含绝对值不等式的解法(含答案)


含绝对值的不等式的解法
一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为 不含绝对值的不等式来解,常用的方法有公式法、定义法、平方法。 (一)、公式法:即利用 x ? a 与 x ? a 的解集求解。 主要知识: 1、绝对值的几何意义: x 是指数轴上点 x 到原点的距离; x1 ? x2 是指数轴上 x1 , x 2 两点间的距离.。 2、 x ? a 与 x ? a 型的不等式的解法。

当 a ? 0时,不等式 x ? 的解集是 x x ? a, 或x ? ?a

? 当 a ? 0 时,不等式 x ? a 的解集是 ?x x ? R?
不等式 x ? a 的解集是 ? ;

?

不等式 x ? a 的解集是 x ? a ? x ? a ;

?

?

3. ax ? b ? c 与 ax ? b ? c 型的不等式的解法。 把

ax ? b 看作一个整体时,可化为 x ? a 与 x ? a 型的不等式来求解。

? 不等式 ax ? b ? c 的解集是 ?x ? c ? ax ? b ? c?; 当 c ? 0 时,不等式 ax ? b ? c 的解集是 ?x x ? R?
不等式 a ? bx ? c 的解集是 ? ; 例 1 解不等式 x ? 2 ? 3

当 c ? 0 时,不等式 ax ? b ? c 的解集是 x ax ? b ? c, 或ax ? b ? ?c

?

分析:这类题可直接利用上面的公式求解,这种解法还运用了整体思想,如把“ x ? 2 ” 看着一个整体。答案为 x ? 1 ? x ? 5 。(解略)

?

?

?a(a ? 0), ? (二)、定义法:即利用 a ? ?0(a ? 0), 去掉绝对值再解。 ??a(a ? 0). ?
例 2。解不等式
x x 。 ? x?2 x?2

分析:由绝对值的意义知, a ? a ? a≥0, a ? ?a ? a≤0。 解:原不等式等价于

x <0 ? x(x+2)<0 ? -2<x<0。 x?2

1

(三)、平方法:解 f ( x) ? g ( x) 型不等式。 例 3、解不等式 x ? 1 ? 2 x ? 3 。 解:原不等式 ? ( x ?1)2 ? (2x ? 3)2 ? (2x ? 3)2 ? ( x ?1)2 ? 0
? (2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0 ? (3x-4)(x-2)<0 ?

4 ? x ? 2。 3

说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法:即通过合理分类去绝对值后再求解。 例 4 解不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 。 分析:由 x ? 1 ? 0 , x ? 2 ? 0 ,得 x ?1 和 x ? 2 。 ? 2 和1 把实数集合分成三个区间, 即 x ? ?2, ? 2 ? x ?1, x ?1,按这三个区间可去绝对值,故可按这三个区间讨论。
? x ? ?2 解:当 x<-2 时,得 ? , ??( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5 ??2 ? x ? 1, 当-2≤x≤1 时,得 ? , ??( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5 ? x ? 1, 当 x ?1时,得 ? ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5.

解得: ? 3 ? x ? ?2 解得: ? 2 ? x ?1 解得:1 ? x ? 2

综上,原不等式的解集为 x ? 3 ? x ? 2 。 说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集; (2)这种解法又叫“零点分区间法”,即通过令每一个绝对值为零求得零点,求解应注意 边界值。 三、几何法:即转化为几何知识求解。 例 5 对任何实数 x ,若不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? k 恒成立,则实数 k 的取值范围为 ( (A)k<3 化为求 y 的最小值。
x -1 0 2

?

?

)

(B)k<-3

(C)k≤3

(D)

k≤-3

分析:设 y ? x ? 1 ? x ? 2 ,则原式对任意实数 x 恒成立的充要条件是 k ? ymin ,于是题转

解: x ? 1 、 x ? 2 的几何意义分别为数轴上点 x 到-1 和 2 的距离 x ? 1 - x ? 2 的几何意义 为数轴上点 x 到-1 与 2 的距离之差,如图可得其最小值为-3,故选(B)。

2

四、典型题型 1、解关于 x 的不等式 x ? 3x ? 8 ? 10
2

解:原不等式等价于 ? 10 ? x2 ? 3x ? 8 ? 10 ,

? x 2 ? 3x ? 8 ? ?10 x ? ?1或x ? ?2 ?? 即? 2 ?? 6 ? x ? 3 ? ? x ? 3x ? 8 ? 10
∴ 原不等式的解集为 (?6,?2) ? (?1,3) 1 ?2 2、解关于 x 的不等式 2x ? 3
3 ? x? ?2 x ? 3 ? 0 ? ? 2 解:原不等式等价于 ? 1?? 5 7 ? ?x? ? 2x ? 3 ? 2 ? ?4 4 3、解关于 x 的不等式 2x ? 1 ? x ? 2

解:原不等式可化为 (2x ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 ∴ (2x ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 ? 0 即 ( x ? 3)(3x ? 1) ? 0
1 解得: ? ? x ? 3 3 1 ∴ 原不等式的解集为 (? ,3) 3
4、解关于 x 的不等式 2 x ? 1 ? 2m ? 1 (m? R)

1 解:⑴ 当 2m ? 1 ? 0时,即 m ? ,因 2x ? 1 ? 0 ,故原不等式的解集是空 2 集。 1 ⑵ 当 2m ?1 ? 0 时,即 m ? ,原不等式等价于 2 ? (2m ? 1) ? 2x ? 1 ? 2m ? 1 解得:1 ? m ? x ? m 1 1 综上,当 m ? 时,原不等式解集为空集;当 m ? 时,不等式解集为 2 2 ?x1 ? m ? x ? m?

3

5、解关于 x 的不等式 2x ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1

x ? ?3 解:当 x ? ?3时,得 ? ?? (2 x ? 1) ? x ? ?( x ? 3) ? 1,无解 ?

1 ? 1 3 1 ?? 3 ? x ? 当 ? 3 ? x ? ,得 ? ,解得: ? ? x ? 2 2 4 2 ?? (2 x ? 1) ? x ? x ? 3 ? 1 ? 1 ? 1 1 ?x ? 当 x ? 时,得 ? ,解得: x ? 2 2 2 ?2 x ? 1 ? x ? x ? 3 ? 1 ? 3 1 综上所述,原不等式的解集为 (? , ) 4 2 6、解关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 (答案: (?? ,?3] ? [ 2,?? ) ) 解:

五、巩固练习 1、设函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? x ? 3, 则f (?2) =
是 . 2、已知 a ?R ,若关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 是 3、不等式 .

;若 f ( x) ? 2 ,则 x 的取值范围

1 ? a ? 0 有实根,则 a 的取值范围 4

x ?1 ? 1的实数解为 x?2



4、解下列不等式 ⑴ 4x ? 3 ? 2x ?1 ; ⑵ ⑷ 4 ?| 2 x ? 3 |? 7 ; ⑸

| x ? 2 |?| x ? 1| ; ⑶ | 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 4 ;
x ?1 ? 4 ? 2 ;
⑹ x ? a ? a ( a?R )
2

5、若不等式 ax ? 2 ? 6 的解集为 ? ?1, 2 ? ,则实数 a 等于 ( A. 8 B. 2 C. ? 4 D. ?8 6、若 x ? R ,则 ?1 ? x ? ?1 ? x ? ? 0 的解集是( )



4

A. ?x 0 ? x ? 1? B. {x x ? 0 且 x ? ?1} C. ?x ?1 ? x ? 1? D. {x x ? 1 且 x ? ?1}
7、 ?1? 对任意实数 x , | x ? 1| ? | x ? 2 |? a 恒成立,则 a 的取值范围是 ; ; ;

? 2? 对任意实数 x , | x ? 1| ? | x ? 3 |? a 恒成立,则 a 的取值范围是 ? 3 ? 若关于 x 的不等式 | x ? 4 | ? | x ? 3 |? a 的解集不是空集,则 a 的取值范围是
8、不等式 x ? 10 ? 3x 的解集为(
2



A.

?x | 2 ? x ?

10

?

B.

?x | ?2 ? x ? 5?

C.

?x | 2 ? x ? 5?

D. x | 10 ? x ? 5

?

?


9、解不等式: x ? 1 ? 2 ? x ? 2

x?2 x?2 x x 的解集为 ,不等式 的解集是 ? 2 ? 2 x ? 3x x ? 3x 2? x 2? x 12、不等式 x (1 ? 2x) ? 0 的解集是( ) 1 1 1 1 A. (?? , ) B. (??,0) ? (0, ) C. ( ,?? ) D. (0, ) 2 2 2 2
10、方程 11、不等式 3 ? 5 ? 2 x ? 9 的解集是

12、 已知不等式 x ? 2 ? a (a ? 0) 的解集为 ?x ? R | ?1 ? x ? c?,求 a ? 2c 的值 14、不等式 1 ?| x ?1|? 3的解集为( ).

A. ? ??, ?2 ? ? ? 7, ?? ?

B. ?1, 4 ?

C. ? ?2,1? ? ? 4, 7?

D. ? ?2,1? ? ? 4, 7 ?
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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13、解关于 x 的不等式:①解关于 x 的不等式 mx ? 1 ? 3 ;② 2 x ? 3 ? 1 ? a (a ? R)

A. (0,2)

15、 设集合 A ? x x ? 2 ? 2, x ? R , B ?

?

B. (? 2 , ?0 )

?

( 2 C,. (?4,0) 4 )
2

?y y ? ?x ,?1 ? x ? 2?,则 C ? A ? B? 等于 (
R

D. (?4, ?2) ? (0, 2) D. ?

)

A.

R

B. ?x x ? R, x ? 0?

C. ?0?


16、不等式 2 x ? 1 ? x ? 1的解集是

17、设全集 U ? R ,解关于 x 的不等式: x ? 1 ? a ? 1 ? 0 ? x ? R ?

(参考答案)
1、 6 ;

?



2、

[0,4]

3、 (??,?2) ? (?2,? )

3 2

5

4、⑴ ? x x ? 或x ? 2? ⑷ ?x ? 2 ? x ? ? 或 ⑹ 当 a ? 0时, x ? 5、C 8、C 6、D 9、 ? x x ?

? ?

1 3

? ? 7 ? ? x ? 5? 2 ?

⑵ ?x x ?

? ?

1? ? 2?


⑶ ? x x ? ? 或x ? 1?

? ?

1 2

? ?

? ?

1 2

?x ? 5 ? x ? ?1或3 ? x ? 7?

?

2a ? x ? 2a ;当 a ? 0 时,不等式的解集为 ?
7、⑴

?

a ?3 ; ⑵ a ? 4 ; ⑶ a ?7 ;
10、 x ? 3 ? x ? 2或x ? 0 ;

?x x ? 2或x ? 0?
11、D

? ?

1 5? a或x ? ? 2 2?

?

?

12、 15

13、① 当 m ? 0 时, x? R ;当 m ? 0 时, ?

2 4 4 2 ? x ? ;当 m ? 0 时, ? x ? ? m m m m a a ? ? ② 当 a ? 1? 0 ,即 a ? ?1时,不等式的解集为 ? x ? ? x ? ? 1? ; 2 2 ? ?

14、D

17、当1 ? a ? 0,即 a ?1时,不等式的解集为 x x ? a或x ? 2 ? a ; 当1 ? a ? 0,即 a ?1时,不等式的解集为 R ;

? 当1 ? a ? 0,即 a ?1时,不等式的解集为 ?x x ? 1?;

当 a ? 1? 0,即 a ? ?1时,不等式的解集为 ? ; 15、B 16、 ( 0 , 2)

?

6


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