成都七中2015届高三一诊模拟考试数学答案(理版)


成都七中 2015 届高中毕业班第一次诊断性检测模拟题 数学(理科参考答案)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 C 5 B 6 A 7 D 8 D 9 C 10 C

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.15; 提示: 9.构造函数 g ( x) ? 12. ?5, 7 ? ; 13. ? 0,

? ?

4? 3

? ? 5? ? 2? ? ; ??? , ? ? 3 ?

14.3:2:1;

15.②④.

f ( x) f ?( x)e x ? e x f ( x) f ?( x) ? f ( x) ? ,则 , g ( x ) ? ? ex (e x ) 2 ex f ( x) 在 R 上单调递减, ex

∵任意 x ? R 均有 f ( x) ? f ?( x) ,并且 e x ? 0 ,∴ g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) ?

也就是 e

2014

f (?2014) ? f (0), f (2014) ? e 2014 f (0) 故选 C.
b c a b b b b ?1

10. 不妨设 a ? b , 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2

? b ? c ? b ?1 ,

? b, c ? Z ,? c ? b ? 1 , ? 2b ?1 ? 2a ? 2b ? a ? b ? c ? 1 .? t ? a?b 2 ? 2? . c c

? a, t ? Z ,? c ? ?1, ?2 ,? t ? 0,1,3, 4 ,故 (log 2 t ) max ? log 2 4 ? 2 .
15 . ② ④ 由 题 , “ 可 平 行 性 ” 曲 线 的 充 要 条 件 是 : 对 域 内 ?x1 都 ?x2 ? x1 使 得 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) 成 立 . ① 错 ,

? y? ? 2( x ? 2) ?

1 1 1 ,又 2( x1 ? 2) ? ? 2( x2 ? 2) ? x x1 x2

? x1 x2 ?

1 2 ,显然 x1 ? 时不满足;②对,由 f ( x) ? ? f ( ? x) ? f ?( x) ? f ?( ? x) 即奇函数的导函数是偶函数,对 2 2

2 ; ③ 错 , ? f ?( x) ? 3 x ? 2 x ? a , 又 当 时 , ?x1 ? 0 都 ?x2 ? ? x1 使 得 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) 成 立 ( 可 数 形 结 合 ) 2 3 x12 ? 2 x1 ? a ? 3 x2 ? 2 x2 ? a

2 1 x ,当 x1 = 时不合题意;④对,当 x ? 0 时, f ?( x) ? e ? (0,1) ,若具有“可 3 3 1 平行性” , 必要条件是: 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 1 ? 2 ? (0,1) , 解得 x ? 1 , 又 x ? 1 时, 分段函数具有 “可平行性” , ?m ? 1 x
2 ? 3( x12 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ?

(可数形结合) .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.解: (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d ,依题意, 有 a2 ? a1 ? d ? ?5, S5 ? 5a1 ? 10d ? ?20 . 联立得 ?

?a1 ? d ? ?5 ? a1 ? ?6 ,解得 ? . ?d ? 1 ?5a1 ? 10d ? ?20
……………6 分

? an ? ?6 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 7 . n ? N ?
(Ⅱ)? an ? n ? 7 ,? Sn ? 令

(a1 ? an )n n(n ? 13) ? . 2 2
……………10 分

n(n ? 13) ? n ? 7 ,即 n 2 ? 15n ? 14 ? 0 , 2 解得 n ? 1 或 n ? 14 .
又 n ? N* ,? n ? 14 .

? n 的最小值为 15 . 17.解: (Ⅰ)∵asinA=(a-b)sinB+csinC,
由正弦定理

……………12 分

a b c ,得 a 2 ? (a ? b)b ? c 2 , ? ? sin A sin B sin C

即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab .① 由余弦定理得 cos C ?

a 2 ? b2 ? c2 1 ? , 2ab 2

结合 0 ? C ? ? ,得 C ?

?
3



…………………………………………………6 分

(Ⅱ)由 C=π-(A+B),得 sinC=sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA, ∵ sinC+sin(B-A)=3sin2A, ∴ sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA, 整理得 sinBcosA=3sinAcosA. 若 cosA=0,即 A= ………………………………………………8 分

?
2

时,△ABC 是直角三角形,且 B=

?
6



于是 b=ctanB=2tan

?
6

=

2 3 1 2 3 ,∴ S△ABC= bc= . ……………………10 分 3 2 3

若 cosA≠0,则 sinB=3sinA,由正弦定理得 b=3a.② 联立①②,结合 c=2,解得 a=

2 7 6 7 ,b= , 7 7

∴ S△ABC=

1 1 2 7 6 7 3 3 3 absinC= × × × = . 2 2 7 7 2 7 2 3 3 3 或 . ………………………………………12 分 3 7

综上,△ABC 的面积为

18. (Ⅰ)证明:连接 AC 交 BE 于点 M, 连接 FM .由 EM / / CD

P

F

AM AE 1 PF . ? ? ? MC ED 2 FC ? FM / / AP . ………………4 分 ? ? FM ? 面BEF,PA ? 面BEF , ? PA / / 面BEF .
A

D

H
E

C

M

B

………………6 分

(Ⅱ)连 CE ,过 F 作 FH ? CE 于 H .由于 FH / / PE ,故 FH ? 面ABCD . 过 H 作 HM ? BE 于 M ,连 FM .则 FM ? BE ,即 ?FMH 为二面角

F ? BE ? C 的平面角. ??FMH ? 60? , FH ? 3MH .

FH ?

2 1 2 PE , MH ? BC ? AE 3 3 3

………………10 分 ? PE ? 3 AE .

? AE ? 1,? PE ? 3 .
在 Rt ?PBE 中,? BE ? 3 , ? tan ?PBE ?

3 ? ,??PBE ? . 3 6
……………12 分

? 直线 PB 与平面 ABCD 所成角的大小为

?
6



解法二:以 E 为坐标原点, EB, ED, EP 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系.

E (0, 0, 0), B (3, 0, 0), P (0, 0, m), C (3, 2, 0) ??? ? ??? ? 2 2 ? CF ? 2 FP ,? F (1, , m) . 3 3 ?? 设平面 BEF 的法向量 n1 ? ( x, y, z ) ,由 ? ??? ? ? ? n ? EB ? 0 ? ? ? ??? n ? EF ?0 ? ?
得 n1 ? (0, ? m,1) . ………………7 分

??

又面 ABCD 法向量为 n2 ? (0, 0,1) .

?? ?

?? ?? ? n1 ? n2 由 cos 60 ? ?? ?? ? n1 ? n2
?



解得 m ?

3.

………………10 分

在 Rt ?PBE 中,? BE ? 3 , ? tan ?PBE ?

3 ? ,??PBE ? . 3 6
……………12 分

? 直线 PB 与平面 ABCD 所成角的大小为
19.解: (Ⅰ)由直方图知:

?
6



(20 ? 0.015 ? 30 ? 0.015 ? 40 ? 0.025 ? 50 ? 0.02 ? 60 ? 0.015 ? 70 ? 0.01) ? 10 ? 43.5 ? 这 60 人的平均月收入约为 43.5 百元.
(Ⅱ)根据频率分布直方图和统计表可知道: ………………4 分

[15,25)的人数为 0.015 ? 10 ? 60 ? 9 人,其中 1 人不赞成. [25,35)的人数为 0.015 ? 10 ? 60 ? 9 人,其中 2 人不赞成. ………………6 分

X

的所有可能取值为 0,1, 2,3 .

3 3 1 2 C83 C7 C82 C7 C83 C2 C 5 17 , P ( X ? 0) ? 3 ? 3 ? , P ( X ? 1) ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 7 ? C9 C9 18 C9 C9 C9 C9 36 1 2 2 1 1 2 C82 C2 C7 C83 C2 C7 2 C82 C7 C2 1 , . ……………10 分 ? ? ? ? P ( X ? 3) ? ? ? 3 3 3 3 3 3 C9 C9 C9 C9 9 C9 C9 36

P ( X ? 2) ? ?X X P

的分布列为

0

1

2

3

17 2 1 36 9 36 5 17 2 1 ? EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 . 18 36 9 36
20.(Ⅰ)解 由 e=

5 18

………………12 分

3 3 1 ,得 c= a,又 b2=a2-c2,所以 b= a,即 a=2b. 2 2 2

x y 4 5 由左顶点 M(-a,0)到直线 + =1,即 bx+ay-ab=0 的距离 d= , a b 5 得 |b?-a?-ab| a2+b2 2ab 4 5 4 5 = ,即 = , 5 5 a2+b2 4b2 4 5 = ,解得 b=1.所以 a=2b=2,c= 3. 5 5b2 ………………3 分

把 a=2b 代入上式,得

x2 所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 (Ⅱ)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2),

①当直线 AB 的斜率不存在时,则由椭圆的对称性,可知 x1=x2,y1=-y2. → → 因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点,故OA·OB=0,
2 即 x1x2+y1y2=0,也就是 x2 1-y1=0,

x2 又点 A 在椭圆 C 上,所以 1-y2 1=1, 4 2 5 解得|x1|=|y1|= . 5 2 5 此时点 O 到直线 AB 的距离 d1=|x1|= . 5 ②当直线 AB 的斜率存在时, 设直线 AB 的方程为 y=kx+m,

y=kx+m, 与椭圆方程联立有 x2 2 +y =1, 4 消去 y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 所以 x1+x2=- 4m2-4 8km , x . 1x2= 1+4k2 1+4k2

因为以 AB 为直径的圆过坐标原点 O,所以 OA⊥OB. → → 所以OA·OB=x1x2+y1y2=0. 所以(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0. 所以(1+k2)· 4m2-4 8k2m2 - +m2=0. 1+4k2 1+4k2

整理得 5m2=4(k2+1), 所以点 O 到直线 AB 的距离 d1= | m| k +1
2



2 5 . 5 ………………8 分

综上所述,点 O 到直线 AB 的距离为定值 (Ⅲ)解 设直线 OA 的斜率为 k0.

2 5 . 5

当 k0≠0 时, 1 则 OA 的方程为 y=k0x,OB 的方程为 y=- x, k0 y=k0x, 联立 x2 2 +y =1, 4 得 4 x2 , 1= 1+4k2 0 4k2 0 y2 . 1= 1+4k2 0 同理可求得 4k2 0 x2 , 2= 2 k0+4 4 y2 . 2= 2 k0+4

1 故△AOB 的面积为 S= 1+k2 0·|x1|· 2 令 1+k2 0=t(t>1), 则 S= 2 t2 =2 4t +9t-9
2

1 1+ 2·|x2|=2 k0

2 ?1+k2 0? . 2 ?1+4k2 0??k0+4?

1 , 9 9 - 2+ +4 t t

9 9 1 1 25 25 4 令 g(t)=- 2+ +4=-9( - )2+ (t>1),所以 4<g(t)≤ .所以 ≤S<1. t t t 2 4 4 5 当 k0=0 时,可求得 S=1, 4 4 故 ≤S≤1,故 S 的最小值为 . 5 5 直线的参数方程也可以做,更简洁。 ………………13 分

21.解:(Ⅰ)由题意得 ln x ? f ( x) ? (1 ? a ln x) ? x

? f ( x) ?

x ? ax( x ? 1) . ln x

………………2 分

? f ( x) 在 (1, ??) 上是减函数, ? 等价于 f ?( x) ? ln x ? 1 ln x ? 1 ? a ? 0 在 (1, ??) 上恒成立 ? a ? ( ) max . …………4 分 2 (ln x) (ln x) 2

?

ln x ? 1 1 2 1 1 1 2 1 1 ? ?( ) ? ? ?( ? ) ? ? , 2 (ln x) ln x ln x ln x 2 4 4 1 1 ? 即 x ? e 2 时取到最大值. ln x 2
………………6 分

当且仅当

1 ? a= . 4
(Ⅱ)题意等价于 f ( x) min ? ( f ?( x) ? a ) max ?

1 . 4

1 1 2 1 ? ) ? ?a. ln x 2 4 1 1 ? e ? x ? e 2 ,? ? ? 1. 2 ln x
由(Ⅰ)知 f ?( x) ? ?(

1 ? ? 2 ? f ?( x) 在 x ? ? ?e, e ? ? 上单调递增,且 f ?( x) 的值域为 ? ? a, 4 ? a ? . ? ?
2 1? 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 x ? ? ?e, e ? ? 上单调递增,

………8 分

f ( x) min ? f (e) ? e ? ae ? 2? 当 a ?

1 1 ? a ? 1- ? 0 与前提矛盾,无解. 4 4e

1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 x ? ? e, e 2 ? ? ? 上单调递减, 4 e2 1 1 1 1 ? ae 2 ? ? a ? ? 2 ? . 2 4 2 4e 4

f ( x) min ? f (e 2 ) ? ?a?

1 1 . ? 2 4e 2 1 3? 当 0 ? a ? 时, y ? f ?( x) 存在唯一零点 x0 ? (e, e 2 ) ,且 4 x ? ? e, x0 ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, x ? ? x0 , e 2 ? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增,

? f ( x) min ? f ( x0 ) ?

x0 1 1 1 . ? ax0 ? ? a ? ? ln x0 4 ln x0 4 x0

设 h( x ) ?

1 1 1 1 1 ? (e ? x ? e 2 ) ,? h?( x) ? ? ( ? ), 2 ln x 4 x x (ln x) 4 x

?

1 1 1 1 1 1 1 ? ( ,1) , ? ( 2 , ) ? ? h?( x) ? 0 ? h( x) 单减. 2 2 (ln x) 4 4 x 4e 4e (ln x) 4x

? h( x ) ? ?a?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? . 2 ln x 4 x ln e 4e 2 4e 2 4 4

1 1 1 ? ? 与前提矛盾,无解. ln x0 4 x0 4 ?1 ?2 1 ? , ?? ? . 2 4e ?
………………14 分

综上所述,实数 a 的取值范围是 ? ? 也可分离参数做,更简洁.


相关文档

更多相关文档

四川省成都七中2015届高三一诊模拟考试理综试题 Word版含答案
成都七中高2016届成都一诊模拟试题含答案
成都七中2015届高三一诊模拟数学(理)
成都七中2015年高三化学一诊模拟试卷(word版含答案)
四川省成都七中2016届高三二诊模拟考试 数学(理)试题带答案
电脑版