数学必修一学案2.1.3 函数的单调性


第二章 函数 学案 2.1.3 函数的单调性 【教学目标】 1. 通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性. 【教学重点难点】 重点:函数的单调性及其几何意义. 难点:利用函数的单调性 定义判断、证明函数的单调性 自主预习案 【双基梳理】 1.单调增函数的定义: 自主复习 夯实基础 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,区间 I ? A .如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 , x2 , 当 x1 ? x2 时,都有 ,那么就说 y ? f ( x) 在区间 I 上是单调增 函数, I 称为 y ? f ( x) 的单调 增 区间. 注意:⑴“任意” 、 “都有”等关键词; ⑵. 单调性、单调区间是有区别的; 2.单调减函数的定义: 一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,区间 I ? A . 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时,都有 在区间 I 上是单调 减函数, I 称为 y ? f ( x) 的单调 减 区间. 3.函数图像与单调性:函数在单调增区间上的图像是 是 的图像。 (填"上升"或"下降") 图像;而函数在其单调减区间上的图像 ,那么就说 y ? f ( x) 4.函数单调性证明的步骤: (利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: ① 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ② 作差 f(x1)-f(x2); ③变形(通常是因式分解和配方) ; ④定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; ⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . 考点探究案 考点一 利用图象判断单调性 典例剖析 考点突破 【例 1】如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单 调区间上,它是增函数还是减函数? -1- 第二章 函数 变式训练:画出下列函数图象,并写出单调区间. (1) y ? ? x ? 2 ; 2 1 ; x ? x2 ? 1, x ? 0 (3) f ( x) ? ? . ? 2 x ? 2, x ? 0 ? (2) y ? 考点二 给定区间上函数单调性证明 【例 2 证明函数 f(x)=2x+1 在 R 上是增函数。 变式训练:求证:函数 y ? 1 在区间(-∞,0)和(0,+∞)上分别是减函数。 x 注意:函数 y ? 1 在其定义域 (??,0) ? (0, ??) 上是减函数吗? x -2- 第二章 函数 如果一个函数有两个单调区间,两个区间一般不取并集: 考点三 单调性应用 【例三】函数 f(x)是区间(0,+∞)上的减函数,那么 f(a2-a+1)与 f ( ) 的 . 3 4 大小关系是 变式训练:若函数 f ( x ) 是 R 上的增函数,对于实数 a , b ,若 a ? b ? 0 ,则有( ) ( A) (B) (C ) (D) f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) 巩固提高案 1、函数 y ? ? x 2 的单调增区间为 A. (??,0]

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