2014年闸北区高三二模数学试题(理科)


上海市闸北区 2014 年二模试卷 高三数学(理科)
本试卷共有 16 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.
一、填空题(54 分)本大题共有 9 题,每个空格填对得 6 分,否则一律得零分. 1.设 a ? R , i 是虚数单位.若复数 2.不等式

a?i 是纯虚数,则 a ? 3?i



4 ? x 的解集为______. x

1 1 ? 的最小值为______. a b 4.在极坐标系中,曲线 C1 : ? ? cos? 与 C2 : ? ? a (a ? 0) 只有一个交点,则 a ?
3.若 2 是 log2 a 与 log2 b 的等差中项,则 为 V1 和 V2 ,则 V1 : V2 的值为 .



5.若轴截面是正方形的圆柱的上、下底面圆周均位于一个球面上,且球与圆柱的体积分别 6.如右图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为 CC1 的中 点,则直线 DE 与平面 A1 BC1 的夹角为______. 7.如右图, ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片, 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形, 再沿虚线折起,得 A 、 B 、 C 、 D 四个点重合于 图中的点 P ,正好形成一个正四棱柱形状的包装 盒, E 、 F 在 AB 上,是被切去的一个等腰直角 三角形斜边的两个端点.设 AE ? FB ? x cm.若 要使包装盒的侧面积最大,则 x 的值为______. 8.设 a ? R , an ? n ? a n ,若 ?an ? 是单调递减数列,则 a 的取值范围为______. 9.已知集合 A ? ( x, y) | y ? m x , B ? ?( x, y) | y ? x ? m?,若集合 A ? B 中仅含有一 个元素,则实数 m 的取值范围是 .

?

?

二、选择题(18 分)本大题共有 3 题,每题选对得 6 分,否则一律得零分. 10.袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球,2 个白球和 3 个黑球,从袋 中任取两球,两球颜色不同的概率等于 【 】

8 3 2 11 B. C. D. 15 5 3 15 11.函数 f ( x) ? M sin ?x(? ? 0) ,在区间 ?a, b? 上是增函数,且 f (a) ? ?M , f (b) ? M 则函数 f ( x) ? M cos?x 在区间 ?a, b? 上 【 】
A. A.是增函数 C.可以取得最大值 M B.是减函数 D.可以取得最小值 ? M

12.现有某种细胞 100 个,其中有约占总数

1 的细胞每小时分裂一次,即由 1 个细胞分裂 2 10 成 2 个细胞,按这种规律发展下去,要使细胞总数超过 10 个,需至少经过【 】
A.42 小时 B.46 小时 C.50 小时 D.52 小时

三、解答题(78 分)本大题共有 4 题,请在答题纸内写出必要的步骤. 13.本题满分 18 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 10 分 已知函数 y ? f ( x) 在定义域 R 上是增函数, 值域为 ?0,??? , 且满足: f (? x) ? 设 F ( x) ?

1 . f ( x)

1 ? f ( x) . 1 ? f ( x)

(1)求函数 y ? F ( x) 值域和零点; (2)判断函数 y ? F ( x) 奇偶性和单调性,并给予证明.

14.本题满分 18 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 10 分

x2 ? y 2 ? 1 , F1 、 F2 分别是其焦点, P 为椭圆 C 上的点, 4 已知 AF1 ? ? , BF2 ? ? , AF 1 ? BF 2 ? 1,
如图,平面 ? 内一椭圆 C : 直线 PA 、 PB 和平面 ? 所成角分别为 ? 、 ? . (1)求证: cot? ? cot? ? 4 ; (2)若 ? ? ? ? 的大小.

?
2

,求直线 PA 与 PB 所成角

15.本题满分 20 分,第 1 小题满分 10 分,第 2 小题满分 10 分 设 ?an ? 是正数组成的数列,其前 n 项和为 S n ,并且对任意的 n ? N , an 与 2 的等差
?

中项等于 S n 与 2 的等比中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 A ? ?a1 , a2 ,? ? ?, an ,? ? ??, bn ? 2 ? 3n?1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .
? ① 求证:对任意的 n ? N ,都有 bn ? A ;

② 设数列 ?bn ? 的第 n 项是数列 ?an ? 中第 r 项,求 lim
n ??

r 的值. Tn

16.本题满分 22 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 8 分 已知反比例函数 y ?

1 的图像 C 是以 x 轴与 y 轴为渐近线的等轴双曲线. x

(1)求双曲线 C 的顶点坐标与焦点坐标; (2)设 A1 、 A2 为双曲线 C 的两个顶点,点 M ( x0 , y0 ) 、 N ( y0 , x0 ) 是双曲线 C 上不同 的两个动点.求直线 A1 M 与 A2 N 交点的轨迹 E 的方程; ( 3 )设直线 l 过点 P (0,4) ,且与双曲线 C 交于 A 、 B 两点,与 x 轴交于点 Q .当

PQ ? ?1 QA ? ?2 QB ,且 ?1 ? ?2 ? ?8 时,求点 Q 的坐标.

闸北区高三数学(理科) 参考答案与评分标准
一、1.

1 ; 3

2. ?0,2? ;

6. arcsin 二、10.D

15 ; 5
11.C

7.15; 12.B

1 ; 2 ? 1? 8. ? 0, ? ; ? 2?
3.

4.1; 9. ?? 1,1? .

5.

4 2 ; 3

三、13.本题满分 18 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 10 分

1 ? f ( x) 2 ? ?1 ? , 1 ? f ( x) 1 ? f ( x) 1 ? f ( x) ? 0 ,? 0 ? ?1 1 ? f ( x) ? ?1 ? F ( x) ? 1 ,故, y ? F ( x) 的值域为 ?? 1,1? ;---------------------------------------- 4 分 1 ? f (? x) ? ,令 x ? 0 , f (0) ? ?1 , f ( x) ? f ( x) ? 0 ,? f (0) ? 1 . 故, y ? F ( x) 的零点为 x ? 0. ---------------------------------------------------------------------4 分 1 1? 1 ? f (? x) 1 ? f ( x) f ( x) ? ?? ? ? F ( x) ,-------- 3 分 (2)对任意的 x ? R , F (? x) ? 1 1 ? f (? x) 1 ? f ( x) 1? f ( x) 所以, y ? F ( x) 是奇函数.----------------------------------------------------------------------- 2 分 由已知, y ? f ( x) 在定义域 R 上是增函数, 所以,对任意的 x1 , x2 ? R , x1 ? x 2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 . f ( x2 ) ? f ( x1 ) 2 2 又 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? ? ? ? 0 .------------3 分 1 ? f ( x1 ) 1 ? f ( x2 ) (1 ? f ( x1 ))(1 ? f ( x2 )) 所以, y ? F ( x) 在定义域 R 上是减函数.-----------------------------------------------------2 分
解: (1) F ( x) ? 14.本题满分 18 分,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 10 分 解: (1)? PF 1 ? PF 2 ? 4 ,---------------------------------------------------------------------4 分

? cot? ? cot? ? 4 . -------------------------------------------------------------------4 分 1 (2) cot ? ? tan ? ? 4 , sin 2? ? .----------------------------------------------------------4 分 2 2 2 2 AP ? BP ? F1 F2 csc 2 ? ? sec 2 ? ? 12 1 ? 3 sin 2 2? 1 cos?APB ? ? ? ? .----5 分 2 AP ? BP 2 csc? sec? sin 2? 2
所以, ?APB ? 60 .
?

---------------------------------------------------------------------4 分

1 ? 5? ? 解得 ? ? 或 ,由椭圆的对称性,只要计算当 ? ? 时即可, 2 12 12 12 ? 5? ? ? sec ,后面同样给分. 此时 AP ? csc , BP ? csc 12 12 12
注:由 sin 2? ?

15.本题满分 20 分,第 1 小题满分 10 分,第 2 小题满分 10 分 解: (1)解一:由题意 当 n ? 1 时, a1 ?

an ? 2 1 ? 2S n , a n ? 0 ,得 S n ? ( a n ? 2) 2 8 2

1 (a1 ? 2) 2 ,得 a1 ? 2 ;--------------------------------------------------------2 分 8 1 2 当 n ? 2 时, S n ?1 ? (a n ?1 ? 2) . 8 1 2 2 所以, a n ?1 ? S n ?1 ? S n ? [( a n ?1 ? 2) ? (a n ? 2) ] . 8 整理,得 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 4) ? 0 .---------------------------------------------------------4 分
由题意知 an?1 ? an ? 0 ,所以 an?1 ? an ? 4 .---------------------------------------------------2 分 所以数列 ?an ? 为首项为 2,公差为 4 的等差数列,即 an ? 4n ? 2 .-----------------------2 分 解二:由题意

an ? 2 ? 2S n , a n ? 0 , 2 解得 a1 ? 2 , a 2 ? 6 , a3 ? 10 ,猜想 an ? 4n ? 2 .-----------------------------------------3 分
1 ? 当 n ? 1 时,结论显然成立; ---------------------------------------------------------1 分 ? 2 假设 n ? k 时,结论成立,即 ak ? 4k ? 2 .--------------------------------------------------1 分

ak ? 2 ? 2S k , 2 将 ak ? 4k ? 2 代入上式,得 2k ? 2S k ,解得 S k ? 2k 2 .
由题意有

a ?2 ?a ? 2? ? 2S k ?1 ,即 ? k ?1 由题意有 k ?1 ? ? 2?a k ?1 ? 2k 2 ? . 2 ? 2 ? 2 2 整理,得 ak ?1 ? 4ak ?1 ? 4 ? 16k ? 0 .
由于 ak ?1 ? 0 ,解得: ak ?1 ? 4k ? 2 ? 4(k ? 1) ? 2 .----------------------------------------4 分 综上所述,对所有的 n ? N , an ? 4n ? 2 .---------------------------------------------------1 分 (2) ①只要证: 对任意的 n ? N , 存在 m ? N , 使得 2 ? 3 解一:因为 3
n ?1
? ? n ?1 n ?1 ? 4m ? 2 , 即 3 ? 1 ? 2m . ?

2

是奇数,所以 3

n ?1

? 1 为偶数,-------------------------------------------------2 分
n ?1

故,存在正整数 m ?

3

n ?1

?1

所以,数列 ?bn ? 中的所有项都在数列 ?an ? 中,即 B ? A .
1 n ?2 解二:因为 3n?1 ? 1 ? 2n?1 ? Cn ? ? ? ? ? ?? 1? ?1 2 n?1

2

,使得 2 ? 3

? 4m ? 2 .------------------------------------3 分
n ?2 Cn ?1 2 ? ?? 1? ? 1 ,---------------1 分 n

1 n?3 当 n 为奇数时, m ? 2n?2 ? Cn ? ? ? ? ? ?? 1? ?1 2 1 n?3 当 n 为偶数时, m ? 2n?2 ? Cn ? ? ? ? ? ?? 1? ?1 2

n?1

n ?2 Cn ?1 ,---------------------------------2 分 n ?2 Cn ?1 ? 1 .-----------------------------2 分

n?1

解三:数学归纳法: k ? 1 显然成立;
?

假设 bk 在数列 ?an ? 中,存在 m ? N ,使得 bk ? 4m ? 2 ,---------------------------------1 分

-------------------------------------------------1 分

bk ?1 ? 3bk ? 3(4m ? 2) ? 4(3m ? 1) ? 2 . 所以,数列 ?bn ? 中的所有项都在数列 ?an ? 中,即 B ? A .----------------------------------3 分
② 2?3
n ?1

? 4r ? 2 ,解得 r ?

3n ?1 ? 1 , Tn ? 3n ? 1,-------------------------------------3 分 2

? lim

r 3n?1 ? 1 1 ? lim ? . n n?? T n?? 2 ? (3 ? 1) 6 n

-------------------------------------------------2 分

16.本题满分 22 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 8 分 解: (1)顶点: A1 (?1,?1) 、 A2 (1,1) , --------------------------------------2 分 焦点: F1 (? 2 ,? 2 ) 、 F2 ( 2 , 2 ) 为焦点.--------------------------------------4 分

y0 ? 1 x ?1 ( x ? 1) , A2 N : y ? 1 ? 0 ( x ? 1) --------------2 分 x0 ? 1 y0 ? 1 y ? 1 x0 ? 1 2 两式相乘,得 y 2 ? 1 ? 0 --------------------------------------2 分 ? ( x ? 1) . x0 ? 1 y 0 ? 1 1 将 y0 ? 代入上式,得 y 2 ? 1 ? ?( x 2 ? 1) ,即 x 2 ? y 2 ? 2 .----------------------------3 分 x0
(2)解一: A1 M : y ? 1 ? 即直线 A1 M 与 A2 N 交点的轨迹 E 的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 ( x ? ?1 ) .--------------------1 分

x? y?2 ? ? x0 ? x ? y , ? 解二:联立直线方程,解得 ? --------------------------------------2 分 ?y ? y ? x ? 2 . 0 ? x? y ? x? y?2 y?x?2 1 ? ? 1,化简,得 x 2 ? y 2 ? 2 .------------------------3 分 ,即 ? y0 ? x? y x? y x0
所以,直线 A1 M 与 A2 N 交点的轨迹 E 的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 ( x ? ?1 ) .---------------1 分 (3)直线 l 斜率不存在或为 0 时显然不满足条件; -------------------------------------1 分 设直线 l : y ? kx ? 4 , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 Q(? 将 y ? kx ? 4 代入 y ?

4 ,0) -------------------------------1 分 k

1 2 ,得 kx ? 4 x ? 1 ? 0 , --------------------------------------1 分 x 4 1 x1 ? x 2 ? ? , x1 ? x 2 ? ? . -------------------------------------1 分 k k 4 4 ? 4 ? ? ? ? ? ? PQ ? ?1 QA ? ?2 QB ,? ? ? ,?4 ? ? ?1 ? x1 ? , y1 ? ? ?2 ? x2 ? , y 2 ? ,-----------1 分 k k ? k ? ? ? ? ? ?4 ?4 ?1 ? ?2 ? ? ? ?8 ,即 k ( x1 ? x2 ) ? 8 ? 2(kx1 ? 4)(kx2 ? 4) , kx1 ? 4 kx2 ? 4 解得 k ? ?2 , --------------------------------------2 分 ? Q(2,0) . --------------------------------------1 分 y?4 1 2 解二:将 x ? 代入 y ? ,得 y ? 4 y ? k ? 0 , --------------------------------------1 分 k x -----------------------------------------1 分 y1 ? y2 ? 4 , y1 ? y 2 ? ?k

? PQ ? ?1 QA ? ?2 QB 4 4 ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ,?4 ? ? ?1 ? x1 ? , y1 ? ? ?2 ? x2 ? , y 2 ? k k ? k ? ? ? ? ? 4 4 ? ?4 ? ?1 y1 ? ?2 y 2 ,? ?1 ? ? , ?2 ? ? . y1 y2

-----------------------------------------1 分

1 1 ? ? 2 ,即 y1 ? y 2 ? 2 y1 y 2 . y1 y 2 ? 4 ? 2(?k ) ? k ? ?2 , --------------------------------------2 分 --------------------------------------1 分 ? Q(2,0) .
又 ?1 ? ?2 ? ?8 ,


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