直线,平面垂直的判定及其性质--面面垂直的性质》课件(新人教必修2).


α
γ

β

提出问题: 提出问题:
1、平面与平面垂直的定义 、平面与平面垂直的定义

两个平面相交, 两个平面相交,如果它们所成的二面角是 直二面角,就说这两个平面互相垂直。 直二面角,就说这两个平面互相垂直。
2、平面与平面垂直的判定定理 、平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂 则这两个平面垂直。 线,则这两个平面垂直。 符号表示: 符号表示:

该命题正确吗? 该命题正确吗?
β

α

b

b ⊥ β? ?α ⊥ β ? b ? α?

平面与平面垂直的性质定理
Ⅰ. 观察实验 两个平面垂直, 两个平面垂直,则一个平 观察两垂直平面中,一 面内垂直于交线的直线 个平面内的直线与另 与另一个平面垂直. 与另一个平面垂直.
一个平面的有哪些位 符号表示: 符号表示: 置关系?
β

α
b

l

Ⅱ.概括结论 概括结论

? α Iβ = l ? 面面垂直 b ⊥l ?

α ⊥ β? α ⊥ β ? ? ⊥ β 该命题正确吗? 该命题正确吗? ? b b b ?α? ? 简述为: 简述为: ? b⊥β

线面垂直

Ⅲ.知识应用 知识应用

练习1 判断正误。 练习1:判断正误。
平面α⊥平面β,α∩ β= 已知平面 ⊥平面β,α∩ β=l下列命题
(1)平面 内的任意一条直线必垂直于平面 (1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面 平面 内的任意一条直线必垂直于平面β ( ×) (2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β (2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β 垂直于交线 ( ×) (3)过平面α内任意一点作交线的垂线, (3)过平面α内任意一点作交线的垂线,则此 过平面 垂线必垂直于平面β 垂线必垂直于平面β( )



例1:如图,在长方体 :如图,在长方体ABCD-A’B’C’D’中, 中 与平面ABCD的位置关系 (1)判断平面 )判断平面ACC’A’与平面 与平面 的位置关系 在平面ACC’A’内,MN⊥AC于M,判断 (2)MN在平面 ) 在平面 内 ⊥ 于 , MN与AB的位置关系。 的位置关系。 与 的位置关系 D’ A’ D A N M B’ C B

C’

例2:如图,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同 如图,AB是⊙O的直径, 的直径 的任意一点,平面PAC⊥平面ABC PAC⊥平面ABC, 于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC, (1)判断BC与平面PAC的位置关系 并证明。 判断BC与平面PAC的位置关系, (1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明。 (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系 判断平面PBC与平面PAC的位置关系。 (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
(1)证明:∵ AB是⊙O的直径, P 证明: 的直径, 证明 是 的直径 C是圆周上不同于 ,B的任 是圆周上不同于A, 的任 是圆周上不同于 意一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC ∴∠ ° ⊥ C 平面PAC⊥平面 又∵平面 ⊥平面ABC, , 平面PAC∩平面 平面ABC=AC, 平面 平面 = A BC? 平面 平面ABC O ∴BC⊥平面 ⊥平面PAC (2)又∵ BC ? 平面 平面PBC ,∴平面 平面PBC⊥平面 又 ⊥平面PAC

B

解题反思 1、面面垂直的性质定理给我们提供了一 种证明线面垂直的方法 2、本题充分地体现了面面垂直与 线面 垂直之间的相互转化关系。 面面垂直
性质定理 判定定理

线面垂直

练习2 如图,已知PA⊥平面ABC, 练习2:如图,已知PA⊥平面ABC, PA⊥平面ABC 平面PAB⊥平面PBC 求证:BC⊥平面 PAB⊥平面PBC, 平面PAB 平面PAB⊥平面PBC,求证:BC⊥平面PAB
证明:过点 作 ⊥ , 证明:过点A作AE⊥PB,垂足 P 为E, , 平面PAB⊥平面 ∵平面 ⊥平面PBC, , 平面PAB∩平面 平面PBC=PB, 平面 平面 , A ∴AE⊥平面 ⊥平面PBC 平面PBC ∴AE⊥BC ∵BC ?平面 ⊥

C

平面ABC ∵PA⊥平面 ⊥平面ABC,BC ?平面 , ∴PA⊥BC ⊥ ∵PA∩AE=A,∴BC⊥平面 , ⊥平面PAB

B

练习3 如图,以正方形ABCD的对角线AC为折 练习3:如图,以正方形ABCD的对角线AC为折 ABCD的对角线AC ADC和 ABC折成相垂直的两个面 折成相垂直的两个面, 痕,使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面, BD与平面ABC所成的角 与平面ABC所成的角。 求BD与平面ABC所成的角。
D

D

折成
A O C A O B C

B

1、平面与平面垂直的性质定理:两个平面 、平面与平面垂直的性质定理: 垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另 一个平面垂直。 2、证明线面垂直的两种方法: 、证明线面垂直的两种方法: 线线垂直→线面垂直 面面垂直→线面垂直 线面垂直; 线线垂直 线面垂直;面面垂直 线面垂直 3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解 、线线、线面、 决空间图形问题的重要思想方法。 决空间图形问题的重要思想方法。

1、如图,α⊥β,α∩β=l,AB ?α, AB⊥l, BC ? ,DE ? ,BC⊥DE. β β 求证:AC⊥DE. α A
B D C E

l

β

2.如图,平面AED ⊥平面 如图,平面 平面ABCD,△AED 如图 , 是等边三角形,四边形ABCD是矩形, 是矩形, 是等边三角形,四边形 是矩形 (1)求证:EA⊥CD )求证: ⊥ 与平面ABCD (2)若AD=1,AB= 2 ,求EC与平面 ) = , = 与平面 所成的角。 所成的角。
E

D M A B

C

提出问题: 提出问题:

b ⊥ β? 如果将 ? ?α ⊥ β 中的条件 b ⊥ β 与 b ? α? 的位置调换一下, 结论 α ⊥ β 的位置调换一下,构造这样的 α 一个命题: 一个命题: ⊥ β? ?b ⊥ β ? b ? α?
该命题正确吗? 该命题正确吗?

α
β

b

平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的 直线与另一个平面垂直. 符号表示: 符号表示:

α ⊥β α Iβ =l b ?α b⊥l

α

b

l

? b⊥β

β

简述为: 简述为:

面面垂直

线面垂直


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