一元二次不等式与绝对值不等式(习题课)


绝对值不等式与一元二次 不等式练习课
目的: 目的: 通过练习逐步做到能较熟练掌握上述两类不等式的解法. 过程: 过程: 一、复习:绝对值不等式与一元二次不等式的复习. 二、例题: 例 1、解不等式
2 ≤ 1? 3 + 5x 4

解:原不等式可化为:① 1 ?

3 + 5x ≥2 或 ② 4

1?

3 + 5x ≤ ?2 4

7 9 解①得 x ≤ ? 5 ,解②得 x ≥ 5 .
∴原不等式的解集是{x| x ≤ ? 例 2、解不等式
9 7 9 7 }∪{x| x ≥ }={x| x ≤ ? 或 x ≥ 5 }. 5 5 5

2 ? 5x 1 5 + ≤ 3 4 6

解:原不等式可化为: ? 6 ≤

5

2 ? 5x 1 5 + ≤ 3 4 6

? ?10 ≤ ?20 x + 11 ≤ 10

?

1 21 ≤x≤ 20 20
1 21 ≤x≤ } 20 20

∴原不等式的解集是{x|

例 3、解关于 x 的不等式

2x + 3 ?1 < a

(a∈R) ∈

解:原不等式可化为: 2 x + 3 < a + 1 (1)当 a+1>0 即 a>?1 时, ?(a+1)<2x+3<a+1

??

a+4 a?2 <x< 2 2 ;

(2)当 a+1≤0 即 a≤?1 时,解集为Φ. ∴ (1) a>?1 时, 当 原不等式的解集是 {x| ? (2)当 a≤?1 时,解集为Φ. 例 4、解不等式
2 ≤ 1 ? 4x < 7
a+4 a?2 <x< }; 2 2

解一:原不等式可化为: 2 ≤ 4 x ? 1 < 7
? 4x ?1 ≥ 2 ? ? ? 4x ?1 < 7 ?
1 3 ? ? x ≤ ? 4 或x ≥ 4 ?? 3 ? ? <x<2 2 ?

??

3 1 3 <x≤? 或 ≤x<2 2 4 4

? ?4 x ? 1 ( x ≥ 1 ? 4x = ? 解二: ∵ ?1 ? 4 x ( x < ?

1 ) 4 1 ) 4

1 ? 1 ? ?x ≥ ?x < 4 4 ∴ Ⅰ: ? 或 Ⅱ: ? ?2 ≤ 4 x ? 1 < 7 ?2 ≤ 1 ? 4 x < 7 ? ?
(下略) 解三:原不等式解集等价于下面两个不等式解集的并集: 2≤1?4x<7,或 2≤?(1?4x)<7.(下略)

|1? |< ? 例 5、解不等式 |x+2| + |1?x|< x?4 +2| 解:原不等式即为 |x+2| + |x?1|< x?4 Ⅰ: ?? x ? 2 + 1 ? x < x + 4 ? Ⅱ: ? x + 2 + 1 ? x < x + 4 ?
x ≥1 ? ? Ⅲ: x + 2 + x ? 1 < x + 4 ?
?? 2 ≤ x < 1

? x < ?2

?

x∈Φ ; ?1<x<1; 1≤x<3.

?

?

∴ 原不等式的解集为:{x|?1<x<3} 解下列不等式: 例 6、解下列不等式: ① 3-6x-2x2<0; - <0; 解:整理得 2x2+6x-3<0. 用求根公式求根得解集{x| )<x( +1)+1; ② (x-1)(3-x)< (x+1)+1; -1)(3- )< +1)+1 解:整理得 2x2?3x+4>0
2x ? 5 ③ 3x ? 1 ≤ 1 ;
? 3 ? 15 ? 3 + 15 <x< }. 2 2

∵ ? = ?23 < 0

∴不等式解集为 R.

解:移项,通分,整理得

x+4 ≥0. 3x ? 1
3

不等式解集为{x|x≤-4 或 x> 1 } 或解:取并集 ?2 x ? 5 ≤ 3 x ? 1 或 ?2 x ? 5 ≥ 3 x ? 1 . ? ?
? 3x ? 1 > 0

? 3x ? 1 < 0

④ 0≤x2-2x-3<5; -3<5; 解:原不等式的解集为下面不等式组的解集

? ?x 2 ? 2x ? 3 ≥ 0 ? 2 ?x ? 2x ? 5 < 5 ?

? x ≤ ?1或x ≥ 3 ?? ? ?2< x < 4

∴原不等式的解集为 {x|-2<x≤-1 或 3≤x<4}. U=R, ={x| 例 7、已知 U=R,且 A={ |x2-5x-6<0},B={ | | -2|≥1}. ={ -6<0},B={x| |x-2|≥1}. (1 B). 求: 1)A∩B; (2)A∪B; (3)(CuA)∩(CuB). ( ∩ ∪ ) 解:A={x|-1<x<6},B={x|x≤1 或 x≥3}, ∴CuA={x|x≤-1 或 x≥6},CuB={x|1<x<3},于是 (1)A∩B={x|-1<x≤1 或 3≤x<6} (2)A∪B=R (3)(CuA)∩(CuB)= {x|x≤-1 或 x≥6}∪{x|1<x<3}=Φ 也可求 Cu(A∪B)=Φ (a∈ ( ∈R)
5 4

(1- ) +4ax-(4a+1)>0 例 8、解关于 x 的不等式 (1-a)x2+4 -(4 +1)>0

解:1 当 1-a=0 即 a=1 时,原不等式化为 4x-5>0,x> 2 当 1-a>0 即 a<1 时,∵ ? =4(3a+1)
? a <1 1 (1)当 ?3a + 1 > 0 即 ? 3 < a < 1 时, ? >0 ?

此时原不等式的解集是 ? x | x <

? ? ? ?

? ? 2a ? 3a + 1 ? 2a + 3a + 1 ? 或x > ?; 1? a 1? a ? ?

(2)当 a= ? 3 时, ? =0 原不等式化为 4x2-4x+1>0, 即 (2x-1)2>0,此时原不等式的解集是 {x∈R|x≠
1

1

1 }; 2

? 此时原不等式的解集为 R; (3)当 a< ? 3 时, <0 且 1-a>0,

3 当 1-a<0 即 a>1 时,原不等式可化为 (a-1)x2-4ax+(4a+1)<0 这样 a-1>0,且 ? =4(3a+1)>0,用求根公式得: 此时原不等式的解集为: ? x | 综上可得: 当 a<- 时原不等式解集为 R; 当 a=- 3 时原不等式解集为{x∈R|x≠
1
? ? ?

? ? ? ?

2a ? 3a + 1 2a + 3a + 1 ? ? <x< ? a ?1 a ?1 ? ?

1 3

1

1 }; 2
? 3a + 1 ? 2a + 3a + 1 ? 或x > ?; 1? a 1? a ? ?

当 ? 3 < a < 1 时原不等式解集为 ? x | x < ? 2a ? ? 当 a=1 时原不等式解集为{x| x> 当 a>1 时原不等式解集为 ? x |
? ? ? ?

5 }; 4

2a ? 3a + 1 2a + 3a + 1 ? ? <x< ?. a ?1 a ?1 ? ?

x 2 ? x ? 30 ≥ 0 }且 A∩B=Φ. ={x| |x- | 1},B={x| 例 9、已知 A={ | | -a|≤1},B={ | ={ ∩ x?3

的范围. 求 a 的范围. 解:化简 A={a-1≤x≤a+1} 由
x 2 ? x ? 30 ≥0 x ?3
?

( x ? 6)( x + 5) ≥0 x ?3

介绍“标根法” 介绍“标根法”

B={x|-5≤x<3 或 x≥6} 要使 A∩B=Φ,必须满足 a+1<-5 或 ?a + 1 < 6 ? 即 a<-6 或 4≤a<5 ∴ 满足条件的 a 的范围是 a<-6 或 4≤a<5 10、 (1 (1- ) 例 10、 1)若不等式 (1-a)x2-4x+6>0 的解集是{x|-3< <1}, 求 a ( +6>0 的解集是{ | 3<x<1}, 的值; 的值; (1- ) 的取值范围. (2)若-3<x<1 时 (1-a)x2-4x+6>0 成立, 求 a 的取值范围. 3< <1 +6>0 成立,
? 4 = ?3 + 1 = ?2 ? ? ?1 ? a 解: (1)由题设可知 1-a<0 6 ? = ?3 × 1 = ?3 ?1 ? a

?a ? 1 ≥ 3

?a=3

(2)设 y=(1-a)x2-4x+6 1.当 1-a>0 即 a<1 时 抛物线开口向上 当 a< 时, ? <0,解集为 R
1 3
? =24a-8

-3<x<1 自然成立

1 ?4 2 = >3 当 3 <a<1 时 ? >0 此时对称轴 x=2(1 ? a ) 1 ? a

而 x=1 时 y=3-a>0,由图象可知: -3<x<1 时都有 y>0 当 a= 3 时 式成立 ∴ a<1 时 若-3<x<1 不等式(1-a)x2-4x+6>0 都成立 2.当 a=1 时不等式为-4x+6>0 对于-3<x<1 时 2<-4x+6<18 即-4x+6>0 成立 3. 当 a>1 时 1-a<0 抛 物 线 开 口 向 下 要 使 -3<x<1 时 (1-a)x2-4x+6>0 成立
a >1 ? ? 必须 ? x = ?3时y ≥ 0 ? x = 1时y ≥ 0 ?
a >1 ? ? ? ?9(1 ? a ) + 18 ≥ 0 ? (1 ? a ) + 2 ≥ 0 ?

1

? = 0 这时对

x≠3 都有 y>0 故-3<x<1 时 不等

?1< a ≤ 3

综上:若-3<x<1 时(1-a)x2-4x+6>0 成立,则a 的取值范围是a≤3. 三、作业: 《教学与测试》 第 10 课(选部分)


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