2013年北京市高三二模各区理科数学试题与答案海淀、西城、丰台、朝阳、东城


2013 北京市海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (理科) 2013.5.6

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. 1.集合 A ? ?x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0? , B ? ?x x ? 0? ,则 A ? B ? A. ( ??,0] B. ( ??,1] C. [1,2] D. [1, ??)

2.已知数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,且 a1 ? a3 ? 4 , a4 ? 8 ,则 a1 ? q 的值为 A. 3 B. 2 C. 3 或 ?2 D. 3 或 ?3

3. 如图,在边长为 a 的正方形内有不规则图形 ? . 向正方形内随机撒豆子,若 撒在图形 ? 内和正方形内的豆子数分别为 m, n ,则图形 ? 面积的估计值为 A.

ma n

B.

na m

C.

ma 2 n

D.

na 2 m
5

4.某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为 A. 180 C. 276 B. 240 D. 300
主视图 6

6

左视图

??? ? ???? ???? ??? ? 5. 在 四 边 形 ABCD 中 , “ ?? ? R , 使 得 AB ? ? DC AD ? BC 是 “ 四 边 形 ” , ?
俯视图

6

ABCD 为平行四边形”的
A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

6.用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,且 5 不排在百位,2,4 都不排在个 位和万位,则这样的五位数个数为 A. 32 B. 36 C. 42 D. 48

7.双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,且 F2 恰为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,设双曲线 C 与该抛 物线的一个交点为 A ,若 ?AF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形,则双曲线 C 的离心率为 A.

2

B. 1 ? 2

C. 1 ? 3

D. 2 ? 3

8. 若数列 {an } 满足: 存在正整数 T , 对于任意正整数 n 都有 an ?T ? an 成立, 则称数列 {an } 为

?an ? 1, an ? 1, ? 周期数列,周期为 T . 已知数列 {an } 满足 a1 ? m (m ? 0) , an ?1 = ? 1 0 ? an ? 1. ?a , ? n
则下列结论中错误的是 .. A. 若 a3 ? 4 ,则 m 可以取 3 个不同的值 B. 若 m ? 2 ,则数列 {an } 是周期为 3 的数列 C. ?T ? N* 且 T ? 2 ,存在 m ? 1 , {an } 是周期为 T 的数列 D. ?m ? Q 且 m ? 2 ,数列 {an } 是周期数列

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9. 在极坐标系中,极点到直线 ? cos? ? 2 的距离为_______.
1 ? 1 1 10.已知 a ? ln , b ? sin , c ? 2 2 ,则 a , b, c 按照从大到小排列为______. .... 2 2

11.直线 l1 过点 ( ?2,0) 且倾斜角为 30? , 直线 l2 过点 (2,0) 且与直线 l1 垂直, 则直线 l1 与直线 l2 的交点坐标为____. 12.在 ?ABC 中, ?A ? 30? , ?B ? 45? , a ? 2 ,则 b ? _____; S?ABC ? _____ . 13.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1 ,若动点 P 在线段 BD1 上运动,则 DC ? AP 的取值范 围是______________. 14.在平面直角坐标系中,动点 P ( x, y ) 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 (1,1) 的距离,记 点 P 的轨迹为曲线 W . (I) 给出下列三个结论: ① 曲线 W 关于原点对称; ② 曲线 W 关于直线 y ? x 对称; ③ 曲线 W 与 x 轴非负半轴, y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 其中,所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ )曲线 W 上的点到原点距离的最小值为______.

???? ??? ?

1 ; 2

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过 程.
15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 1 ?

cos2 x π 2 sin( x ? ) 4

.

(Ⅰ )求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ 求函数 f ( x ) 的单调递增区间. )

16.(本小题满分 13 分) 福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面 值为 5 元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下: (1)该福利彩票中奖率为 50%; (2)每张中奖 彩票的中奖奖金有 5 元,50 元和 150 元三种; (3)顾客购买一张彩票获得 150 元奖金的概 率为 p ,获得 50 元奖金的概率为 2% . (I) 假设某顾客一次性花 10 元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率; (II)为了能够筹得资金资助福利事业, 求 p 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30? , BC ? 2 ,

AD ? 4 . 把 ?DAC 沿对角线 AC 折起到 ?PAC 的位置,如图 2 所示,使得点 P 在平面 ABC 上
的正投影 H 恰好落在线段 AC 上,连接 PB ,点 E , F 分别为线段 PA, AB 的中点. (I) 求证:平面 EFH / / 平面 PBC ; (II) 求直线 HE 与平面 PHB 所成角的正弦值; (III)在棱 PA 上是否存在一点 M ,使得 M 到点 P, H , A, F 四点的距离相等?请说明理由.
D

P E
C

A

图1

B

A F

H B
图2

C

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? ex ,点 A( a,0) 为一定点,直线 x ? t (t ? a ) 分别与函数 f ( x ) 的图象和 x 轴交于点 M , N ,记 ?AMN 的面积为 S (t ) . (I)当 a ? 0 时,求函数 S (t ) 的单调区间; (II)当 a ? 2 时, 若 ?t0 ? [0,2] ,使得 S (t0 ) ? e , 求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 M : 的四个顶点. (I)求椭圆 M 的方程;

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的四个顶点恰好是一边长为 2, 一内角为 60? 的菱形 a 2 b2

1 (II)直线 l 与椭圆 M 交于 A , B 两点,且线段 AB 的垂直平分线经过点 (0, ? ) ,求 ?AOB 2
( O 为原点)面积的最大值.

20. (本小题满分 13 分) 设 A 是由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负 数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”. (Ⅰ 数表 A 如表 1 所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行 ) 的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作” 后所得的数表(写出一种方法即可) ; 1 2 1 3 0

?7
1

?2
表1

(Ⅱ 数表 A 如表 2 所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列 ) 的各数之和均为非负整数,求整数 a 的所有可能值; .. (Ⅲ )对由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的任意一个数表 A , 能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之 和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.

a a 2 ? 1 ?a ?a 2 2 ? a 1 ? a2 a ? 2 a2
表2

海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (理科) 2013.5
6 A 7 B 8 D

参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

9. 2 12. 2;

10. c ? b ? a

11. (1, 3) 14.②; 2 ? 2 ③

3 ?1 2

13. [0,1]

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (I)因为 sin( x ? ) ? 0 所以 x ?

π 4

π ? kπ, k ? Z 4
π 4

……………………2 分 ……………………4 分 ……………………6 分

所以函数的定义域为 {x | x ? kπ+ , k ? Z} (II)因为 f ( x ) ? 1 ?

cos 2 x ? sin 2 x sin x ? cos x

= 1 ? (cos x ? sin x)
? 1 ? sin x ? cos x

π = 1 ? 2 sin( x ? ) 4
又 y ? sin x 的单调递增区间为 (2kπ ? ,2kπ ? ) , k ? Z

……………………8 分

π 2

π 2

π π π ?x ? ? π ? 2 k 2 4 2 3π π ? x ? 2kπ ? 解得 2kπ ? 4 4 π 又注意到 x ? kπ+ , 4


2kπ ?

……………………11 分

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (2kπ ?

3π π ,2kπ ? ) , 4 4

k ? Z …………………13 分

16. 解: (I)设至少一张中奖为事件 A 则 P( A) ? 1 ? 0.52 ? 0.75 (II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为 ? 则 ? 可以取 5,0, ?45, ?145 …………………6 分 …………………4 分

? 的分布列为

?
P

5
50%

0
50% ? 2% ? p

? 45

?145

2%

p

…………………8 分 所以 ? 的期望为 E? ? 5 ? 50% ? 0 ? (50% ? 2% ? p) ? ( ?45) ? 2% ? ( ?145) ? p

? 2.5 ? 90% ? 145p
所以当 1.6 ? 145 p ? 0 时,即 p ? 所以当 0 ? p ?

…………………11 分 …………………12 分

8 725

8 时, 福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13 分 17.解: 725

(I)因为点 P 在平面 ABC 上的正投影 H 恰好落在线段 AC 上 所以 PH ? 平面 ABC ,所以 PH ? AC …………………1 分

因为在直角梯形 ABCD 中, ?ABC ? ?DAB ? 90? , ?CAB ? 30? ,

BC ? 2 , AD ? 4
所以 AC ? 4 , ?CAB ? 60? ,所以 ?ADC 是等边三角形, 所以 H 是 AC 中点, 所以 HE / / PC 同理可证 EF / / PB 又 HE ? EF ? E , CP ? PB ? P 所以平面 EFH / / 平面 PBC (II)在平面 ABC 内过 H 作 AC 的垂线 如图建立空间直角坐标系, 则 A(0, ?2,0) , P(0,0,2 3) , B( 3,1,0) …………………6 分 …………………5 分 …………………2 分 …………………3 分

因为 E(0, ?1, 3) , HE ? (0, ?1, 3)

??? ?

z P E A F x H B C y

? 设平面 PHB 的法向量为 n ? ( x, y, z )

??? ? ??? ? 因为 HB ? ( 3,1,0) , HP ? (0,0,2 3)
??? ? ? ? HB ? n ? 0 ? 3x ? y ? 0 ? ? ? 所以有 ? ??? ? ,即 ? , ?z ? 0 ? HP ? n ? 0 ? ?
令 x ? 3, 则 y ? ?3, 所以 n ? ( 3, ?3,0)

?

…………………8 分

? ???? ? ???? n ? HE 3 3 ? cos ? n, HE ?? ? ????? ? ? 4 | n | ?| HE | 2 ? 2 3
所以直线 HE 与平面 PHB 所成角的正弦值为 (III)存在,事实上记点 E 为 M 即可 因为在直角三角形 PHA 中, EH ? PE ? EA ? 在直角三角形 PHB 中,点 PB ? 4, EF ? 所以点 E 到四个点 P , O , C , F 的距离相等 18.解: (I) 因为 S (t ) ?

…………………10 分

3 4

…………………11 分 …………………12 分

1 PA ? 2 , 2

…………………13 分

1 PB ? 2 2
…………………14 分 …………………2 分

1 | t ? a | e t ,其中 t ? a 2 1 当 a ? 0 , S (t ) ? | t | et ,其中 t ? 0 2 1 1 当 t ? 0 时, S (t ) ? tet , S '(t ) ? (t ? 1)et , 2 2
所以 S '(t ) ? 0 ,所以 S (t ) 在 (0, ??) 上递增, 当 t ? 0 时, S (t ) ? ? tet , S '(t ) ? ? (t ? 1)et ,

…………………4 分

1 2

1 2

1 2 1 令 S '(t ) ? ? (t ? 1)et ? 0 , 解得 t ? ? 1 ,所以 S (t ) 在 ( ?1,0) 上递减 ……………7 分 2
令 S '(t ) ? ? (t ? 1)et ? 0 , 解得 t ? ? 1 ,所以 S (t ) 在 ( ??, ?1) 上递增 综上, S (t ) 的单调递增区间为 (0, ??) , ( ??, ?1)

S (t ) 的单调递增区间为 ( ?1,0)
(II)因为 S (t ) ?

1 | t ? a | e t ,其中 t ? a 2

当 a ? 2 , t ? [0,2] 时, S (t ) ? (a ? t )et 因为 ?t0 ? [0,2] ,使得 S (t0 ) ? e ,所以 S (t ) 在 [0,2] 上的最大值一定大于等于 e

1 2

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ,令 S '(t ) ? 0 ,得 t ? a ? 1 2
当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时

…………………8 分

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 对 t ? (0,2) 成立, S (t ) 单调递增 2 1 所以当 t ? 2 时, S (t ) 取得最大值 S (2) ? (a ? 2)e2 2 1 2 a ? ?2 , 令 (a ? 2)e2 ? e ,解得 2 e
所以 a ? 3 当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时 …………………10 分

1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 对 t ? (0, a ? 1) 成立, S (t ) 单调递增 2 1 S '(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]et ? 0 对 t ? ( a ? 1,2) 成立, S (t ) 单调递减 2 1 所以当 t ? a ? 1 时, S (t ) 取得最大值 S (a ? 1) ? ea ?1 2 1 令 S (a ? 1) ? ea ?1 ? e ,解得 a ? ln 2 ? 2 2
所以 ln 2 ? 2 ? a ? 3 综上所述, ln 2 ? 2 ? a 19.解:(I)因为椭圆 M : …………………12 分 …………………13 分

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的四个顶点恰好是一边长为 2, a 2 b2

一内角为 60? 的菱形的四个顶点, 所以 a ? 3, b ? 1 ,椭圆 M 的方程为

x2 ? y2 ? 1 3

…………………4 分

(II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 因为 AB 的垂直平分线通过点 (0, ? ) , 显然直线 AB 有斜率, 当直线 AB 的斜率为 0 时,则 AB 的垂直平分线为 y 轴,则 x1 ? ? x2 , y1 ? y2

1 2

1 x2 x2 1 2 所以 S?AOB = | 2 x1 || y1 |?| x1 || y1 |?| x1 | 1 ? 1 ? x12 (1 ? 1 ) ? x1 (3 ? x12 ) 2 3 3 3
因为 x12 (3 ? x12 ) ? 所以 S ?AOB

x12 ? (3 ? x12 ) 3 ? , 2 2 3 6 3 ,当且仅当 | x1 |? 时, S ?AOB 取得最大值为 ? 2 2 2

………………7 分

当直线 AB 的斜率不为 0 时,则设 AB 的方程为 y ? kx ? t

? y ? kx ? t ? 所以 ? x 2 ,代入得到 (3k 2 ? 1) x2 ? 6ktx ? 3t 2 ? 3 ? 0 ? y2 ? 1 ?3 ?
当 ? ? 4(9k 2 ? 3 ? 3t 2 ) ? 0 , 方程有两个不同的解 即 3k 2 ? 1 ? t 2 ①

?6kt x ? x2 ?3kt ? 2 , 1 2 2 3k ? 1 3k ? 1 y1 ? y2 t ? 2 所以 , 2 3k ? 1
又 x1 ? x2 ?

…………………8 分

y1 ? y2 1 ? 2 2 ? ? 1 ,化简得到 2 又 3k ? 1 ? 4t x1 ? x2 k 0? 2
代入 ① ,得到 0 ? t ? 4 又原点到直线的距离为 d ?



…………………10 分

|t | k2 ?1
4(9k 2 ? 3 ? 3t 2 ) 3k 2 ? 1

| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2

1 1 |t | 所以 S?AOB = | AB || d |? 1? k2 2 2 k2 ?1
化简得到 S?AOB =

4(9k 2 ? 3 ? 3t 2 ) 3k 2 ? 1
…………………12 分

1 3(4t ? t 2 ) 4

因为 0 ? t ? 4 ,所以当 t ? 2 时,即 k ? ? 综上, ?AOB 面积的最大值为 20.(I)解:法 1:

7 3 时, S ?AOB 取得最大值 3 2
…………………14 分

3 2

1 2 3 ?7 1 2 3 7 1 2 3 7 改变第4列 改变第2行 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 ?2 1 0 ?1 2 ?1 0 1
法 2:

1 2 3 ?7 ?1 2 3 ?7 ?1 2 3 7 改变第1列 改变第4列 ????? ? ????? ? ?2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 ?1

…………………3 分 (II) 每一列所有数之和分别为 2,0, ?2 ,0,每一行所有数之和分别为 ?1 ,1; ① 如果首先操作第三列,则

a a2 ? 1 a ?a 2 2 ? a 1 ? a2 2 ? a a2
则第一行之和为 2 a ? 1 ,第二行之和为 5 ? 2a , 这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数, 所以 a ?

1 5 或a ? 2 2
1 时,则接下来只能操作第一行, 2
?a a 2 2 ? a a2

当a ?

?a 1 ? a 2 2 ? a 1 ? a2

此时每列之和分别为 2 ? 2a,2 ? 2a 2 ,2 ? 2a,2a 2 必有 2 ? 2a 2 ? 0 ,解得 a ? 0, ?1 当a ?

5 时,则接下来操作第二行 2

a a2 ? 1 a ?a 2 a ? 2 a 2 ? 1 a ? 2 ?a 2
此时第 4 列和为负,不符合题意. ②如果首先操作第一行 …………………6 分

?a 1 ? a 2 2 ? a 1 ? a2

a a2 a ? 2 a2

则每一列之和分别为 2 ? 2a , 2 ? 2a 2 , 2a ? 2 , 2a 2 当 a ? 1 时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉 当 a ? 1 时, 2 ? 2a , 2a ? 2 至少有一个为负数, 所以此时必须有 2 ? 2a 2 ? 0 ,即 ?1 ? a ? 1 ,所以 a ? 0 或 a ? ?1 经检验, a ? 0 或 a ? ?1 符合要求 综上: a ? 0, ?1 …………………9 分

(III)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。 证明如下:

记数表中第 i 行第 j 列的实数为 cij( i ? 1,2,?, m; j ? 1,2,?, n ) 各行的数字之和分别为 ,

a1 , a2 ,?, am , 各列的数字之和分别为 b1 , b2 ,?, bn ,A ? a1 ? a2 ? ? ? am ,B ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,
数表中 m ? n 个实数之和为 S ,则 S ? A ? B 。记

K ? min k1ci1 ? k2ci 2 ? ? ? kn cin | kl ? 1或 ? 1(l ? 1,2,?, n)且 k1ci1 ? k2ci 2 ? ? ? kncin ? 0
1?i ?m

T ? min t1c1 j ? t2c2 j ? ? ? tmcmj ts ? 1或 ? 1(s ? 1,2,?, m)且 t1c1 j ? t2c2 j ? ? ? tmcmj ? 0
1? j ?n

?

?

|

?

?

? ? min?K , T ? .
按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起 A (和 B ) 增大,从而也就使得 S 增加,增加的幅度大于等于 2? ,但是每次操作都只是改变数表中某 行(或某列) 各数的符号, 而不改变其绝对值,显然,S 必然小于等于最初的数表中 m ? n 个 实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时,必是所有的行和与 所有的列和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号, S 就又会继续上升,导致 矛盾,故结论成立。 …………………13 分

2013 年北京市西城区高三二模试卷

高三数学(理科)
第Ⅰ (选择题 卷
共 40 分)

2013.5

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1.已知全集 U ? {0,1, 2,3, 4} ,集合 A ? {0,1, 2,3} , B ? {2,3, 4} ,那么 ?U ( A ? B) ? (A) {0,1} (C) {0,1, 4} (B) {2,3} (D) {0,1, 2,3, 4}

2.在复平面内,复数 z1 的对应点是 Z1 (1,1) , z2 的对应点是 Z 2 (1, ?1) ,则 z1 ? z2 ? (A) 1 (B) 2 (C) ? i (D) i

3.在极坐标系中,圆心为 (1, ) ,且过极点的圆的方程是 (A) ? ? 2sin ? (B) ? ? ?2sin ? (C) ? ? 2 cos ? (D) ? ? ?2cos ?

? 2

4.如图所示的程序框图表示求算式“ 2 ? 3 ? 5 ? 9 ?17 ” 之值, 则判断框内可以填入 (A) k ? 10 (B) k ? 16 (C) k ? 22 (D) k ? 34 5.设 a ? 2 2 , b ? 33 , c ? log3 2 ,则
1 1

(A) b ? a ? c (C) c ? b ? a

(B) a ? b ? c (D) c ? a ? b

6.对于直线 m , n 和平面 ? , ? ,使 m ? ? 成立的一个充分条件是 (A) m ? n , n ∥ ?

? (B) m ∥ , ? ? ?

(C) m ? ? , n ? ? , n ? ?

(D) m ? n , n ? ? , ? ? ?

7.已知正六边形 ABCDEF 的边长是 2 ,一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点,则抛物 线的焦点到准线的距离是

(A)

3 4

(B)

3 2

(C) 3

(D) 2 3

8.已知函数 f ( x) ? x ? [ x] ,其中 [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数.若关 于 x 的 方 程

f ( x) ? kx ? k 有三个不同的实根,则实数 k 的取值范围是
1 1 1 2 4 3 1 1 1 (C) [ ? , ? ) ? ( ,1] 3 4 2
(A) [?1, ? ) ? ( , ]

1 1 1 2 4 3 1 1 1 (D) ( ? , ? ] ? [ ,1) 3 4 2
(B) ( ?1, ? ] ? [ , )

第Ⅱ (非选择题 卷

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.右图是甲,乙两组各 6 名同学身高(单位: cm )数据 的茎叶图.记甲,乙两组数据的平均数依次为 x甲 和 x乙 , 则 x甲 ______ x乙 . (填入:“ ? ”,“ ? ”,或“ ? ”) 10. (2 x ? 1)5 的展开式中 x 项的系数是______. (用数字作答)
3

11. 在△ ABC 中,BC ? 2 , AC ? 7 ,B ?

? , AB ? ______; ABC 的面积是______. 则 △ 3

12.如图, AB 是半圆 O 的直径, P 在 AB 的延长线上, PD 与半圆 O 相切于点 C ,

AD ? PD .若 PC ? 4 , PB ? 2 ,则 CD ? ______.

13.在等差数列 {an } 中, a2 ? 5 , a1 ? a4 ? 12 ,则 an ? ______;设 bn ? 则数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ? ______.

1 (n ? N* ) , a ?1
2 n

14.已知正数 a, b, c 满足 a ? b ? ab , a ? b ? c ? abc ,则 c 的取值范围是______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分 13 分)

如图,在直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点是原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边交单 位圆于点 A ,且 ? ? ? , ) .将角 ? 的终边按逆时针方向旋转

? ? 6 2

? ,交单位圆于点 B .记 3

A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) .
(Ⅰ )若 x1 ?

1 ,求 x2 ; 3

(Ⅱ )分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C , D .记△ AOC 的面积为 S1 ,△BOD 的面积为 S2 .若 S1 ? 2S2 ,求角 ? 的值.

16. (本小题满分 13 分) 某超市在节日期间进行有奖促销, 凡在该超市购物满 300 元的顾客, 将获得一次摸奖机 会,规则如下: 奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球,1 个黄球,1 个白球和 1 个黑球.顾客不放 回的每次摸出 1 个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规 定摸到红球奖励 10 元,摸到白球或黄球奖励 5 元,摸到黑球不奖励. (Ⅰ )求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率; (Ⅱ )记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 17. (本小题满分 14 分) 如图 1,四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 底面 ABCD ,面 ABCD 是直角梯形, M 为侧 棱 PD 上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图 2 所示. (Ⅰ )证明: BC ? 平面 PBD ; (Ⅱ )证明: AM ∥ 平面 PBC ; (Ⅲ )线段 CD 上是否存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 所有符合要求的点 N ,并求 CN 的长;若不存在,说明理由.

3 ?若存在,找到 4

18. (本小题满分 13 分) 如图,椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1(0 ? m ? 1) 的左顶点为 A , M 是椭圆 C 上异于点 A 的任意 m

一点,点 P 与点 A 关于点 M 对称. (Ⅰ )若点 P 的坐标为 ( ,

9 4 3 ) ,求 m 的值; 5 5

(Ⅱ )若椭圆 C 上存在点 M ,使得 OP ? OM ,求 m 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

2 3 x ? 2 x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ,其中 a ? R . 3

(Ⅰ )若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ )求 f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最大值和最小值.

20. (本小题满分 13 分) 已 知 集 合 Sn ? { ( x , x ? 1 2 ,

3 , ,n ) 1x ? , n是 正 整 数 1 , 2 , ?, n 的 一 个 排 列 x | 2, x x,

} ( ? 2,函数 n )

?1, x ? 0, g ( x) ? ? ??1, x ? 0.

对于 (a1 , a2 ,…an ) ? Sn ,定义:

bi ? g (ai ? a1 ) ? g (ai ? a2 ) ? ?? g (ai ? ai ?1 ), i ?{2,3,?, n} , b1 ? 0 ,称 bi 为 ai 的满意指
数.排列 b1 , b2 ,?, bn 为排列 a1 , a2 ,?, an 的生成列;排列 a1 , a2 ,?, an 为排列 b1 , b2 ,?, bn 的 母列. (Ⅰ )当 n ? 6 时,写出排列 3,5,1, 4,6, 2 的生成列及排列 0, ?1, 2, ?3, 4,3 的母列;

? ? ? (Ⅱ )证明:若 a1 , a2 ,?, an 和 a1 , a2 ,?, an 为 Sn 中两个不同排列,则它们的生成列也不
同; (Ⅲ )对于 Sn 中的排列 a1 , a2 ,?, an ,定义变换 ? :将排列 a1 , a2 ,?, an 从左至右第一个 满意指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:一定可以经 过有限次变换 ? 将排列 a1 , a2 ,?, an 变换为各项满意指数均为非负数的排列.

北京市西城区 2013 年高三二模试卷

高三数学(理科)参考答案及评分标准
一、1.C; 二、9. ? ; 2.B; 3.A; 10. 80 ; 4.C; 5.D; 6.C; 11. 3 , 7.B; 2013.5 8.B.

3 3 ; 2
4 3

12.

12 ; 5

13. 2n ? 1 ,

n ; 4(n ? 1)

14. (1, ] .

注:11、13 题第一空 2 分,第二空 3 分. 三、15. (本小题满分 13 分)

(Ⅰ )解:由三角函数定义,得 x1 ? cos ? , x2 ? cos(? ? 分 因为 ? ? ? , ) , cos ? ? 所以 sin ? ? 1 ? cos

? ). 3

………………2

? ? 6 2

1 , 3

2

??

2 2 . 3

………………3 分

所以 x2 ? cos(? ? ) ? 分

? 3

1 3 1? 2 6 . cos ? ? sin ? ? 2 2 6
? ). 3

………………5

(Ⅱ )解:依题意得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ? 所以 S1 ? 分

1 1 1 x1 y1 ? cos ? ? sin ? ? sin 2? , 2 2 4

………………7

S2 ?


1 1 ? ? 1 2? | x2 | y2 ? [? cos(? ? )] ? sin(? ? ) ? ? sin(2? ? ) . ……………9 2 2 3 3 4 3

2? ) , 整理得 cos 2? ? 0 . …11 分 3 ? ? ? ? ? ? ? ? , 所以 ? 2? ? ? ,所以 2? ? , 即 ? ? .…13 分 因为 6 2 3 2 4
依题意得 sin 2? ? ?2sin(2? ? 16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解:设“1 名顾客摸球 3 次停止摸奖”为事件 A , 则 P( A) ? ………………1 分

2 1 A3 1 ? ,故 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率为 .…4 分 3 4 A4 4

(Ⅱ )解:随机变量 X 的所有取值为 0,5,10,15, 20 . 分

………………5

P ( X ? 0) ?

1 , 4

P( X ? 5) ?

A2 1 1 A2 1 2 2 ? , P( X ? 10) ? 2 ? 3 ? , A2 6 A4 A4 6 4
………10 分

A3 1 C1 ? A2 1 2 2 P( X ? 15) ? ? , P( X ? 20) ? 3 ? . 3 A4 4 A4 6 4
所以,随机变量 X 的分布列为:

X P

0

5

10

15

20

1 4

1 6

1 6

1 6

1 4

………………1 1分

1 1 1 1 1 EX ? 0 ? ? 5 ? ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 10 . 4 6 6 6 4
分 17. (本小题满分 14 分) 【方法一】 )证明:由俯视图可得, BD ? BC ? CD , (Ⅰ
2 2 2

………………13

所以 BC ? BD .……1 分又因为 PD ? 平面 ABCD , 所以 BC ? PD …3 分所以 BC ? 平面 PBD .………4 分 (Ⅱ )证明:取 PC 上一点 Q ,使 PQ : PC ? 1: 4 ,连结 MQ , BQ . 分 ………………5

CD 由左视图知 PM : PD ? 1 : 4 ,所以 MQ ∥ , MQ ?


1 CD . 4

………………6

? ? 在△BCD 中,易得 ?CDB ? 60 ,所以 ?ADB ? 30 .又 BD ? 2 , 所以 AB ? 1 ,

AD ? 3 .
CD 又因为 AB ∥ , AB ?

1 CD ,所以 AB ∥ MQ , AB ? MQ . 4
………………8

BQ 所以四边形 ABQM 为平行四边形,所以 AM ∥ .
分 因为 AM ? 平面 PBC , BQ ? 平面 PBC , 所以 直线 AM ∥ 平面 PBC . 分 (Ⅲ )解:线段 CD 上存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 分

………………9

3 .证明如下:………10 4

因为 PD ? 平面 ABCD , DA ? DC ,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz . 所以 D(0,0,0), A( 3,0,0), B( 3,1,0),C(0,4,0), M (0,0,3) . 设 N (0, t ,0) ,其中

0 ? t ? 4 .…11 分

所以 AM ? (? 3,0,3) , BN ? (? 3, t ? 1,0) .

???? ???? ? 3 | AM ? BN | 3 ? 要使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 ,则有 ???? ???? ? , 4 | AM || BN | 4
分 所以

………………12

|3| 2 3 ? 3 ? (t ? 1) 2

?

3 ,解得 t ? 0 或 2 ,均适合 0 ? t ? 4 . ………………13 4

分 故点 N 位于 D 点处,此时 CN ? 4 ;或 CD 中点处,此时 CN ? 2 ,有 AM 与 BN 所 成角的余弦值为

3 . …14 分 4

18. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解:依题意, M 是线段 AP 的中点,因为 A(?1, 0) , P( ,

9 4 3 ), 5 5

所以 点 M 的坐标为 ( , 由点 M 在椭圆 C 上,

2 2 3 ) .………………2 分 5 5
所以

4 12 4 ? ? 1 ,………4 分解得 m ? . 25 25m 7


…5 分

(Ⅱ )解:设 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ?
2

2 y0 ? 1 ,且 ?1 ? x0 ? 1. m

………………6

分 因为 M 是线段 AP 的中点,所以 P(2x0 ? 1, 2 y0 ) .…7 分 因为 OP ? OM ,所以 x0 (2x0 ? 1) ? 2 y02 ? 0 . 由 ① ,②消去 y0 ,整理得 m ? 分 所以 m ? 1 ?
2 2 x0 ? x0 . 2 2 x0 ? 2



…8 分

………………10

1 6 2( x0 ? 2) ? ?8 x0 ? 2

?

1 3 , ? 2 4

………………12



当且仅当 x0 ? ?2 ? 3 时, 上式等号成立. 所以 m 的取值范围是 (0, 分 19.(本小题满分 14 分) (Ⅰ )解: f ( x ) 的定义域为 R , 且 f ?( x) ? 2x2 ? 4x ? 2 ? a . 分 当 a ? 2 时, f (1) ? ?

1 3 …13 ? ]. 2 4

………………2

1 , f ?(1) ? ?2 , 3

所 以 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 1 ,f

( 1处 的 切 线 方 程 为 ))

y?

1 ? ?2( x ? 1) , 即 3

6 x ? 3 y ? 5 ? 0 .4 分
(Ⅱ )解:方程 f ?( x) ? 0 的判别式为 ? ? 8a . (ⅰ )当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在区间 (2,3) 上单调递增,所以 f ( x ) 在区 间 [2,3] 上的最小值是 f (2) ? 分 (ⅱ )当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 ?

7 ? 2a ;最大值是 f (3) ? 7 ? 3a . 3

………………6

2a 2a ,或 x2 ? 1 ? . 2 2

f ( x) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x)
(??, x1 )
x1

( x1 , x2 )

x2
0

( x2 , ? ?)

?


0

?


?


f ( x)

故 f ( x ) 的 单 调 增 区 间 为 (??, 1 ?

2a 2a ) , (1 ? , ?? ) ; 单 调 减 区 间 为 2 2

(1 ?

2a 2a ,1 ? ). 2 2
…8 分

①当 0 ? a ? 2 时, x2 ? 2 ,此时 f ( x ) 在区间 (2, 3) 上单调递增,所以 f ( x ) 在区间

[2, 3]
上的最小值是 f (2) ? 分 ② 当 2 ? a ? 8 时, x1 ? 2 ? x2 ? 3 ,此时 f ( x ) 在区间 (2, x2 ) 上单调递减,在区间

7 ? 2a ; 最大值是 f (3) ? 7 ? 3a . 3

………………10

( x2 , 3) 上单调递增,
所以 f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 f ( x2 ) ? 分 因为 f (3) ? f (2) ? 所以 当 2 ? a ?

5 a 2a . ?a? 3 3

………………11

14 ?a , 3

14 ] 时 , f ( x ) 在 区 间 [ 2 , 3 上 的 最 大 值 是 f (3) ? 7 ? 3a ; 当 3

14 ?a?8 时 3 7 f (2) ? ? 2a . 3



f ( x)







[2,3]













………………12 分

③当 a ? 8 时, x1 ? 2 ? 3 ? x2 ,此时 f ( x ) 在区间 (2,3) 上单调递减, 所以 f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 f (3) ? 7 ? 3a ; 最大值是 f (2) ? 分 综上, 当 a ? 2 时, f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 当2 ? a ?

7 ? 2a . ………………14 3

7 ? 2 a ,最大值是 7 ? 3a ; 3

14 5 a 2a 时, f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 ? a ? , 最大值是 7 ? 3a ; 3 3 3



14 7 5 a 2a ? a ? 8 时,f ( x) 在区间 [2,3] 上的最小值是 ? a ? , 最大值是 ? 2 a ; 3 3 3 3

当 a ? 8 时, f ( x ) 在区间 [2,3] 上的最小值是 7 ? 3a ,最大值是 20.(本小题满分 13 分)

7 ? 2a . 3

(Ⅰ )解:当 n ? 6 时,排列 3,5,1, 4,6, 2 的生成列为 0,1, ?2,1, 4, ?3 ; 分 排列 0, ?1, 2, ?3, 4,3 的母列为 3, 2, 4,1,6,5 . 分

………………2

………………3

? ? ? ? ? ? (Ⅱ 证明: a1 , a2 ,?, an 的生成列是 b1 , b2 ,?, bn ;a1 , a2 ,?, an 的生成列是与 b1 , b2 ,?, bn . ) 设 ? ? ? ? 从右往左数,设排列 a1 , a2 ,?, an 与 a1 , a2 ,?, an 第一个不同的项为 ak 与 ak ,即: ? ? ? ? an ? an , an?1 ? an?1 , ? , ak ?1 ? ak ?1 , ak ? ak . ? ? ? ? 显然 bn ? bn , bn?1 ? bn?1 ,? , bk ?1 ? bk ?1 ,下面证明: bk ? bk .
分 由满意指数的定义知,ai 的满意指数为排列 a1 , a2 ,?, an 中前 i ? 1 项中比 ai 小的项的 个数减去比 ai 大的项的个数. 由于排列 a1 , a2 ,?, an 的前 k 项各不相同, 设这 k 项中有 l 项比 ak 小, 则有 k ? l ? 1 项 比 ak 大,从而 bk ? l ? (k ? l ?1) ? 2l ? k ? 1. ………………5

? ? ? ? ? 同 理 , 设 排 列 a1 , a2 ,?, an 中 有 l ? 项 比 ak 小 , 则 有 k ? l ? ? 1 项 比 ak 大 , 从 而 ? bk ? 2l ? ? k ? 1 . ? ? ? ? 因为 a1 , a2 ,?, ak 与 a1 , a2 ,?, ak 是 k 个不同数的两个不同排列,且 ak ? ak , ? 所以 l ? l ? , 从而 bk ? bk . ? ? ? 所以排列 a1 , a2 ,?, an 和 a1 , a2 ,?, an 的生成列也不同.
分 (Ⅲ )证明:设排列 a1 , a2 ,?, an 的生成列为 b1 , b2 ,?, bn ,且 ak 为 a1 , a2 ,?, an 中从左至右 第 一 个 满 意 指 数 为 负 数 的 项 , 所 以 ………………8

b1 ? 0, b2 ? 0,?, bk ?1 ? 0, bk ? ?1 .

………………9 分

进行一次变换 ? 后,排列 a1 , a2 ,?, an 变换为 ak , a1 , a2 ,?ak ?1 , ak ?1 ,?, an ,设该排列

? ? ? 的生成列为 b1 , b2 ,?, bn . ? ? ? 所以 (b1 ? b2 ? ?? bn ) ? (b1 ? b2 ? ?? bn )

? [ g (a1 ? ak ) ? g (a2 ? ak ) ? ?? g (ak ?1 ? ak )] ? [ g (ak ? a1 ) ? g (ak ? a2 ) ? ?? g (ak ? ak ?1 )] ? ? [g (k ? 1 ) ? g (a ?2 a ? ? gk( a ? k 1a ) ] 2 a a )? ? k ? ?2bk ? 2 .
分 因此,经过一次变换 ? 后,整个排列的各项满意指数之和将至少增加 2 . 因为 ai 的满意指数 bi ? i ? 1 ,其中 i ? 1, 2,3,?, n , 所以,整个排列的各项满意指数之和不超过 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? 即整个排列的各项满意指数之和为有限数, 所以经过有限次变换 ? 后,一定会使各项的满意指数均为非负数. ………………13 分 ………………11

(n ? 1)n , 2

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试(理工类)
2013.5 (考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.

(1)已知集合 M ? ?0,1,3? ,集合 N ? x x ? 3a, a ? M ,则 M ? N = A. ?0? (2)若 B. ?0,3?
2

?

?

C. ?1,3,9?

D.

?0,1,3,9?

? (x
0

1

? mx)dx ? 0 ,则实数 m 的值为
B. ?

A. ?

1 3

2 3

C. ?1

D. ?2

(3)执行如图所示的程序框图.若输出的结果是 16 ,则判断框内的条件是 A. n ? 6 ? B. n ? 7 ? C. n ? 8 ? D. n ? 9 ? 开始

S=0

1

n=1
正视图

1

侧视图

1

S=S+n

n=n+2 否
俯视图

是 输出 S

(第 3 题图) 结束 (第 3 题图)

(第 5 题图)

(4)若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x2 ? 2 有公共点,则此双曲 a 2 b2
B. (3, ??)

线的离心率的取值范围是 A. [3, ??) C. (1,3] D. (1,3)

(5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为 A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D. 1

(6)某岗位安排 3 名职工从周一到周五值班,每天只安排一名职工值班,每人至少安排一 天,至多

安排两天,且这两天必须相邻,那么不同的安排方法有 A. 10 种 B. 12 种 C. 18 种 (7) 已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? 1(a ? 0) , 定义函数 F ( x) ? ?
x

D. 36 种

? f ( x), x ? 0, 给出下列命题: ?? f ( x), x ? 0.

① ( x) ? f ( x) ; ② 函数 F ( x ) 是奇函数;③ a ? 0 时,若 mn ? 0 , m ? n ? 0 ,总有 当 F

F (m) ? F (n) ? 0 成立,其中所有正确命题的序号是
A.② B.① ② C.③ D.② ③

(8)点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的底面 A1B1C1D1 上一点,则 PA? 1 的 PC 取值范围是 A. [ ?1, ? ]

??? ???? ? ?

1 4

B. [ ?

1 1 ,? ] 2 4

C. [?1,0]

D. [ ?

1 , 0] 2

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. (9) i 为虚数单位,计算

3?i ? 1? i



(10) 若直线 l 与圆 C : ?

? x ? 2cos ? , ( ? 为参数) 相交于 A ,B 两点, ? y ? ?1 ? 2sin ?


且弦 AB 的中点坐标是 (1, ?2) , 则直线 l 的倾斜角为

(11) 如图,PC 切圆 O 于点 C , 割线 PAB 经过圆心 O ,PC ? 4, PB ? 8 , 则 tan ?COP ? ,△OBC 的面积是 . (12)某公司一年购买某种货物 600 吨,每次都购买 x 吨,运费为 3 万元/次,一年的总存 储费用为 2x 万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买 吨.

?3 x ? 4 y ? 19, ? (13 将一个质点随机投放在关于 x , y 的不等式组 ? x ? 1, 所构成的三角形区域内, 则 ?y ?1 ?
该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于 1 的概率是
n n


n ?

(14)数列 {2 ? 1} 的前 n 项 1,3,7,?, 2 ?1 组成集合 An ? {1,3,7,?, 2 ?1}(n ?N ) ,从 集合 An 中任取 k (k ? 1, 2,3,? , n ) 个数,其所有可能的 k 个数的乘积的和为 Tk (若只 取一个数, 规定乘积为此数本身) 记 Sn ? T1 ? T2 ? ? ? Tn . , 例如当 n ? 1 时,A ? {1} , 1

T1 ? 1,S1 ? 1 ;当 n ? 2 时, A2 ? {1,3} ,T1 ? 1 ? 3 ,T2 ? 1? 3 ,S2 ? 1 ? 3 ? 1? 3 ? 7 .
则当 n ? 3 时, S3 ? ;试写出 Sn ? .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本小题满分 13 分) 在△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且

f ( A) ? 2 cos

A A A A sin(? ? ) ? sin 2 ? cos 2 . 2 2 2 2

(Ⅰ )求函数 f ( A) 的最大值; (Ⅱ )若 f ( A) ? 0, C ?

?? , a ? 6 ,求 b 的值. 12

(16) (本小题满分 14 分) 如 图 , 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 , EA ? 平 面 A B C D EA ? PD , ,

AD ? PD ? 2 EA ? 2 , F ,G , H 分别为 PB , EB , PC
的中点. (Ⅰ )求证: FG ? 平面 PED ; (Ⅱ )求平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小; (Ⅲ )在线段 PC 上是否存在一点 M ,使直线 FM 与直线 E

P

H F D G A B C

PA 所成的角为 60? ?若存在,求出线段 PM 的长;若
不存在,请说明理由.

(17) (本小题满分 13 分) 为提高学生学习数学的兴趣, 某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有 90 分, 70 分,60 分,40 分,30 分五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机 抽取了 30 名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据表: 成绩等级 成绩(分) 人数(名) A 90 4 B 70 6 C 60 10 D 40 7 E 30 3

(Ⅰ )根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人,其 成绩等级为“ A 或 B ”的概率; (Ⅱ )根据(Ⅰ )的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选 3 人, 记 X 表示抽到成绩等级为“ A 或 B ”的学生人数,求 X 的分布列及其数学期望 EX ; (Ⅲ )从这 30 名学生中,随机选取 2 人,求“这两个人的成绩之差大于 20 分”的概率.

(18) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

mx ? 1 ( m ? 0 ) g () ? e 2( ax a) , x x ?R . x2 ? 1

(Ⅰ )求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )当 m ? 0 时,若对任意 x1 , x2 ?[0, 2] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求 a 的取值范围.

(19) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C : 且 FB1 ? FB2 ? ?a . (Ⅰ )求椭圆 C 的方程; (Ⅱ )过点 F 且斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 交椭圆于 M , N 两点,弦 MN 的垂直平分线与 x 轴

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) ,短轴的端点分别为 B1, B2 , a 2 b2

???? ???? ?

相交于点 D .设弦 MN 的中点为 P ,试求

DP MN

的取值范围.

(20) (本小题满分 13 分) 已 知 实 数 x1 , x2 ,?, xn ( n ? 2 ) 满 足 | xi |? 1(i ? 1, 2,3,?, n) , 记

S ( x1 , x2 ,?, xn ) ?

1?i ? j ?n

?

xi x j .

(Ⅰ )求 S ( ?1,1, ? ) 及 S (1,1, ?1, ?1) 的值;

2 3

(Ⅱ )当 n ? 3 时,求 S ( x1 , x2 , x3 ) 的最小值; (Ⅲ )求 S ( x1 , x2 ,?, xn ) 的最小值. 注:

1?i ? j ? n

?

xi x j 表示 x1 , x2 ,?, xn 中任意两个数 xi , x j ( 1 ? i ?

j ? n )的乘积之和.

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试答案(理工类)
2013.5 一、选择题: 题号 答案 (1) D (2) B (3) C (4) A (5) A (6) C (7) D (8) D

二、填空题: 题 (9) 号 答 案

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

2?i

? 4

4 3

18 5

30

1?

? 12

63

2

n ( n?1) 2

?1

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解: )因为 f ( A) ? 2 cos (Ⅰ

A A A A sin ? sin 2 ? cos 2 2 2 2 2 ? ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) . 4

因为 A 为三角形的内角,所以 0 ? A ? ? ,

? ? ?? ? A? ? . 4 4 4 ? ? 3? 所以当 A ? ? ,即 A ? 时, f ( A) 取得最大值,且最大值为 2 . ………6 分 4 4 2 ? ? (Ⅱ )由题意知 f ( A) ? 2 sin( A ? ) ? 0 ,所以 sin( A ? ) ? 0 . 4 4 ? ? ?? ? ? 又因为 ? ? A ? ? ,所以 A ? ? 0 ,所以 A ? . 4 4 4 4 4 ?? ? 又因为 C ? ,所以 B ? . 12 3 ? 6 ? sin a b a sin B 3 ? 3. ? 由正弦定理 得, b ? …………13 分 ? ? sin A sin B sin A sin 4
所以 ? (16) (本小题满分 14 分) (Ⅰ )证明:因为 F , G 分别为 PB , BE 的中点, 所以 FG ? PE . 又 FG ? 平面 PED , PE ? 平面 PED , 所以 FG ? 平面 PED . (Ⅱ )因为 EA ? 平面 ABCD , EA ? PD , 所以 PD ? 平面 ABCD , 所以 PD ? AD , PD ? CD . 又因为四边形 ABCD 是正方形, 所以 AD ? CD . 如图,建立空间直角坐标系, E D G A x B F C
y

…………4 分

z P

H

因为 AD ? PD ? 2 EA ? 2 , 所以 D ? 0,0,0? , P ? 0,0,2? , A ? 2,0,0? ,

C ? 0,2,0? , B ? 2,2,0? , E (2, 0,1) .
…………5 分 因为 F , G , H 分别为 PB , EB , PC 的中点, 所以 F ?1,1,1? , G (2,1, ) , H (0,1,1) . 所以 GF ? ( ?1, 0, ) , GH ? ( ?2, 0, ) .

1 2

??? ?

1 2

????

1 2

1 ? ??? ? ?n1 ? GF ? 0 ? ? x1 ? 2 z1 ? 0 ? ? 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 FGH 的一个法向量,则 ? ,即 ? , ???? ?n1 ? GH ? 0 ? ?2 x ? 1 z ? 0 ? 1 1 ? ? 2
再令 y1 ? 1 ,得 n1 ? (0,1,0) . PB ? (2, 2, ?2) , PC ? (0, 2, ?2) .

??? ?

??? ?

??? ? ?n2 ? PB ? 0 ? 设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 为平面 PBC 的一个法向量,则 ? , ??? ? n2 ? PC ? 0 ? ?
即?

?2 x2 ? 2 y2 ? 2 z2 ? 0 ,令 z2 ? 1 ,得 n2 ? (0,1,1) . ?2 y2 ? 2 z2 ? 0
n1 ? n2 2 = . 2 n1 ? n2
? . 4
…………9 分
?

所以 cos n1 , n2 =

所以平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为

(Ⅲ )假设在线段 PC 上存在一点 M ,使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60 . 依题意可设 PM ? ? PC ,其中 0 ? ? ? 1 . 由 PC ? (0, 2, ?2) ,则 PM ? (0, 2?, ?2?) . 又因为 FM ? FP ? PM , FP ? (?1, ?1,1) ,所以 FM ? (?1, 2? ?1,1 ? 2? ) . 因为直线 FM 与直线 PA 所成角为 60 , PA ? (2,0, ?2) ,
?

???? ?

??? ?

??? ?

???? ?

???? ?

??? ???? ??? ? ? ?

???? ?

??? ?

所以 cos FM , PA =

???? ??? ? ?

?2 ? 2 ? 4? 1 1 5 ,即 ? ,解得 ? ? . 2 8 2 2 2 ? 1 ? 2(2? ? 1) 2

所以 PM ? (0, , ? ) , PM ?

???? ?

5 4

5 4

???? ?

5 2 . 4

所以在线段 PC 上存在一点 M ,使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60 ,此时 PM ?
?

5 2 . 4

………………………………………14 分 (17) (本小题满分 13 分) 解: )根据统计数据可知,从这 30 名学生中任选一人,分数等级为“ A 或 B ”的频率为 (Ⅰ

4 6 10 1 ? ? ? . 30 30 30 3
从本地区小学生中任意抽取一人,其“数独比赛”分数等级为“ A 或 B ”的概率约为

1 .……………………………………………………………………………………3 分 3 (Ⅱ )由已知得,随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3. 2 3 8 0 1 0 所以 P ( X ? 0) ? C3 ( ) ? ( ) ? ; 3 3 27 2 12 4 1 1 P( X ? 1) ? C3 ( )1 ? ( ) 2 ? ? ; 3 3 27 9 1 2 6 2 P( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ? ( )1 ? ? ; 3 3 27 9 2 1 3 1 P( X ? 3) ? C3 ( )3 ? ( ) 0 ? . 3 3 27 随机变量 X 的分布列为 0 1 2 3 X 8 4 2 1 P 27 9 9 27 8 12 6 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?1 . 所以 EX ? 0 ? 27 27 27 27

……………9 分

(Ⅲ )设事件 M:从这 30 名学生中,随机选取 2 人,这两个人的成绩之差大于 20 分. 设从这 30 名学生中,随机选取 2 人,记其比赛成绩分别为 m, n .
2 显然基本事件的总数为 C30 .

不妨设 m ? n ,
1 1 1 1 当 m ? 90 时, n ? 60 或 40 或 30 ,其基本事件数为 C4 ? (C10 ? C7 ? C3 ) ; 1 1 1 当 m ? 70 时, n ? 40 或 30 ,其基本事件数为 C6 ? (C7 ? C3 ) ;

当 m ? 60 时, n ? 30 ,其基本事件数为 C10 ? C3 ;
1 1

所以 P( M ) ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 C4 ? (C10 ? C7 ? C3 ) ? C6 ? (C7 ? C3 ) ? C10 ? C3 34 ? . 2 C30 87

所以从这 30 名学生中,随机选取 2 人,这两个人的成绩之差大于 20 分的概率为

34 . 87

……………13 分

(18) (本小题满分 1 3 分) 解: )函数 f ( x ) 的定义域为 R , f ?( x) ? (Ⅰ

m(1 ? x2 ) m(1 ? x)(1 ? x) .…………1 分 ? ( x2 ? 1)2 ( x2 ? 1)2

① m ? 0 时,当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表: 当

x
f ?( x )
f ( x)

(??, ?1)

(?1,1)

(1, ??)

?
?

?
?

?
?

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (?1,1) ,单调递减区间是 (??, ?1) , (1, ??) . …………3 分 ② m ? 0 时,当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表: 当

(??, ?1)

x
f ?( x ) f ( x)

(?1,1)

(1, ??)

?
?

?
?

?
?

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (??, ?1) , (1, ??) ,单调递减区间是 (?1,1) . ……………5 分 (Ⅱ 依题意, m ? 0 时, ) “当 对于任意 x1 , x2 ?[0, 2] ,f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立”等价于 “当 m ? 0 时,对于任意 x ? [0, 2] , f ( x)min ? g ( x)max 成立”. 当 m ? 0 时,由(Ⅰ )知,函数 f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增,在 [1, 2] 上单调递减, 因为 f (0) ? 1 , f (2) ?

2m ? 1 ? 1 ,所以函数 f ( x) 的最小值为 f (0) ? 1 . 5

所以应满足 g ( x)max ? 1. ……………………………………………………………6 分

因为 g ( x) ? x e ,所以 g ?( x) ? (ax + 2 x)e .
2 ax 2 ax 2 ① a ? 0 时,函数 g ( x) ? x , ?x ? [0, 2] , g ( x)max ? g (2) ? 4 , 当

……………7 分

显然不满足 g ( x)max ? 1,故 a ? 0 不成立. ② a ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 得, x1 ? 0 , x2 ? ? 当 (ⅰ )当 ?

……………8 分

2 . a

2 ? 2 ,即 ?1 ? a ? 0 时, a

在 [0, 2] 上 g ?( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在 [0, 2] 上单调递增, 所以函数 g ( x)max ? g (2) ? 4e2a . 由 4e
2a

? 1 得, a ? ? ln 2 ,所以 ?1 ? a ? ? ln 2 .

……………10 分

2 ? 2 ,即 a ? ?1 时, a 2 2 在 [0, ? ) 上 g ?( x) ? 0 ,在 ( ? , 2] 上 g ?( x) ? 0 , a a 2 2 所以函数 g ( x) 在 [0, ? ) 上单调递增,在 ( ? , 2] 上单调递减, a a 2 4 所以 g ( x) max ? g ( ? ) ? 2 2 . a ae 4 2 由 2 2 ? 1 得, a ? ? ,所以 a ? ?1 . ……………11 分 e ae 2 (ⅲ )当 ? ? 0 ,即 a ? 0 时,显然在 [0, 2] 上 g ?( x) ? 0 , a
(ⅱ )当 0 ? ? 函数 g ( x) 在 [0, 2] 上单调递增,且 g ( x)max ? g (2) ? 4e2a . 显然 g ( x)max ? 4e 2a ? 1 不成立,故 a ? 0 不成立. 综上所述, a 的取值范围是 (??, ? ln 2] . (19) (本小题满分 14 分) 解: )依题意不妨设 B1 (0, ?b) , B2 (0, b) ,则 FB1 ? (?1, ?b) , FB2 ? (?1, b) . (Ⅰ 由 FB1 ? FB2 ? ?a ,得 1 ? b ? ?a .又因为 a ? b ? 1 ,
2 2 2

……………12 分 ……………13 分

????

???? ?

???? ???? ?

解得 a ? 2, b ? 3 .

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 3

?????4 分

(Ⅱ)依题直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1), ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . ?1 ? ? ? 4 3
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x1 x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

????6 分

所以弦 MN 的中点为 P( 所以 MN ?

4k 2 ?3k , ). 2 3 ? 4k 3 ? 4 k 2

?????7 分

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

? (k 2 ? 1)[

64k 4 4(4k 2 ? 12) ? ] (3 ? 4k 2 )2 3 ? 4k 2
?????9 分

?

12(k 2 ? 1) . 4k 2 ? 3

3k 1 4k 2 ? ? (x ? 2 ), 直线 PD 的方程为 y ? 4k 2 ? 3 k 4k ? 3
由 y ? 0 ,得 x ?

k2 k2 ,0) , ,则 D( 2 4k 2 ? 3 4k ? 3
????11 分

所以 DP ?

3 k 2 (k 2 ? 1) . 4k 2 ? 3

3 k 2 (k 2 ? 1) DP k2 1 1 4k 2 ? 3 ? 1 ? 所以 . ? 1? 2 2 2 12(k ? 1) MN 4 k ?1 4 k ?1 4k 2 ? 3
又因为 k ? 1 ? 1 ,所以 0 ?
2

?????12 分

1 ?1 . k ?1
2

所以 0 ?

1 1 1 1? 2 ? . 4 k ?1 4
的取值范围是 (0, ) .

所以

DP MN

1 4

???????????????14 分

(20) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知得 S (?1,1, ? ) ? ?1 ?

2 3

2 2 ? ? ?1 . 3 3
?????3 分

S (1,1, ?1, ?1) ? 1 ?1 ?1 ?1 ?1 ? 1 ? ?2 .

(Ⅱ)设 S ? S ( x1 , x2 , x3 ) . 当 n ? 3 时, S ? S ( x1 , x2 , x3 ) ?

1?i ? j ?3

?

xi x j ? x1x2 ? x1x3 ? x2 x3 .

若固定 x2 , x3 ,仅让 x1 变动,此时 S ? x1 x2 ? x1x3 ? x2 x3 ? ( x2 ? x3 ) x1 ? x2 x3 , 因此 S ? min{S (1, x2 , x3 ), S (?1, x2 , x3 )} . 同理 S (1, x2 , x3 ) ? min{S (1,1, x3 ), S (1, ?1, x3 )} .

S (?1, x2 , x3 ) ? min{S (?1,1, x3 ), S (?1, ?1, x3 )} .
以此类推,我们可以看出,S 的最小值必定可在某一组取值 ?1 的 x1 , x2 , x3 所达到, 于是 S ? min{S ( x1 , x2 , x3 )} .
xk ??1 k ?1,2,3

1 2 2 [( x1 ? x2 ? x3 ) 2 ? ( x12 ? x2 ? x3 )] 2 1 3 ? ( x1 ? x2 ? x3 ) 2 ? . 2 2 1 3 S 因为 | x1 ? x2 ? x3 |? 1 , 所以 S ? ? ? ?1 , 且当 x1 ? x2 ? 1 , 3 ? ?1 时, ? ?1 . x 2 2
当 xk ? ?1( k ? 1, 2,3 )时, S ? 因此 Smin ? ?1. (Ⅲ)设 S ? S ( x1 , x2 ,?, xn ) ? ?????8 分

1?i ? j ?n

?

xi x j

? x1x2 ? x1x3 ? ? ? x1 xn ? x2 x3 ? ?? x2 xn ? ?? xn?1xn .
固定 x2 , x3 ,?, xn ,仅让 x1 变动,此时

S ? ( x2 ? x3 ? ?? xn ) ? x1 ? ( x2 x3 ? ?? x2 xn ? ?? xn?1xn ) ,
因此 S ? min{S (1, x2 , x3 ,?, xn ), S (?1, x2 , x3 ,?, xn )} . 同理 S (1, x2 , x3 ,?, xn ) ? min{S (1,1, x3 ,?, xn ), S (1, ?1, x3 ,?, xn )} .

S (?1, x2 , x3 ,?, xn ) ? min{S (?1,1, x3 ,?, xn ), S (?1, ?1, x3 ,?, xn )} .
以此类推, 我们可以看出,S 的最小值必定可在某一组取值 ?1 的 x1 , x2 ,?, xn 所达 到,于是 S ? min {S ( x1 , x2 ,? , xn )} .
xk ??1 k ?1,2,?, n

当 xk ? ?1( k ? 1, 2,?, n )时, S ?

1 2 2 [( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 2 ? ( x12 ? x2 ? ? ? xn )] 2

?
①当 n 为偶数时, S ? ?

1 n ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) 2 ? . 2 2

n , 2
?1

若取 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1, n x
2 2

? xn
2

?2

n n 则 所以 ? ? ? xn ? ?1 , S ? ? , S min ? ? . 2 2

②当 n 为奇数时,因为 | x1 ? x2 ? ? ? xn |? 1 ,所以 S ? ? 若取 x1 ? x2 ? ? ? xn?1 ? 1 , xn?1
2 2

1 ( n ? 1) , 2

1 ? xn?1 ? ? ? xn ? ?1 ,则 S ? ? ( n ? 1) , ?1 ?2 2 2
??????????13 分

所以 S min ? ?

1 (n ? 1) . 2

北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(二) 数学 (理科) 2013.05
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分.考试 时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题

共 40 分)

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1、 已知集合 A ? ?x | x ? x ? 1? ? 0 , ?R? , B ? ?x | ?2 ? x ? 2 ,x ?R? ,那么集合 A ? B x 是( A. ? C. ?x | ?2 ? x ? 2 ,x ?R? ) B. ?x | 0 ? x ? 1,x ?R? D. ?x | ?2 ? x ? 1,x ?R?
频率 组距 0.054

2、 如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图, 其 中 成 绩 分 组 区 间 是 : ? 40 , ? , ?50 , ? , ?60 , ? , 50 60 70
100 ?70 ,80? , ?80 ,90? , ?90 , ? ,则图中 x 的值等于(


x 0.01 0.006 0

A. 0.754 B. 0.048 ? C. 0.018 D. 0.012 3、 已知圆的极坐标方程是 ? ? 2cos? ,那么该圆的直角坐标方程 是( )
2

成绩 40 50 60 70 80 90 100

A. ? x ? 1? ? y 2 ? 1 C. ? x ? 1? ? y 2 ? 1
2

B. x2 ? ? y ? 1? ? 1
2

D. x2 ? y 2 ? 2 新课 标第 一 网

4、 已知一个三棱锥的三视图如图所示, 其中三个视图都是直角三角形, 正(主)视图 侧(左)视图 则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( ) A.1 俯视图 B.2 开始 C.3 D.4 输入x 5、 阅读程序框图,运行相应的程序,当输入 x 的值为 ? 25 时,输出 x 的值为 否 ( ) x >1 A. 1 是 x= x 1 B. 2 C. 3 D. 4
?π ? 3 6、 已知 sin ? ? x ? ? ,那么 sin 2x 的值为( ?4 ? 5
x =3x +1


输出 x

A.

3 25

B.

7 25

C.

9 25

D.

18 http://www .xkb1 .com 25

结束

7、 过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点的直线交抛物线于 A , B 两点,若 AB ? 10 ,则 AB 的中点 到 y 轴的距离等于( A. 1 B. 2 ) C. 3 D. 4

8、 已知函数 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? ? ??, ? 时, f ? x ? ? xf ? ? x ? ? 0 0 (其中 f ? ? x ? 是 f ? x ? 的导函数) ,若 a ? 30.3 ? f 30.3 , b ? ? log? 3? ? f ? log? 3? ,
1? ? 1? ? c ? ? log 3 ? ? f ? log 3 ? ,则 a , b , c 的大小关系是( 9? ? 9? ? A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b

? ? ? ?

) D. a ? c ? b

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ? ? ? ? 9、 已知向量 a ? ? 2 , 3? , b ? ?1, ? ,若 a ∥ b ,则 ? ? ________. ? ? 10、 若复数

a?i 是纯虚数,则实数 a 的值为________. 1? i

11、 各项均为正数的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 2 , S4 ? 5S2 ,则 a1 的值为 ________, S4 的值为________. 12、 如图, AB 为⊙ O 的直径, AC 切⊙ O 于点 A ,且过点 C 的割线
CMN 交 AB 的延长线于点 D ,若 CM ? MN ? ND , AC ? 2 2 ,
A O

B 则 CM ? ________, AD ? ________. D M N 13、 5 名志愿者到 3 个不同的地方参加义务植树,则每个地方至少有 一名志愿者的方案共有________种. a a 14、 在数列 ?an ? 中,若对任意的 n ? N* ,都有 n ? 2 ? n ?1 ? t( t 为常数) ,则称数列 ?an ? an ?1 an

C

为比等差数列, t 称为比公差.现给出以下命题: ①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;新 课 标 第 一 网 1 2n?1 ②若数列 ?an ? 满足 an ? 2 ,则数列 ?an ? 是比等差数列,且比公差 t ? ; 2 n ③若数列 ?cn ? 满足 c1 ? 1 , c2 ? 1 , cn ? cn ?1 ? cn ? 2 ( n ≥ 3 ) ,则该数列不是比等差数 列; ④若 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是等比数列,则数列 ?anbn ? 是比等差数列. 其中所有真命题的序号是________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15、 (本小题共 13 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x

?

3 cos x ? sin x .

?

⑴ 求 f ? x ? 的最小正周期;
2π ? ? ⑵ 当 x ? ? 0 , ? 时,求 f ? x ? 的取值范围. 3 ? ?

16、 (本小题共 13 分) 某校高三年级同学进行体育测试,测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级.测试 结果如下表: (单位:人) 优秀 男 女
180 120

良好
70

合格
20 30

a

按优秀、良好、合格三个等级分层,从中抽取 50 人,其中成绩为优的有 30 人. ⑴ 求 a 的值; ⑵ 若用分层抽样的方法,在合格的同学中按男女抽取一个容量为 5 的样本,从中 任选 2 人,记 X 为抽取女生的人数,求 X 的分布列及数学期望.k B 1 . c o m

17、 (本小题共 14 分) 如图, △ BCD 是等边三角形, AB ? AD , ?BAD ? 90? ,将 △ BCD 沿 BD 折叠到 △ BC ?D 的位置,使得 AD ? C ?B . ⑴ 求证: AD ? AC ? ; ⑵ 若 M , N 分别是 BD , C ?B 的中点,求二面角 N ? AM ? B 的余弦值.
A
C

B

D
N A D M

C

B

18、 (本小题共 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ?

a (a ? 0) . x

⑴ 求 f ? x ? 的单调区间; ⑵ 如果 P ? x0 ,y0 ? 是曲线 y ? f ? x ? 上的任意一点, 若以 P ? x0 ,y0 ? 为切点的切线的

1 斜率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的最小值; 2

⑶ 讨论关于 x 的方程 f ? x ? ?

x 3 ? 2 ? bx ? a ? 2x

?

1 的实根情况. 2

19、 (本小题共 13 分)新|课
2 2

|标| 第 |一| 网

3 x y ,原点到过点 A ? a , ? , 0 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? 2 2 a b 4 5 . B ? 0 , b ? 的直线的距离是 ? 5 ⑴ 求椭圆 C 的方程;

已知椭圆 C :

⑵ 若椭圆 C 上一动点 P ? x0 ,y0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P ? x1 ,y1 ? , x12 ? y12 求 1 的取值范围. ⑶ 如果直线 y ? kx ? 1( k ? 0 )交椭圆 C 于不同的两点 E ,F ,且 E ,F 都在以 B 为圆心的圆上,求 k 的值.

20、 (本小题共 13 分) 已知数列 ?an ? , a1 ? 1 , a2n ? an , a4n?1 ? 0 , a4 n ?1 ? 1 ( n ? N* ) . ⑴求 a 4 , a 7 ; ⑵是否存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N* ,有 an ?T ? an ; ⑶设 S ?

a a a1 a2 ? 2 ? 33 ? ? ? nn ? ? ,问 S 是否为有理数,说明理由. 10 10 10 10

北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(二) 数学参考答案(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (2)C (3)A (4)D (5)D (6)B (7)D (8)C 新-课 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 3 1 15 (9) ? (10) 1 (11) 2 2 2 (12) 2
2 7
-标-第-一- 网

(13) 150

(14)① ③

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: )因为 f ( x) ? sin x( 3 cos x ? sin x) (Ⅰ
? 3 sin x cos x ? sin 2 x

1 = (2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x) 2 1 1 = ( 3 sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 2 ? 1 ? sin(2 x ? ) ? . 6 2
所以 f ( x) 的最小正周期 T ? (Ⅱ 因为 0 ? x ? ) 所以

2? ??. ?

2? , 3
X|k | B| 1 . c |O |m

? ? 3? ? 2x ? ? . 6 6 2

3 1 所以 f ( x) 的取值范围是 (? , ] . ………………………………13 分 2 2 (16) (共 13 分) 50 30 解: )设该年级共 n 人,由题意得 ? (Ⅰ ,所以 n ? 500 . n 180 ? 120

则 a ? 500 ? (180 ? 120 ? 70 ? 20 ? 30) ? 80 . (Ⅱ )依题意, X 所有取值为 0,1, 2 .
P( X ? 0) ?
2 C2 1 ? , 2 C5 10

P( X ? 1) ?

1 1 C2 C3 3 ? , C52 5

P( X ? 2) ?

C32 3 ? . C52 10

X 的分布列为: X P
0

1 10

1 3 5

2 3 10

1 3 3 6 ?1 ? 2 ? ? ? . 10 5 10 5 (17) (共 14 分) EX ? 0 ?
(Ⅰ )证明:因为 ?BAD ? 90? w 所以 AD ? AB ,
W w .X k b 1.c O m

………………………………………13 分

又因为 C ' B ? AD ,且 AB ? C ' B ? B , 所以 AD ? 平面 C ' AB , 因为 AC ' ? 平面 C ' AB , 所以 AD ? AC ' . (Ⅱ )因为△BCD 是等边三角形,
z C

AB ? AD , ?BAD ? 90? ,
不防设 AB ? 1 ,则 BC ? CD ? BD ? 2 , 又因为 M , N 分别为 BD , C B 的中点, 由此以 A 为原点, AB , AD , AC ' 所在直线为坐 标轴建立空间直角坐标系 A ? xyz .
'

N A D M B x y

则有 A(0,0,0) , B(1,0,0) , D(0,1,0) , C ' (0,0,1) ,

1 1 1 1 M ( , ,0) , N ( ,0, ) . 2 2 2 2 ???? ? 1 1 ???? 1 1 所以 AM ? ( , ,0) , AN ? ( ,0, ) . 2 2 2 2 AMN 的法向量为 m ? ( x, y, z ) . 设平面 ???? ? ? AM ? m ? 0 , ? 则 ????? ? AN ? m ? 0. ?

1 ?1 ? 2 x ? 2 y ? 0, ? 即? ? 1 x ? 1 z ? 0. ?2 ? 2 令 x ? 1 ,则 y ? z ? ?1 .

所以 m ? (1, ?1, ?1) . 又平面 ABM 的一个法向量为 n ? (0,0,1) . 所以 cos ? m, n ??
m ? n ?1 3 . ? ?? m n 3 3
3 . 3

所以二面角 N ? AM ? B 的余弦值为 (18) (共 14 分) 解:(Ⅰ f ( x) ? ln x ? ) 则 f | ( x) ?

………………………………14 分

a ,定义域为 (0, ??) , x

k B 1 . c o m

1 a x?a ? ? 2 . x x2 x ?( x) ? 0, 得 x ? (a, ??) , 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? (0, a) , 因为 a ? 0 ,由 f 所以 f ( x) 的单调递增区间为 (a, ??) ,单调递减区间为 (0, a) .
(Ⅱ )由题意,以 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k 满足
k ? f ?( x0 ) ? x0 ? a 1 ? 2 x0 2

( x0 ? 0 ) ,

1 所以 a ? ? x02 ? x0 对 x0 ? 0 恒成立. 2 1 1 又当 x0 ? 0 时, ? x02 ? x0 ? , 2 2
所以 a 的最小值为

1 . 2

(Ⅲ )由题意,方程 f ( x) ?

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 化简得 2x 2

1 1 b ? ln x ? x2 + 2 2

x ? (0, ??)

1 1 1 (1 ? x)(1 ? x) 令 h( x) ? ln x ? x2 ? b ? ,则 h?( x) ? ? x ? . 2 2 x x 当 x ? (0,1) 时, h?( x) ? 0 , 当 x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减. 1 1 所以 h( x) 在 x ? 1 处取得极大值即最大值,最大值为 h(1) ? ln1 ? ? 12 ? b ? ? ?b . 2 2
所以 当 ?b ? 0 , 即 b ? 0 时, y ? h( x) 的图象与 x 轴恰有两个交点, 方程 f ( x) ?

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 有两个实根, 2x 2

新 课 标



一 网

当 b ? 0 时, y ? h( x) 的图象与 x 轴恰有一个交点, 方程 f ( x) ?

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 有一个实根, 2x 2

当 b ? 0 时, y ? h( x) 的图象与 x 轴无交点, 方程 f ( x) ?

x3 ? 2(bx ? a) 1 ? 无实根. 2x 2

……14 分

(19) (共 13 分) c 3 解: (Ⅰ )因为 ? , a 2 ? b2 ? c2 , a 2 所以 a ? 2b . 因为原点到直线 AB : 解得 a ? 4 , b ? 2 . 故所求椭圆 C 的方程为
ab 4 5 x y ? , ? ? 1 的距离 d ? 2 2 5 a b a ?b

x2 y ? ? 1. 16 4

2

(Ⅱ )因为点 P ? x0 , y0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P ? x1 , y1 ? , 1
? y0 ?x ? 所以 ? 0 ? y0 ? ? ? y1 ? 2 ? ?1, ? x1

? y1 x ?x ? 2? 0 1 . 2 2 4 y0 ? 3x0 3 y ? 4x0 解得 x1 ? , y1 ? 0 . 5 5
2 2 所以 x12 ? y12 ? x0 ? y0 .

因为点 P ? x0 , y0 ? 在椭圆 C :
2 2 所以 x12 ? y12 ? x0 ? y0 ? 4 ?

x2 y ? ? 1 上, 16 4
2 3 x0 . 4

2

因为 ?4 ? x0 ? 4 , 所以 4 ? x12 ? y12 ? 16 .w 所以 x12 ? y12 的取值范围为 ? 4, 16? . (Ⅲ )由题意
? y ? kx ? 1, ? 2 消去 y ,整理得 ?x y2 ?1 ? ? ?16 4

W w .x K b 1.c o M

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kx ?12 ? 0 .

可知 ? ? 0 . 设 E ( x2 , y2 ) , F ( x3 , y3 ) , EF 的中点是 M ( xM , yM ) ,

x2 ? x3 ?4k 1 , yM ? kxM ? 1 ? . ? 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 y ?2 1 ?? . 所以 k BM ? M xM k
则 xM ? 所以 xM ? kyM ? 2k ? 0 .

?4k k ? ? 2k ? 0 . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 又因为 k ? 0 ,

2 1 .所以 k ? ? . 4 8 (20) (共 13 分)

所以 k 2 ?

………………………………13 分

解: ) a4 ? a2 ? a1 ? 1 ; (Ⅰ
a7 ? a4?2?1 ? 0 .

(Ⅱ )假设存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an ?T ? an . 则存在无数个正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an ?T ? an . 设 T 为其中最小的正整数. 若 T 为奇数,设 T ? 2t ? 1 ( t ? N * ) , 则 a4n?1 ? a4n?1?T ? a4n?1? 2T ? a4(n?t )?1 ? 0 . 与已知 a4 n ?1 ? 1 矛盾. 若 T 为偶数,设 T ? 2t ( t ? N * ) , 则 a2n ?T ? a2n ? an , 而 a2n?T ? a2n? 2t ? an ?t 从而 an?t ? an . 而 t ? T ,与 T 为其中最小的正整数矛盾. 综上,不存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N * ,有 an ?T ? an . (Ⅲ )若 S 为有理数,即 S 为无限循环小数, 则存在正整数 N 0 , T ,对任意的 n ? N * ,且 n ? N0 ,有 an ?T ? an . 与(Ⅱ )同理,设 T 为其中最小的正整数. 若 T 为奇数,设 T ? 2t ? 1 ( t ? N * ) , X|k | B| 1 . c |O |m

当 4n ? 1 ? N0 时,有 a4n?1 ? a4n?1?T ? a4n?1? 2T ? a4(n?t )?1 ? 0 . 与已知 a4 n ?1 ? 1 矛盾. 若 T 为偶数,设 T ? 2t ( t ? N * ) , 当 n ? N0 时,有 a2n ?T ? a2n ? an , 而 a2n?T ? a2n? 2t ? an ?t 从而 an?t ? an . 而 t ? T ,与 T 为其中最小的正整数矛盾. 故 S 不是有理数. ……………………………………………………13 分

北京市丰台区 2013 年高三第二学期统一练习(二) 数学(理科) 第一部分(选择题 共 40 分)

一 、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项.

1. 复数 i (3 ? 4i ) 的虚部为 (A)3 (B) 3i (C)4 (D) 4i

2. 设向量 a=(x,1), b=(4,x),且 a,b 方向相反,则 x 的值是 (A)2 3. ( x ? (A)6 (B)-2 (C) ?2 (D)0

1 4 ) 展开式中的常数项是 x
(B)4 (C)-4 (D)-6

4. 已知数列{an}, 则“{an}为等差数列”是“a1+a3=2a2”的 (A)充要条件 (C)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

5. 下列四个函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ?

?
12

对称的是

x ? (A) y ? sin( ? ) 2 3

x ? (B) y ? sin( ? ) 2 3

(C) y ? sin(2 x ? ) (D) y ? sin(2 x ? ) 3 3 ?0 ? x ? 1, 1 6. 在平面区域 ? 内任取一点 P( x, y ) ,若 ( x, y ) 满足 2x ? y ? b 的概率大于 ,则 b 的 4 ?0 ? y ? 1 取值范围是 (A) (??, 2) (B) (0, 2) (C) (1,3) (D) (1, ??) 7. 用 5,6,7,8,9 组成没有重复数字的五位数,其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五 位数的个数是 (A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 72

?

?

8. 已知偶函数 f(x)(x∈R) ,当 x ? (?2, 0] 时,f(x)=-x(2+x),当 x ? [2, ??) 时,f(x)=(x-2)(a-x) ( a ? R ). 关于偶函数 f(x)的图象 G 和直线 l :y=m( m ? R )的 3 个命题如下: ① 当 a=4 时,存在直线 l 与图象 G 恰有 5 个公共点; ② 若对于 ?m ? [0,1] ,直线 l 与图象 G 的公共点不超过 4 个,则 a≤2; ③ ?m ? (1, ??), ?a ? (4, ??) ,使得直线 l 与图象 G 交于 4 个点,且相邻点之间的距离相 等. 其中正确命题的序号是 (A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 圆 ? ? 2cos? 的半径是________。

共 110 分)

10.已知变量 x, y 具有线性相关关系,测得 ( x, y ) 的一组数据如下:(0,1),(1, 2),(2, 4),(3,5) ,

? 其回归方程为 y ? 1.4 x ? a ,则 a 的值是



11. 如图,已知⊙O 的弦 AB 交半径 OC 于点 D,若 AD=4,BD=3,OC=4, 则 CD 的长为______。 12. 若 双 曲 线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的 离 心 率为 2 ,则 抛 物 线 a2 3

y 2 ? 8 x 的焦点到 C 的渐近线距离是______。
13. 曲线 f ( x) ? x ?

1 1 在 x ? 处的切线方程是______,在 x=x0 处 x 2


的切线与直线 y ? x 和 y 轴围成三角形的面积为

14. 在圆 x 2 ? y 2 ? 25 上有一点 P(4,3),点 E,F 是 y 轴上两点,且满足 PE ? PF ,直线 PE, PF 与圆交于 C,D,则直线 CD 的斜率是________。

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答要写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题 13 分) 已知 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A. (Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S.

16(本小题 13 分)国家对空气质量的分级规定如下表: 污染指数 空气质量 0~50 优 51~100 良 101~150 轻度污染 151~200 中度污染 201~300 重度污染 >300 严重污染

某市去年 6 月份 30 天的空气污染指数的监测数据如下: 34 42 140 101 18 38 73 163 121 154 210 22 40 27 45 36 78 151 23 49 65 103 79 135 207 20 81 16 60 48

根据以上信息,解决下列问题: (Ⅰ)写出下面频率分布表中 a,b,x,y 的值;

(Ⅱ)某人计划今年 6 月份到此城市观光 4 天,若将(Ⅰ)中的频率作为概率,他遇到空 气质量为优或良的天数用 X 表示,求 X 的分布列和均值 EX. 频率分布表 分组 频数 [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] 合计 14 a 5 b 2 30 频率

7 15
x

1 6
y

1 15
1

17.(本小题 13 分) 如图(1), 等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4, D 在线段 AC 上, ? AB 点 DE ). 于 E,现将△ADE 沿 DE 折起到△PDE 的位置(如图(2) (Ⅰ)求证:PB ? DE; (Ⅱ)若 PE ? BE,直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30° ,求 PE 长.

A

E

P B E D C
图(1) 图(2)

B C

D

18.(本小题 13 分)已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? (Ⅰ)当 a ? ?

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? a ? R ? . 2

1 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2

(Ⅱ)若 a>0,讨论 f ( x) 的单调性.

19.(本小题 14 分)已知椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1的短轴的端点分别为 A,B,直线 AM,BM 分别与 4
1 ) 满足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 . 2

椭圆 C 交于 E,F 两点,其中点 M (m,

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率 e; (Ⅱ)用 m 表示点 E,F 的坐标; (Ⅲ)若?BME 面积是?AMF 面积的 5 倍,求 m 的 值.

20.( 本 小 题 14 分 ) 已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 为 an=3n-2, 等 比 数 列 ?bn ? 中 ,

b1 ? a1 , b4 ? a3 ? 1 .记集合 A ? ?x x ? an , n ? N *?, B ? ?x x ? bn , n ? N *? , U ? A ? B ,
把集合 U 中的元素按从小到大依次排列,构成数列 ?cn ? . (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式,并写出数列

?cn ? 的前 4 项;

(Ⅱ)把集合 CU A 中的元素从小到大依次排列构成数列 ?dn ? ,求数列 ?dn ? 的通项公式,并 说明理由; (Ⅲ)求数列

?cn ? 的前 n 项和 S .
n

丰台区 2013 年高三第二学期统一练习(二) 数学(理科)
一 、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 C 5 C 6 D 7 B 8 D

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 1; 10. 0.9; 11. 2; 12. 2 ; 13. 3x+y-4=0, 2; 14.

4 . 3

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答要写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题 13 分) 已知 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A. (Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S. 解: (Ⅰ)? 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A.

?2sin 2 A ? 2 3 sin A cos A ,

……………………….2 分 ……………………….4 分 …………………….6 分

?sin A ? 0,?sin A ? 3 cos A,?tan A ? 3 ,

? 0 ? A ? ? ,? A ? 60 °.
2 2 2

(Ⅱ)在 ?ABC 中, ? BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos60 , BC ? 7, AC ? 5,
?

? 49 ? AB2 ? 25 ? 5 AB, ? AB2 ? 5 AB ? 24 ? 0,? AB ? 8 或 AB ? ?3 (舍),………….10 分
? S?ABC ? 1 1 3 AB ? AC ? sin 60? ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3 . 2 2 2
…………………….13 分

16(本小题 13 分)国家对空气质量的分级规定如下表: 污染指数 空气质量 0~50 优 51~100 良 101~150 轻度污染 151~200 中度污染 201~300 重度污染 >300 严重污染

某市去年 6 月份 30 天的空气污染指数的监测数据如下: 34 42 140 101 18 38 73 163 121 154 210 22 40 27 45 36 78 151 23 49 65 103 79 135 207 20 81 16 60 48

根据以上信息,解决下列问题: (Ⅰ)写出下面频率分布表中 a,b,x,y 的值;

(Ⅱ)某人计划今年 6 月份到此城市观光 4 天,若将(Ⅰ)中的频率作为概率,他遇到空 气质量为优或良的天数用 X 表示,求 X 的分布列和均值 EX. 频率分布表 分组 频数 [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] 合计 14 a 5 b 2 30 频率

7 15
x

1 6
y

1 15
1

1 1 解: (Ⅰ) a ? 6, b ? 3, x ? , y ? , 5 10

………………………….4 分

(Ⅱ)由题意,该市 4 月份空气质量为优或良的概率为 P=
4

4 2 2 ? ? ,………..5 分 15 5 3

1 8 ?1? ? 2? ?1? 1 P( X ? 0) ? C ? ? ? ? , P( X ? 1) ? C4 ? ? ? ? ? ? ? , ? 3 ? ? 3 ? 81 ? 3 ? 81
0 4

3

8 32 ? 2? ?1? ?2? 1 3 P( X ? 2) ? C ? ? ? ? ? ? ? , P( X ? 3) ? C4 ? ? ? ? ? , 27 81 ? 3? ? 3? ? 3? 3
2 4

2

2

3

? 2 ? 16 P( X ? 4) ? C ? ? ? ? . ? 3 ? 81
4 4

4

………………………….10 分

? X 的分布列为:
X P 0 1 2 3 4

1 81

8 81

8 27

32 81

16 81

………………………….11 分

2 2 8 ? X~B(4, ), ? EX ? 4 ? ? . 3 3 3

………………………….13 分

17.(本小题 13 分) 如图(1), 等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4, D 在线段 AC 上, ? AB 点 DE 现将△ADE 沿 DE 折起到△PDE 的位置(如图(2) ). 于 E, (Ⅰ)求证:PB ? DE; (Ⅱ)若 PE ? BE,直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30° ,求 PE 的长.

A

E

P B E D C
图(1) 图(2) ……………….2 分

B C

D

解: (Ⅰ)? DE ? AB ,? DE ? BE ,DE ? PE,

? BE ? PE ? E , ? DE ? 平面 PEB,
? PB ? 平面PEB,? BP ? DE;
……………………….4 分

(Ⅱ)? PE ? BE, PE ? DE, DE ? BE ,所以,可由 DE,BE,PE 所在直线为 x,y,z 轴建立空 间直角坐标系(如图) ,???????????????????????5 分

? 设 PE=a,则 B(0,4-a ,0),D(a,0,0),C(2,2-a,0),P(0,0,a),????????7 分
??? ? ??? ? PB ? (0, 4 ? a, ?a) , BC ? (2, ?2,0) ,????????8 分
设面 PBC 的法向量 n ? ( x, y, z) ,
?? ? ?(4 ? a) y ? az ? 0, 令 y ? 1 , ? n ? (1,1, 4 ? a ) , ????10 分 ?? a ? 2 x ? 2 y ? 0,

z

…………….10 分 y

??? ? ? PD ? (a,0, ?a) ,

……………………….12 分 x

? BC 与平面 PCD 所成角为 30° ,
??? ? ? ? sin 30? ? cos PD, n
. ……………………….11 分

a ? (4 ? a) 2a 2 ? 2 ?
解得:a=

(4 ? a) a2

2

?

1 , 2

4 4 ,或 a=4(舍),所以,PE 的长为 .……………………….13 分 5 5 1 2 18.(本小题 13 分)已知函数 f ( x) ? 2 ln x ? ax ? (2a ? 1) x ? a ? R ? . 2 1 (Ⅰ)当 a ? ? 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2

(Ⅱ)若 a>0,讨论 f ( x) 的单调性. 解:(Ⅰ) f ( x) 的定义域为 {x | x ? 0} , 当a ? ? ……………………….1 分 ……………………….2 分

( x ? 2)( x ? 2) 1 时, f ?( x) ? ? , 2x 2

令 f ?( x) ? 0, 在[1,e]上得极值点 x ? 2,

[1,2)
x 2

(2, e]

f ?(x )
f (x)

?


0

?
减 ……………………….4 分

2 ln 2 ? 1

1 e2 f (1) ? ? , f (e) ? 2 ? , 4 4

……………………….5 分

? f (1) ? f (e), ? f ( x) max ? f (2) ? 2 ln 2 ? 1, f ( x) min ? f (1) ? ? . ………………….7 分
(Ⅱ) f ?( x) ? ① 0?a?

1 4

( x ? 2)(ax ? 1) , x

……………………….8 分

1 1 1 时,由 f ?( x ) >0 得 0<x<2 或 x> ,所以 f(x)的单调增区间是(0,2), ( , ??) , a a 2 1 1 ,所以 f(x)的单调减区间是(2, ); a a
……………………….10 分

由 f ?( x ) <0 得 2<x< ②a ?

1 时, f ?( x) ? 0 在(0,+?)上恒成立,且当且仅当 f ?(2) ? 0 , 2
……………………….11 分

? f ( x) 在(0,+?)单调递增;
③当 a ?

1 1 1 时,由 f ?( x ) >0 得 0<x< 或 x>2,所以 f(x)的单调增区间是(0, ), (2, ?? ) , a a 2 1 1 <x<2,所以 f(x)的单调减区间是( ,2). a a
……………………….13 分

由 f ?( x ) <0 得

x2 2 19.(本小题 14 分)已知椭圆 C: ? y ? 1的短轴的端点分别为 A,B(如图),直线 AM,BM 4
分别与椭圆 C 交于 E,F 两点,其中点 M (m, (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率 e; (Ⅱ)用 m 表示点 E,F 的坐标;

1 ) 满足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 . 2

(Ⅲ)若?BME 面积是?AMF 面积的 5 倍,求 m 的值. 解: (Ⅰ)依题意知 a ? 2 , c ? (Ⅱ)? A(0,1), B(0,?1) ,M (m,

3 ,?e ? 3 ;
2

……………………… 3 分 ………………………4 分

1 ),且 m ? 0 , 2

? 直线 AM 的斜率为 k1= ?

1 3 ,直线 BM 斜率为 k2= , 2m 2m 2m
……………6 分

3 ? 直线 AM 的方程为 y= ? 1 x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y= x ?1 ,
2m

? x2 ? y 2 ? 1, ? 由? 4 得 ? m 2 ? 1? x 2 ? 4mx ? 0 , ? y ? ? 1 x ? 1, 2m ?

? x ? 0, x ?

2 4m ? ? , ? E ? 4m , m2 ? 1 ? , 2 2 m ?1 ? m ?1 m ?1 ?

………………………8 分

? x2 ? y 2 ? 1, 由? 4 得 9 ? m2 x 2 ? 12mx ? 0 , ? ? y ? 3 x ? 1, 2m ?

?

?

? x ? 0, x ?

2 12m , ? F ? 12m , 9 ? m ? ; 2 ? 2 ? 2 m ?9 ? m ?9 m ?9?

………………………10 分

(Ⅲ)? S?AMF ?

1 1 | MA || MF | sin ?AMF , S?BME ? | MB || ME | sin ?BME , ?AMF ? ?BME , 2 2
………………..12 分
| ME | | MF |

5S?AMF ? S?BME ,? 5 | MA || MF |?| MB || ME | ,? 5 | MA | ? | MB | ,

?

5m m ? , 4m 12m ?m ?m m2 ? 1 9 ? m2

? m?0,

? 整理方程得

1 15 ? 2 ? 1 ,即 (m2 ? 3)(m2 ?1) ? 0 , m ?1 m ? 9
2

又? m ? ? 3 ,? m ? 3 ? 0 , ?m ? 1 ,? m ? ?1 为所求.
2

2

………………14 分

20.( 本 小 题 14 分 ) 已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 为 an=3n-2, 等 比 数 列 ?bn ? 中 ,

b1 ? a1 , b4 ? a3 ? 1 .记集合 A ? ?x x ? an , n ? N *?, B ? ?x x ? bn , n ? N *? , U ? A ? B ,
把集合 U 中的元素按从小到大依次排列,构成数列 ?cn ? .

(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式,并写出数列

?cn ? 的前 4 项;

(Ⅱ)把集合 CU A 中的元素从小到大依次排列构成数列 ?dn ? ,求数列 ?dn ? 的通项公式,并 说明理由; (Ⅲ)求数列

?cn ? 的前 n 项和 S .
n

解: (Ⅰ)设等比数列 ?bn ? 的公比为 q,

? b1 ? a1 ? 1, b4 ? a3 ? 1 ? 8 ,则 q3=8,? q=2,? bn=2n-1, ? 数列 ?an ? 的前 4 项为 1,4,7,10,数列{bn}的前 4 项为 1,2,4,8, ? 数列 ?cn ? 的前 4 项为 1,2,4,7;

………………..2 分

………………..3 分

(Ⅱ)据集合 B 中元素 2,8,32,128 ? A,猜测数列 ?dn ? 的通项公式为 dn =22n-1. ………………..4 分

? dn=b2n ,? 只需证明数列{bn}中,b2n-1∈A,b2n ? A( n ? N ? ).
证明如下:

? b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即 b2n+1=b2n-1+3×4n-1,
若 ? m∈N*,使 b2n-1=3m-2,那么 b2n+1=3m-2+3×4n-1=3(m+4n-1)-2,所以,若 b2n-1∈A,则 b2n+1∈A. 因为 b1∈A,重复使用上述结论,即得 b2n-1∈A( n ? N ? ) 。 同理,b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2×4n-2×4n-1=3×2×4n-1,即 b2n+2=b2n+3×2×4n-1,因为“3×2×4n-1” 数 列 ?an ? 的公差 3 的整数倍,所以说明 b2n 与 b2n+2 (n ? N ? ) 同时属于 A 或同时不属于 A, 当 n=1 时,显然 b2=2 ? A,即有 b4=2 ? A,重复使用上述结论, 即得 b2n ? A,? dn =22n-1; ???????????????8 分 ………………..9 分

(Ⅲ) (1)当 n=1 时,所以因为 b1 ? a1 ? 1 ,所以 S1=1;

(2)当 n≥2 时,由(Ⅱ)知,数列{bn}中,b2n-1∈A,b2n ? A,则 ?k ? N ? ,且 k<n,使得

Sn ? ? ai ? ? b2i
i ?1 i ?1

n?k

k

?

(n ? k )(a1 ? an?k ) b2 (1 ? 4k ) (n ? k )(3n ? 3k ? 1) 2(4k ? 1) ? ? ? 2 1? 4 2 3
……………….. 11 分

.

下面讨论正整数 k 与 n 的关系: 数列 ?cn ? 中的第 n 项不外如下两种情况:

① b2k ? cn 或者② an?k ? cn , 若①成立,即有 3(n ? k ) ? 2 ? 22k ?1 ? 3(n ? k ? 1) ? 2 , 若②成立,即有 22k ?1 ? 3(n ? k ) ? 2 ? 22k ?1 ,

?有

22 k ?1 ? 3k ? 1 22 k ?1 ? 3k ? 2 22 k ?1 ? 3k ? 2 22 k ?1 ? 3k ? 2 或者 , ?n? ?n? 3 3 3 3 22 k ?1 ? 3k ? 1 22 k ?1 ? 3k ? 2 22 k ?1 ? 3k ? 2 2 显然 = [k ? ? (22 k ? 2 ? 1)] ? N*,所以 . ?n? 3 3 3 3
?1, n ? 1 综上所述, Sn ? ? (n ? k )(3n ? 3k ? 1) 2(4k ? 1) . ? 22 k ?1 ? 3k ? 1 22 k ?1 ? 3k ? 2 ? ,n?( , )(k , n ? N ? ) ? 2 3 3 3 ?
………………..14 分


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