2015届高考一轮复习课时提升作业(人教A版数学理):2.9 函数模型及其应用


课时提升作业(十二)
一、选择题 1.(2013·莆田模拟)抽气机每次抽出容器内空气的 60%,要使容器内剩 下的空气少于原来的 0.1%, 则至少要抽 ( 参考数据 :lg2=0.301 0,lg 3=0.477 1)( (A)15 次 ) (B)14 次 (C)9 次 (D)8 次

2.某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内打出电话 时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如图,当打 出电话 150 分钟时,这两种方式电话费相差( (A)10 元 (B)20 元 (C)30 元 )

(D)错误!未找到引用源。元

3.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料 ,如图,为降低消 耗, 开源 节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截 取的矩形面积最大时,矩形两边长 x,y 应为( )

(A)x=15,y=12 (C)x=14,y=10

(B)x=12,y=15 (D)x=10,y=14

4.某市 2012 年新建住房 100 万平方米,其中有 25 万平方米经济适用房, 有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加 5%,其中经济适用

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房每年增加 10 万平方米.按照此计划,当年建造的经 济适用房面积首 次超过该年新建住房面积一半的年份是 (参考数据:1.052≈1.10,1.053 ≈1.16,1.054≈1.22,1.055≈1.28)( (A)2014 年 (C)2016 年 (B)2015 年 (D)2017 年 )

5.(能力挑战题)如图,A,B,C,D 是某煤矿的四个采煤点,m 是公路,图中 所标线段为道路,ABQP,BCRQ,CDSR 近似于正方形.已知 A,B,C,D 四个采 煤点每天的采煤量之比约为 5∶1∶2∶3,运煤的费用与运煤的路程、 所 运煤的质量都成正比.现要从 P,Q,R,S 中选出一处设立一个运煤中转站, 使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少,则地点应选在( )

(A)P 点 (C)R 点 二、填空题

(B)Q 点 (D)S 点

6.(2013· 武汉模拟)里氏震级 M 的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中 A 是测 震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0 是相应的标准地震的振幅.假设在 一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1 000,此时标准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为________级; 9 级地震的最大振幅是 5 级地 震最大振幅的 倍.

7.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到 0.3mg/mL,在停

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止喝酒后,血 液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少,为了保障交通 安全,某地根据 《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不 得超过 0.09 mg/mL, 那么 , 一个喝了 少量酒后的驾驶员 , 至少经过 小时,才能开车(精确到 1 小时). 三、解答题 8.(2013·福州模拟)某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分 别是 P( 亿元)和 Q(亿元),它们与投资额 t(亿元)的关系有经验公式 P=
1 2t ,Q=错误! 未找到引用源。 t,今该公司将 5 亿元投资于这两个项 4

目 , 其中对甲项目投资 x( 亿元 ), 投资这两个项目所获得的总利润为 y(亿元).求: (1)y 关于 x 的函数表达式. (2)总利润的最大值. 9.已知某物体的温度θ (单位:摄氏度)随时间 t(单位:分钟)的变化规 律是: θ =m·2t+21-t(t≥0,且 m>0). (1)如果 m=2,求经过多少时间,物体的温度为 5 摄氏度. (2)若物体的温度总不低 于 2 摄氏度,求 m 的取值范围.

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答案解析
1.【解析】选 D.抽 n 次后容器剩下的空气为(40%)n.由题意知 (40%)n<0.1%,即 0.4n<0.001, ∴nlg0.4<-3, ∴n>
3 3 ? ≈7.54, 1 ? 2lg 2 1 ? 2 ? 0.301 0

∴n 的最小值为 8. 2.【解析】选 A.由题意可设 sA(t)=kt+20,sB(t)=mt, 又 s A(100)=sB(100), ∴100k+20=100m, ∴k-m=-0.2, ∴sA(150)-sB(150)=150k+20-150m=150×(-0.2 )+20=-10, 即两种方式电话费相差 10 元. 3.【思路点拨】利用三角形相似列出 x 与 y 的关系式,用 y 表示 x.从而 矩形面积可表示为关于 y 的函数. 【解析】选 A.由三角形相似得
24 ? y x ? , 24 ? 8 20

得 x=错误!未找到引用源。(24-y),由 0<x≤20 得,8≤y<24, ∴S=xy=-错误!未找到引用源。(y-12)2+180, ∴当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15. 4.【解析】选 C.设第 n 年新建住房面积为 an=100(1+5%)n, 经济适用房面积为 bn=25+10n.
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由 2bn>an 得:2(25+10n)>100(1+5%)n, 利用已知条件解得 n=4 时,不等式成立, 所以在 2016 年时满足题意. 5.【思路点拨】分别求出地点选在 P,Q,R,S 时,四个采煤点的煤运到中 转站的费用,然后比较即可. 【解析】选 B.根据题意设 A,B,C,D 四个采煤点每天所运煤的质量分别 为 5x,x,2x,3x,正方形的边长为 l(l>0).运煤的费用与运煤的路程、所 运煤的质量都成正比,比例系数为 k,k>0,则地点选在点 P,其运到中转 站的费用为 k(5xl+2xl+6xl+12xl)=25kxl; 地点选在点 Q,其运到中转站的费用为 k(10xl+xl+4xl+9xl)=24kxl; 地点选在点 R,其运到中转站的费用为 k(15xl+2xl+2xl+6xl)=25kxl; 地点选在点 S,其运到中转站的费用为 k(20xl+3xl+4xl+3xl)=30kxl; 综上可知地点应选在 Q,煤运到中转站的费用最少. 【误区警示】本题易因不能准确确定采煤点和中转站的路程关系而导 致错误. 6.【解析】由题意,在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1 000,此 时 标 准 地 震 的 振 幅 为 0.001, 则 M=lg A-lg A0=lg 1 000-lg 0.001=3-(-3)=6. 设 9 级地震的最大振幅是 x,5 级地震的最大振幅是 y, 9=l g x+3,5=lg y+3,解得 x=106,y=102. 所以 ? 答案:6
x y 106 =10 000. 102

10 000
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7.【解析】设 x 小时后,该驾驶员血液中的酒精含量不超过 0.09mg/mL, 则有 0.3〃 (错误! 未找到引用源。 )x≤0.09,即(错误! 未找到引用源。 )x ≤0.3, 估算或取对数计算得至少 5 小时后,可以开车. 答案:5 8.【解析】(1)根据题意,得 y=
1 1 2x ? (5 ? x) ,x∈[0,5]. 4 8

(2)令 t= 2x 错误!未找到引用源。,t∈[0,错误!未找到引用源。], 则 x= y= ?
t2 . 2

1 2 1 5 1 7 2 t ? t ? ? ? (t ? 2) ? , 16 4 8 16 8

因为 2∈[0,错误!未找到引用源。],所以当错误!未找到引用源。=2 时,即 x=2 时,y 最大值=0.875. 答:总利润 的最大值是 0.875 亿元. 9.【解析】(1)若 m=2,则θ=2〃2t+21-t=2(2t+
1 5 = , 2t 2 1 5 令 2t=x(x≥1),则 x+ = ,即 2x2-5x+2=0, x 2 1 解得 x=2 或 x= (舍去),此时 t=1, 2 1 ), 2t

当θ=5 时,2t+

所以经过 1 分钟,物体的温度为 5 摄氏度. (2)物体的温度总不低于 2 摄氏度,即θ≥2 恒成立.
2 ≥2 恒成立. 2t 1 1 亦即 m≥2( t ? 2t )恒成立. 2 2 1 令 t =a,则 0<a≤1. 2

亦即 m〃2t+

∴m≥2(a-a2),
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由于 a-a2≤ , ∴m≥ . 因此当物体的温度总不低于 2 摄氏度时,m 的取值范 围是[ ,+≦)
1 2

1 4

1 2

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