第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及性质 2013


第 七 章 立 体 几 何

第 五 节 直线 、 平面 垂直 的判 定及 性质

高考成功方案第一步

高考成功方案第二步

高考成功方案第三步

高考成功方案第四步

考纲点击 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理 解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形

垂直关系的简单命题.

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1.直线a⊥平面α,b∥α,则a与b的关系为

(

)

A.a⊥b,且a与b相交
C.a⊥b

B.a⊥b,且a与b不相交
D.a与b不一定垂直

解析:∵a⊥α,b∥α,∴a⊥b,但不一定相交. 答案:C

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2.已知α、β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条
直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:α⊥βD m⊥β ? ? ??α⊥β. m⊥β,但 m?α? ?

(

)

答案:B

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3.(2011· 浙江高考)下列命题中错误的是

(

)

A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平
行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存 在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,

那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直 于平面β

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解析:对于D,若平面α⊥平面β,则平面α内的直线可能不
垂直于平面β,甚至可能平行于平面β,其余选项易知均是 正确的.

答案:D

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4.线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍,则AB
所在直线与平面α所成的角为________.
1 解析:由题意知cos α= ,又∵0° ≤α≤90° ,∴α=60° . 2

答案:60°

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5.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长是1,过A点作平面A1BD的垂线, 垂足为点H,有下列三个命题:①点H

是△A1BD的中心;②AH垂直于平面
CB1D1:③AC1⊥B1C所成的角是90°. 其中正确命题的序号是________.

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解析:连接HA1、HB、HD,易证
Rt△AHA1≌Rt△AHB≌Rt△AHD, ∴HA1=HB=HD,即H是△A1BD的中 心,故①正确;∵AH⊥平面A1BD, ∴AH⊥A1D且AH⊥BD,又∵B1D1∥BD,

B1C∥A1D,∴AH⊥B1D1且AH⊥B1C, H⊥平面CB1D1,
故②正确;连接BC1,则B1C⊥BC1,B1C⊥A1B1,∴B1C⊥ 平面ABC1D1.∴B1C⊥AC1,故③正确.

答案:①②③

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1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线l与平面α内的 任意一条 直线都垂直,

就说直线l与平面α互相垂直.

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(2)直线与平面垂直的判定定理及其推论 文字语言 判 定 定 理 一条直线与平面 内的两条相交直 线 垂直,则这 条直线与这个平 面垂直 a、b?α a∩b=O l⊥a l⊥b
? ? ? ?l⊥α ? ?

图形语言

符号语言

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文字语言 如果在两条平行直线中, 推 有一条垂直于平面,那么

图形语言

符号语言 a∥b a⊥α

论 另一条直线也垂直 这个平


? ? ??b⊥α ? ?

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(3)直线与平面垂直的性质定理 文字语言 性 质 垂直于同一个平面的两条 直线 平行 图形语言 符号语言 a⊥α b⊥α
? ??a∥b ?




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2.直线与平面所成的角 平面的一条斜线和 它在平面上的射影 所成的锐角叫做这 π [0,2] 条直线和这个平面所成的角,线面角的范围是 .

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3.二面角

从一条直线 出发的两个半平面 所组
成的图形叫做二面角.这条直线叫做 二面角的棱 .两个半平面叫做二面角面. 如图,记作:α- β或α- β或 lABP- Q. AB-

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4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定定理 文字语言 判定 定理 一个平面过另一个平面 的一条 垂线 ,则这两个 l? β l⊥α
? ? ??α⊥β ? ?

图形语言

符号语言

平面互相垂直

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(2)平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 α⊥β l?β α∩β=a l⊥a
? ? ? ? ?

性 两个平面互相垂直,则 质 一个平面内垂直于 交线
定 的直线垂直于另一个平 理 面

?l⊥α

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[做一题]
[例1] (2011· 新课标全国卷)如图,四棱锥P -ABCD中,底面ABCD为平行四边形, ∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (1)证明:PA⊥BD;

(2)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.

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[自主解答]

(1)证明:因为∠DAB=60° ,AB=2AD,

由余弦定理得BD= 3AD. 所以BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD. 又PD⊥底面ABCD,所以BD⊥PD. 所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD. (2)如图,作DE⊥PB,垂足为E. 已知PD⊥底面ABCD,故PD⊥BC.

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由(1)知BD⊥AD,BC∥AD, 所以BC⊥BD. 所以BC⊥平面PBD,BC⊥DE. 则DE⊥平面PBC. 由PD=AD=1知BD= 3,PB=2. 3 由DE· PB=PD· BD得DE= , 2 3 即棱锥D-PBC的高为 . 2

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保持例题条件不变,试判断平面PBD与平面PBC是否垂直?

解:由例(1)知BD⊥AD,
∵AD∥BC,∴BD⊥BC. 又∵PD⊥平面ABCD, ∴BC⊥PD. 由①②知PD∩BD=D,BC⊥平面PBD. ② ①

又BC?平面PBC,
∴平面PBD⊥平面PBC.

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[悟一法] 1.证明直线和平面垂直的常用方法有:
方法一 利用判定定理 方法二

利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b,
a⊥α?b⊥α)

方法三 利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β?a⊥β) 方法四 利用面面垂直的性质 2.当直线和平面垂直时,该直线垂直于平面内的任意一条直 线,常用来证明线线垂直.

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[通一类] 1.如右图所示,已知PA⊥矩形ABCD所 在平面,M,N分别是AB,PC的中点.

(1)求证MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求证MN⊥平面PCD.

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证明:(1)如图所示,连接AC,AN,BN, ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC. 在Rt△PAC中,N为PC中点, 1 ∴AN= PC.∵PA⊥平面ABCD, 2 ∴PA⊥BC.又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB. ∴BC⊥PB.从而在Rt△PBC中,BN为斜边PC上的中线, 1 ∴BN= PC,∴AN=BN.∴△ABN为等腰三角形. 2

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又M为底边AB的中点,∴MN⊥AB. 又∵AB∥CD,∴MN⊥CD. (2)如图所示,连接PM,CM,∵∠PDA=45°,PA⊥AD, ∴AP=AD.∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,∴PA=

BC.又∵M为AB的中点,∴AM=BM,而∠PAM=
∠CBM=90°,∴PM=CM.又∵N为PC的中点, ∴MN⊥PC.由(1)知,MN⊥CD,PC∩CD=C,∴MN⊥平 面PCD.

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[做一题] [例2] 如图所示,△ABC为正三角形,

EC⊥平面ABC,BD∥CE,EC=CA=2BD,
M是EA的中点.求证: (1)DE=DA; (2)平面BDM⊥平面ECA.

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[自主解答] (1)如图所示,取EC中点F,连接DF.

∵EC⊥平面ABC,BD∥CE,
∴DB⊥平面ABC. ∴DB⊥AB,∴EC⊥BC. ∵BD∥CE,BD=CE=FC, ∴四边形FCBD是矩形,∴DF⊥EC. 又BA=BC=DF, ∴Rt△DEF≌Rt△ADB,∴DE=DA.

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(2)如图所示,取AC中点N,连接MN、NB, 1 ∵M是EA的中点,∴MN綊 EC. 2 1 由BD綊 EC,且BD⊥平面ABC,可得四边形MNBD是矩 2 形,于是DM⊥MN,∵DE=DA,M是EA的中点, ∴DM⊥EA.又EA∩MN=M, ∴DM⊥平面ECA,而DM?平面BDM, ∴平面ECA⊥平面BDM.

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[悟一法] 面面垂直的性质应用技巧: (1)两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直

于另一个平面.这是把面面垂直转化为线面垂直的依
据.运用时要注意“平面内的直线”. (2)两个相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交 线也垂直于第三个平面,此性质是在课本习题中出现 的,在不是很复杂的题目中,要对此进行证明.

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[通一类] 2.(2012· 徐州模拟)在三棱锥P-ABC中, △PAC和△PBC都是边长为 2的 等边三角形,AB=2,O、D分别是 AB、PB的中点. (1)求证:OD∥平面PAC; (2)求证:平面PAB⊥平面ABC.

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证明:(1)∵O,D分别为AB,PB的中点, ∴OD∥PA.

又PA?平面PAC,OD?平面PAC,
∴OD∥平面PAC.

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(2)连结OC,OP ∵AC=CB= 2,AB=2, ∴∠ACB=90° . 又O为AB的中点,∴OC⊥AB,OC=1,同理, ∴PO⊥AB,PO=1.

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又PC= 2,∴PC2=OC2+PO2=2, ∴∠POC=90° . ∴PO⊥OC. 又PO⊥AB,AB∩OC=O, ∴PO⊥平面ABC.PO?平面PAB, ∴平面PAB⊥平面ABC.

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[做一题] [例3] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

E、F分别是CD,A1D1的中点. (1)求证:AB1⊥BF;

(2)求证:AE⊥BF;
(3)棱CC1上是否存在点P,使BF⊥平面AEP, 若存在,确定点P的位置,若不存在,说明 理由.

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[自主解答]

(1)连接A1B,

则AB1⊥A1B,
又AB1⊥A1F,且A1B∩A1F=A1, ∴AB1⊥平面A1BF.∴AB1⊥BF. (2)取AD中点G,连接FG,BG,则FG⊥AE, 又∵△BAG≌△ADE,

∴∠ABG=∠DAE.
∴AE⊥BG.又∵BG∩FG=G, ∴AE⊥平面BFG.∴AE⊥BF.

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(3)存在.取CC1中点P,即为所求.连接EP,AP,C1D,

∵EP∥C1D,C1D∥AB1,∴EP∥AB1.
由(1)知AB1⊥BF,∴BF⊥EP. 又由(2)知AE⊥BF,且AE∩EP=E, ∴BF⊥平面AEP.

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[悟一法]

线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化关系:

在线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化中,线线垂
直是最基本的,在转化过程中起穿针引线的作用,线 面垂直是纽带,把线线垂直和面面垂直联系起来.

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[通一类] 3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D为AC

中点.求证:
(1)B1C∥平面A1BD; (2)B1C1⊥平面ABB1A1.

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证明:(1)如图,连接AB1.
AB1∩A1B=O, 则O为AB1中点. 连接OD,∵D为AC中点, ∴在△ACB1中,有OD∥B1C. 又∵OD?平面A1BD, B1C?平面A1BD,

∴B1C∥平面A1BD.

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(2)∵AB=B1B,三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱, ∴ABB1A1为正方形. ∴A1B⊥AB1. 又∵AC1⊥平面A1BD,A1B?平面A1BD, ∴AC1⊥A1B. 又∵AC1?平面AB1C1,AB1?平面AB1C1,

AC1∩AB1=A,

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∴A1B⊥平面AB1C1. 又∵B1C1?平面AB1C1, ∴A1B⊥B1C1. 又∵A1A⊥平面A1B1C1,B1C1?平面A1B1C1,

∴A1A⊥B1C1.
又∵A1A?平面ABB1A1,A1B?平面ABB1A1, A1A∩A1B=A1, ∴B1C1⊥平面ABB1A1.

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[做一题]
[例4] 如图,在四棱锥P-ABCD

中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP=AB=2,BC=2 2, E,F分别是AD,PC的中点. (1)证明:PC⊥平面BEF; (2)求平面BEF与平面BAP所成锐二面角的大小.

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[自主解答]

(1)连接PE,EC.

在Rt△PAE,Rt△CDE中, PA=AB=CD,AE=DE, ∴PE=CE,即△PEC是等腰三角形, 又F是PC的中点,∴EF⊥PC, 又BP= AP2+AB2=2 2=BC,F是PC的中点, ∴BF⊥PC. 又BF∩EF=F,∴PC⊥平面BEF.

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(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC. 又底面ABCD是矩形, ∴AB⊥BC.∵AB∩PA=A, ∴BC⊥平面BAP,BC⊥PB.

又由(1)知PC⊥平面BEF,
∴直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹 角.在△PBC中,PB=BC,∠PBC=90°,∴∠PCB= 45°,所以平面BEF与平面BAP所成锐二面角为45°.

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在本例中求BC与平面BEF所成角的大小.
解:由例题中(1)知PC⊥平面BEF,所以∠CBF就是所求 角,在△BCF中,BC=2 2, 1 1 CF=2PC=2 BC2+PB2=2, CF 2 sin∠CBF=BC= 2 , ∴∠CBF=45° , 即直线BC与平面BEF所成的角是45° .

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[悟一法] 1.求角的大致步骤:一找角,二证明,三求解.

2.线面角的求法:找出斜线在平面上的射影,关
键是作垂线,找垂足. 3.二面角的大小求法:二面角的大小用它的平面 角来度量.平面角的作法常见的有:①定义法; ②垂面法.

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[通一类]

4.(2012· 温州检测)如图,DC⊥平面
ABC,EB∥DC,AC=BC=EB= 2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分 别为AE,AB的中点. (1)证明:PQ∥平面ACD;

(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.

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解:(1)证明:因为P,Q分别为AE,AB的中点,
所以PQ∥EB. 又因为DC∥EB,因此PQ∥DC,PQ?平面ACD,DCC 平面ACD.从而PQ∥平面ACD. (2)如图,连接CQ,DP. 因为Q为AB的中点,且AC=BC, 所以CQ⊥AB.

因为DC⊥平面ABC,EB∥DC,
所以EB⊥平面ABC. 因此CQ⊥EB,AB∩EB=B,

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故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ∥DC, 1 又因为PQ=2EB=DC, 所以四边形CQPD为平行四边形. 故DP∥CQ.因此DP⊥平面ABE. ∠DAP为AD和平面ABE所成的角. 5 在Rt△DPA中,AD= 5,DP=1,sin∠DAP= 5 . 5 因此AD和平面ABE所成角的正弦值为 5 .

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[热点分析]

线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质、以及
线面角、二面角的求法是高考考查的热点,客观题突出“小 而巧”,主要考查垂直的判定及性质且常以命题真假的判断 为载体;主观题考查较全面,在考查垂直关系的判定与性质 的同时,还考查空间角的计算,重点考查学生的空间想象能 力,逻辑推理能力以及计算能力.2011年广东高考以侧面与底 面成钝二面角的四棱锥为载体考查了线面垂直及二面角的求

法,这一特殊的载体是高考命题的一个新方向.

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[考题印证] (2011· 广东高考)(13分)如图,在锥体 P-ABCD中,ABCD是边长为1的菱形, 且∠DAB=60° ,PA=PD= 2, PB=2,E,F分别是BC,PC的中点. (1)证明:AD⊥平面DEF; (2)求二面角P-AD-B的余弦值.

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[考题巧解]————————(一样的结果,更简洁的过程) [巧思] (1)取AD的中点O,可证得AD⊥平面POB,然后再

证明平面POB∥平面DEF即可;
(2)由(1)中AD⊥平面POB知∠POB即为二面角P-AD-B的 平面角,在△POB中利用余弦定理即可解决问题.

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[妙解] (1)证明:如图,取AD的中点O,连接PO、BO, ∵四边形ABCD是边长为1的菱形,连接BD, ∴△ABD为等边三角形. ∴BO⊥AD.? 又PA=PD= 2,∴PO⊥AD.? 又PO∩BO=O,∴AD⊥平面POB.? (2分) (3分) (4分)

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又∵E、F分别为BC、PC的中点,∴EF∥BP.

而O为AD的中点,得DE∥OB,EF∩ED=E,
∴平面POB∥平面DEF.? ∴AD⊥平面DEF.? (6分) (7分)

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(2)由(1)知PO⊥AD,BO⊥AD, 则∠POB为所求二面角的平面角,? (9分)

3 在等边三角形ABD中, 可得OB= 2 ,在△PAD中, 可得PO= 12 7 ? 2? -?2? = 2 ,?
2

(0分)

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又PB=2,在△POB中,由余弦定理得 7 3 PO2+OB2-PB2 4+4-4 21 cos∠POB= = =- 7 ,? 2PO· OB 7 3 2× 2 × 2 (12分) 21 ∴二面角P-AD-B的余弦值为- 7 .? (13分)

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1.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那 么这两个平面相互平行;

②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平
面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;

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④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂

直的直线与另一个平面也不垂直.
其中,为真命题的是 A.①② C.③④ B.②③ D.②④ ( )

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解析:只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都

平行,这两个平面才相互平行,所以①错;②符合两个
平面相互垂直的判定定理,所以②正确;垂直于同一直 线的两条直线可能平行,也可能相交或异面,所以③错; 根据两个平面垂直的性质定理易知④正确. 答案:D

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2.已知直线m、l和平面α、β,则α⊥β的充分条件 是 ( )

A.m⊥l,m∥α,l∥β
C.m∥l,m⊥α,l⊥β

B.m⊥l,α∩β=m,l?α
D.m∥l,l⊥β,m?α

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解析:由

m⊥l ? ? m∥α? D l∥β ? ?

α⊥β,反例如图.



m⊥l ? ? α∩β=m? D ? l?α ?

α⊥β,反例如图.

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m∥l ? ? m⊥α? D l⊥β ? ?

α⊥β,反例如图.

所以选项A,B,C都不对,故选D.

答案:D

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3.设直线m与平面α相交但不垂直,给出以下说法:

①在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直;
②过直线m有且只有一个平面与平面α垂直; ③与直线m垂直的直线不可能与平面α平行; ④与直线m平行的平面不可能与平面α垂直. 其中错误的是________.

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解析:因为直线m是平面α的斜线,在平面α内,只要和直

线m的射影垂直的直线都和m垂直,所以①错误;②正确;
③错误,设b?α,b⊥m,c∥b,c?α,则c∥α,c⊥m;④ 错误,如正方体AC1,m是直线BC1,平面ABCD是α,则平 面ADD1A1既与α垂直,又与m平行. 答案:①③④

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4.已知m、n表示两条不同的直线,α、β表示两个不
同的平面,给出下列四个命题:①若m∥α,n∥α, 则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α, m∥β,则α⊥β.则正确命题的序号为________.

解析:①若m∥α,n∥α,则m、n两条直线可以平
行、异面或相交.

答案:②③

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5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面

ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,
AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面 ABCD,PO=2,M为PD的中点. (1)证明:PB∥平面ACM; (2)证明:AD⊥平面PAC;

(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.

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解:(1)证明:连接BD,MO,在平行四边形ABCD中, 因为O为AC的中点,所以O为BD的中点.又M为PD的 中点,所以PB∥MO.因为PB?平面ACM,MO?平面 ACM,所以PB∥平面ACM.

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(2)证明:因为∠ADC=45°,AD= AC=1,所以∠DAC=90°,即AD ⊥AC.又PO⊥平面ABCD,AD?平面

ABCD,所以PO⊥AD.而AC∩PO=O,所以
AD⊥平面PAC.

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(3)取DO中点N,连接MN,AN.因为M为PD的中点,所以 1 MN∥PO,且MN= 2 PO=1.由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平 面ABCD,所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的 1 5 角.在Rt△ DAO中,AD=1,AO=2,所以DO= 2 .从而AN 1 5 =2DO= 4 .

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MN 1 4 5 在Rt△ ANM中,tan∠MAN= AN = = 5 , 5 4 4 5 即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为 5 .

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