题的个数是( D) A.1 B.2 C.3 D.4

4.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,找出二面 角C′-BD-C的平面角.

D’

C’

A’

B’ D

C O B

A

二面角C′-BD-A的平面角呢?

5.在空间四边形ABCD中,若AB=BC, AD=CD,E为对角线AC的中点. 求证:平面ABC⊥平面BDE
A

E B D

C

课堂小结
从一条直线引出的两个半平面所 组成的图形叫做二面角。二面角的平 面角用来度量二面角的大小。
?
l
B

?

A

O

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

面面垂直的判定方法:
1、定义法 找二面角的平面角 2、判定定理
一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两 个平面垂直.
符号表示

说明该平面角是直角

(线面垂直 ? 面面垂直)

l ?? ? ? ?? ? ? l ? ??

β l α A

探究:已知:ABCD为正方形,SD⊥平面AC,
问:图中所示的7个平面中,共有多少对互相垂 直的平面?
1.平面SAD⊥平面ABCD

2.平面SBD⊥平面ABCD
3.平面SCD⊥平面ABCD

S

4.平面SAD⊥平面SCD
5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
A

D
O B

C


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