高中数学人教版A选修(2-3)综合测试题


高中数学选修(2-3)综合测试题(1) 一、选择题 1.已知 a ???1, 2, 3?,b ??0, 1 , 3, 4?,R ??1 , 2? ,则方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 所表示的 不同的圆的个数有( A.3×4×2=24 D.3+4+2=9 答案:A 2.乒乓球运动员 10 人,其中男女运动员各 5 人,从这 10 名运动员 中选出 4 人进行男女混合双打比赛,选法种数为( A. ( A52 )2 答案:D 3. (1 ? x)3 ? (1 ? x)4 ? A. Cn3?3 答案:D 4.从标有 1,2,3,?,9 的 9 张纸片中任取 2 张,数字之积为偶数 的概率为( A.
1 2
? (1 ? x)n? 2 的展开式中 x2 的系数是(

) B.3×4+2=14 C.(3+4)×2=14



B. (C52 )2

C. (C52 )2· A42

D. (C52 )2· A22



B. Cn3?2

C. Cn3? 2 ? 1

D. Cn3?3 ? 1


7 8

B.

C. D.

8 9

11 18

答案:C 5.在 10 个球中有 6 个红球和 4 个白球(各不相同) ,不放回地依次 摸出 2 个球,在第一次摸出红球的条件下,第 2 次也摸到红球的概率 为( A.
3 5

) B.
2 5

C.

1 5 D. 10 9
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答案:D 6.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占 70%,乙厂产品占 30%,甲厂产 品的合格率是 95%,乙厂产品的合格率是 80%,则从市场上买到一个 是甲厂生产的合格灯泡的概率是( A.0.665 答案:A 7.正态总体的概率密度函数为 f ( x) ? 准差分别为( A.0,8 答案:D
2) B(2,, 3) C (3,, 4) D(4, 5) , 8.在一次试验中,测得 ( x,y) 的四组值分别是 A(1,,

) D.0.285

B.0.56

C.0.24

1 8π

e

?

x2 ( x?R ) 8

,则总体的平均数和标

) C.0,2 D.0,2

B.0,4

则 y 与 x 之间的回归直线方程为( A. y ? x ? 1 D. y ? x ? 1 答案:A B. y ? x ? 2

) C. y ? 2x ? 1

9.用 0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰 有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是( A.48 答案:C 10.若随机变量η 的分布列如下:
?
?2



B.36

C.28

D.20

?1

0

1

2

3

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0
P

0 .2 .2

0 .3

0 .1

0 .1 )

0

.1

则当 P(? ? x) ? 0.8 时,实数 x 的取值范围是( A.x≤2 <2 答案:C B.1≤x≤2

C.1<x≤2

D. 1 < x

11.春节期间,国人发短信拜年已成为一种时尚,若小李的 40 名同 事中,给其发短信拜年的概率为 1,0.8,0.5,0 的人数分别为 8, 15, 14, 3 (人) , 则通常情况下, 小李应收到同事的拜年短信数为 ( A.27 答案:A 12.已知ξ 的分布列如下:
?



B.37

C.38

D.8

1
1 4

2 3
1 3
1 6

4
1 4

P

并且 ? ? 2? ? 3 ,则方差 D? ? ( A. 179
36

) C. 299
72

B. 143
36

D. 227
72

答案:A 二、填空题 13.某仪表显示屏上一排有 7 个小孔,每个小孔可显示出 0 或 1,若 每次显示其中三个孔,但相邻的两孔不能同时显示,则这显示屏可以 显示的不同信号的种数有 种.
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答案:80 14.空间有 6 个点,其中任何三点不共线,任何四点不共面,以其中 的四点为顶点共可作出个四面体,经过其中每两点的直线中,有 对异面直线 答案:15 15.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击 4 次,且 各次射击是否击中目标相互之间没有影响,有下列结论: ①他第 3 次击中目标的概率是 0.9; ②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.93×0.1; ③他至少击中目标 1 次的概率是 1 ? (0.1)4 . 其中正确结论的序号是 答案:①③ 16.两名狙击手在一次射击比赛中,狙击手甲得 1 分、2 分、3 分的 概率分别为 0.4,0.1,0.5;狙击手乙得 1 分、2 分、3 分的概率分 别为 0.1,0.6,0.3,那么两名狙击手获胜希望大的是 答案:乙 三、解答题 17.有 4 个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)共有多少种放法? (2)恰有一个盒子不放球,有多少种放法? (3)恰有一个盒内放 2 个球,有多少种放法? (4)恰有两个盒不放球,有多少种放法?
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(写出所有正确结论的序号) .



解: (1)一个球一个球地放到盒子里去,每只球都可有 4 种独立的放 法,由分步乘法计数原理,放法共有: 44 ? 256 种. (2)为保证“恰有一个盒子不放球” ,先从四个盒子中任意拿出去 1 个,即将 4 个球分成 2,1,1 的三组,有 C42 种分法;然后再从三个盒 子中选一个放两个球,其余两个球,两个盒子,全排列即可.由分步
1 2 1 2 乘法计数原理,共有放法: C4 · C4 · C3 · A2 ? 144 种.

(3) “恰有一个盒内放 2 个球” ,即另外三个盒子中恰有一个空盒. 因此, “恰有一个盒内放 2 球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事. 故也有 144 种放法. (4)先从四个盒子中任意拿走两个有 C42 种,问题转化为: “4 个球, 两个盒子,每盒必放球,有几种放法?”从放球数目看,可分为(3, 1) , (2,2)两类.第一类:可从 4 个球中先选 3 个,然后放入指定的
1 一个盒子中即可,有 C43· C2 种放法;第二类:有 C42 种放法 . 因此共有
3 1 3 C4 · C2 ? C4 ? 14 种.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放

法有: C42·14 ? 84 种. 18.求 (1 ? x)2 (1 ? x)5 的展开式中 x 3 的系数. 解:解法一:先变形,再部分展开,确定系数.
(1 ? x)2 (1 ? x)5 ? (1 ? x2 )2 (1 ? x)3 ? (1 ? 2 x2 ? x4 )(1 ? 3x ? 3x2 ? x3 ) .

所以 x 3 是由第一个括号内的 1 与第二括号内的 ? x 3 的相乘和第一个括 号内的 ?2 x 2 与第二个括号内的 ? 3 x 相乘后再相加而得到, 故 x 3 的系数为
1 ? (?1) ? (?2) ? (?3) ? 5 .

解法二:利用通项公式,因 (1 ? x)2 的通项公式为 Tr ?1 ? C2r· xr ,
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(1 ? x)5 的通项公式为 Tk ?1 ? (?1)k C5k· xk ,

其中 r ??0, 1 , 2?,k ??0, 1 , 2, 3, 4, 5? ,令 k ? r ? 3 , 则? ?
k ?1 , ?k ? 2, ?k ? 3, 或? 或? , ?r ? 0. ?r ? 2, ?r ? 1

1 3 故 x 3 的系数为 ?C51 ? C2 · C52 ? C5 ?5.

19.为了调查胃病是否与生活规律有关,某地 540 名 40 岁以上的人 的调查结果如下: 患 胃病 生活不 60 规律 生活有 20 规律 合计 80 460 40 根据以上数据比较这两种情况,40 岁以上的人患胃病与生活规律有 关吗? 解:由公式得
k? ? 540 ? (60 ? 200 ? 260 ? 20)2 320 ? 220 ? 80 ? 460

未患 胃病 260

合 计 3 20 2

200 20 5

540 ? (12000 ? 5200)2 2496960 ? ? 9.638 . 2590720000 259072

∵ 9.638 ? 7.879 ,

∴我们有 99.5%的把握认为 40 岁以上的人患胃病与生活是否有规律有

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关,即生活不规律的人易患胃病. 20.一个医生已知某种病患者的痊愈率为 25%,为实验一种新药是否 有效,把它给 10 个病人服用,且规定若 10 个病人中至少有 4 个被治 好,则认为这种药有效;反之,则认为无效,试求: (1)虽新药有效,且把痊愈率提高到 35%,但通过实验被否认的概 率; (2)新药完全无效,但通过实验被认为有效的概率. 解:记一个病人服用该药痊愈率为事件 A,且其概率为 p,那么 10 个 病人服用该药相当于 10 次独立重复实验. (1) 因新药有效且 p=0.35, 故由 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k

次的概率公式知,实验被否定(即新药无效)的概率为:
0 0 10 1 1 9 2 2 x 3 3 7 P 10 (0) ? P 10 (1) ? P 10 (2) ? P 10 (3) ? C10 p (1 ? p) ? C10 p (1 ? p) ? C10 p (1 ? p) ? C10 p (1 ? p) ? 0.514

. (2)因新药无效,故 p=0.25,实验被认为有效的概率为:
P 10 (4) ? P 10 (5) ? ?P 10 (10) ? 1 ? ( P 10 (0) ? P 10 (1) ? P 10 (2) ? P 10 (3)) ? 0.224 .

即新药有效,但被否定的概率约为 0.514; 新药无效,但被认为有效的概率约为 0.224. 21. A,B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员, A 队队员是
A1,A2,A3 , B 队队员是 B1,B2,B3 ,按以往多次比赛的统计,对阵队员之

间的胜负概率如下: 对阵 队员
A 队队员胜的 A 队队员负的

概率
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概率

A1 对 B1 A2 对 B2 A3 对 B3

2 3

1 3

2 5
2 5

3 5
3 5

现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队,B 队最后所得总分分别为 ?,? . (1)求 ?,? 的概率分布列; (2)求 E? , E? . 解: (1) ?,? 的可能取值分别为 3,2,1,0.
2 2 2 8 2 2 3 1 2 2 2 3 2 28 ; P(? ? 3) ? ? ? ? ; P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 75 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 2 3 3 1 2 3 1 3 2 2 P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 3 5 5 3 5 5 3 5 5 5 1 3 3 3 P(? ? 0) ? ? ? ? . 3 5 5 25

由题意知 ? ? ? ? 3 , 所以 P(? ? 0) ? P(? ? 3) ?
P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? P(? ? 2) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? P(? ? 0) ? 28 ; 75 2 ; 5 3 . 25 8 ; 75

?

的分布列为
?

3
8 75

2
28 75

1
2 5

0
3 25

P

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? 的分布列为
?

0
8 75

1
28 75

2
2 5

3
3 25

P

(2) E? ? 3 ?

8 28 2 3 22 , ? 2 ? ? 1? ? 0 ? ? 75 75 5 25 15 15

因为 ? ? ? ? 3 ,所以 E? ? 3 ? E? ? 23 . 22.规定 Axm ? x( x ? 1)
( x ? m ? 1) ,其中 x ? R ,m

为正整数,且 Ax0 ? 1 ,这是

排列数 Anm (n,m 是正整数,且 m≤n)的一种推广. (1)求 A?315 的值; (2)排列数的两个性质:① Anm ? nAnm??11 ,② Anm ? mAnm?1 ? Anm?1 (其中 m,n 是正整数).是否都能推广到 Axm ( x ? R ,m 是正整数)的情形?若能推 广,写出推广的形式并给予证明;若不能,则说明理由; (3)确定函数 Ax3 的单调区间. 解: (1) A?315 ? (?15) ? (?16) ? (?17) ? ?4080 ; (2)性质①、②均可推广,推广的形式分别是 ① Axm ? xAxm??11 , ② Axm ? mAxm?1 ? Axm?1 ( x ? R,m ? N? ) . 事实上,在①中,当 m ? 1 时,左边 ? A1 x ? x , 右边 ? xAx0?1 ? x ,等式成立;
0 1 在②中,当 m ? 1 时,左边 ? A1 x ? Ax ? x ? 1 ? Ax ?1 ? 右边,等式成立;

当 m ≥ 2 时,左边 ? x( x ? 1)( x ? 2)
? x( x ? 1)( x ? 2)

( x ? m ? 1) ? mx( x ? 1)( x ? 2)

( x ? m ? 2)

( x ? m ? 2)[( x ? m ? 1) ? m]

m ? ( x ? 1) x( x ? 1)( x ? 2) [( x ? 1) ? m ? 1] ? Ax ?1 ? 右边,

因此② Axm ? mAxm?1 ? Axm?1 ( x ? R,m ? N? ) 成立.
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(3)先求导数,得 ( Ax3 )? ? 3x2 ? 6x ? 2 . 令 3x2 ? 6 x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 3 ?
3? 因此,当 x ? ? ? ?∞, ? 3? 当 x ?? ? ? ? 3 ?
3 3

或 x ? 3?

3

3



3? ? 时,函数为增函数, 3 ? ?

3

? , ? ∞? ? 时,函数也为增函数, ?
3 3

令 3x2 ? 6 x ? 2 ≤ 0 ,解得 3 ? 因此,当 x ? ? 3 ?
? ?

≤ x≤

3? 3 3



3 3? 3? , ? 时,函数为减函数, 3 3 ?

? ?3? 3 ? ?3 ? 3 3 ? 3 ? 3? 3 ? 3 的增区间为 ? , ;减区间为 ? ∞ , , ? ∞ , ∴函数 Ax ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ? 3

高中新课标数学选修(2-3)综合测试题(1)
一、选择题 1.已知 a ???1 , 2, 3?,b ??0 , 1 , 3 , 4 , 2 ?,R ??1 ? ,则方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 所表示的不同的 圆的个数有( ) A.3×4×2=24 B.3×4+2=14 答案:A 2.神六航天员由翟志刚、聂海胜等六人组成,每两人为一组,若指定翟志刚、聂海胜两人 一定同在一个小组,则这六人的不同分组方法有( ) A.48 种 B.36 种 C.6 种 D.3 种 答案:D

C.(3+4)×2=14

D.3+4+2=9

1 ? ? 3. ? x x ? 4 ? 的展开式中,第 3 项的二项式系数比第 2 项的二项式系数大 44,则展开式 x ? ?

n

中的常数项是( ) A.第 3 项 B.第 4 项 答案:B

C.第 7 项

D.第 8 项

4.从标有 1,2,3,?,9 的 9 张纸片中任取 2 张,数字之积为偶数的概率为(
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A.12 答案:C

B.718

C.1318

D.1118

5.在 10 个球中有 6 个红球和 4 个白球(各不相同) ,不放回地依次摸出 2 个球,在第一次 摸出红球的条件下,第 2 次也摸到红球的概率为( ) A.35 B.25 C.110 D.59 答案:D

6. 正态总体的概率密度函数为 f ( x) ? A.0,8 答案:D B.0,4

1 8π

e

?

x2 ( x?R ) 8

, 则总体的平均数和标准差分别为 ( D.0,2



C.0,2

,, 2) B(2,, 3) C (3,, 4) D(4, 5) ,则 y 与 x 之 7.在一次试验中,测得 ( x,y) 的四组值分别是 A(1

间的回归直线方程为( A. y ? x ? 1 C. y ? 2 x ? 1



B. y ? x ? 2 D. y ? x ? 1

答案:A 8.用 0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两 个奇数数字之间的五位数的个数是( ) A.48 B.36 C.28 D.20 答案:C 9.若随机变量η 的分布列如下:

?

1 2 3 ?2 ?1 0 0 0 0 0 0 P 0 .1 .2 .2 .3 .1 .1 ) D.1<x<2

则当 P(? ? x) ? 0.8 时,实数 x 的取值范围是( A.x≤2 答案:C B.1≤x≤2

C.1<x≤2

10.春节期间,国人发短信拜年已成为一种时尚,若小李的 40 名同事中,给其发短信拜年 的概率为 1,0.8,0.5,0 的人数分别为 8,15,14,3(人) ,则通常情况下,小李应收到
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同事的拜年短信数为( A.27 B.37 答案:A

) C.38

D.8

11.在 4 次独立重复试验中事件 A 出现的概率相同,若事件 A 至少发生 1 次的 概率为 6581, 则事件 A 在 1 次试验中出现的概率为( ) A.

1 3

B.

2 5

C.

5 6

D.

2 3

答案:A
? 1? 12.已知随机变量 ? ~ B ? 9, ? 则使 P(? ? k ) 取得最大值的 k 值为( ? 5? A.2 B.3 C.4 D.5



答案:A 二、填空题 13.某仪表显示屏上一排有 7 个小孔,每个小孔可显示出 0 或 1,若每次显示其中三个孔, 但相邻的两孔不能同时显示,则这显示屏可以显示的不同信号的种数有 种. 答案:80 14.已知平面上有 20 个不同的点,除去七个点在一条直线上以外,没有三个点共线,过这 20 个点中的每两个点可以连 条直线. 答案:170 15.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击 4 次,且各次射击是否击中目标 相互之间没有影响,有下列结论: ①他第 3 次击中目标的概率是 0.9; ②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.93×0.1; ③他至少击中目标 1 次的概率是 1 ? (0.1)4 . 其中正确结论的序号是 答案:①③ 16.口袋内装有 10 个相同的球,其中 5 个球标有数字 0,5 个球标有数字 1,若从袋中摸出 5 个球,那么摸出的 5 个球所标数字之和小于 2 或大于 3 的概率是 (以数值作答) . (写出所有正确结论的序号) .

答案:

13 63
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三、解答题 17.有 4 个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)共有多少种放法? (2)恰有一个盒子不放球,有多少种放法? (3)恰有一个盒内放 2 个球,有多少种放法? (4)恰有两个盒不放球,有多少种放法? 解: (1)一个球一个球地放到盒子里去,每只球都可有 4 种独立的放法,由分步乘法计数原 理,放法共有: 44 ? 256 种. (2) 为保证 “恰有一个盒子不放球” , 先从四个盒子中任意拿出去 1 个, 即将 4 个球分 成 2,
2 1,1 的三组,有 C4 种分法;然后再从三个盒子中选一个放两个球,其余两个球,两个盒子,

1 2 1 2 全排列即可.由分步乘法计数原理,共有放法: C4 · C4 · C3 · A2 ? 144 种.

(3) “恰有一个盒内放 2 个球” ,即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此, “恰有一个盒内放 2 球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事.故也有 144 种放法.
2 (4)先从四个盒子中任意拿走两个有 C4 种,问题转化为: “4 个球,两个盒子,每盒必放

球,有几种放法?”从放球数目看,可分为(3,1) , (2,2)两类.第一类:可从 4 个球中
3 1 2 先选 3 个,然后放入指定的一个盒子中即可,有 C4 种放法;第二类:有 C4 种放法.因此 · C2

3 1 3 2 共有 C4 “恰有两个盒子不放球” 的放法有: · C2 ? C4 ? 14 种.由分步乘法计数原理得 C4 · 14 ? 84

种.

18.求 (1 ? x)2 (1 ? x)5 的展开式中 x 3 的系数.

解:解法一:先变形,再部分展开,确定系数.
(1 ? x)2 (1 ? x)5 ? (1 ? x2 )2 (1 ? x)3 ? (1 ? 2 x2 ? x4 )(1 ? 3x ? 3x2 ? x3 ) .

所以 x 3 是由第一个括号内的 1 与第二括号内的 ? x 3 的相乘和第一个括号内的 ?2 x 2 与第二个 括号内的 ? 3 x 相乘后再相加而得到,故 x 3 的系数为 1 ? (?1) ? (?2) ? (?3) ? 5 .
r · xr , 解法二:利用通项公式,因 (1 ? x)2 的通项公式为 Tr ?1 ? C2

(1 ? x)5 的通项公式为 Tk ?1 ? (?1)k C5k· xk , 1 , 2?,k ??0, 1 , 2, 3, 4, 5? ,令 k ? r ? 3 , 其中 r ??0,
, ?k ? 2, ?k ? 3, ?k ? 1 则? 或? 或? , ?r ? 0. ?r ? 2, ?r ? 1

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1 1 2 3 故 x 3 的系数为 ?C5 ? C2 · C5 ? C5 ?5.

19.为了调查胃病是否与生活规律有关,某地 540 名 40 岁以上的人的调查结果如下: 患 胃病 生活不 规律 生活有 规律 合计 60 20 80 未患 胃病 260 200 460 合 计 3 20 2 20 5 40

根据以上数据比较这两种情况,40 岁以上的人患胃病与生活规律有关吗? 解:由公式得

k? ?

540 ? (60 ? 200 ? 260 ? 20)2 320 ? 220 ? 80 ? 460

540 ? (12000 ? 5200)2 2496960 ? ? 9.638 . 2590720000 259072 ∵ 9.638 ? 7.879 , ∴我们有 99.5%的把握认为 40 岁以上的人患胃病 与生活是否有规律有关,即生活不规律的 人易患胃病.

20.一个医生已知某种病患者的痊愈率为 25%,为实验一种新药是否有效,把它给 10 个病 人服用,且规定若 10 个病人中至少有 4 个被治好,则认为这种药有效;反之,则认为无效, 试求: (1)虽新药有效,且把痊愈率提高到 35%,但通过实验被否认的概率; (2)新药完全无效,但通过实验被认为有效的概率. 解:记一个病人服用该药痊愈率为事件 A,且其概率为 p,那么 10 个病人服用该药相当于 10 次独立重复实验. (2) 因新药有效且 p=0.35, 故由 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率公式知, 实验被 否定(即新药无效)的概率为:
0 0 10 1 1 9 2 2 x 3 3 7 P 10 (0) ? P 10 (1) ? P 10 (2) ? P 10 (3) ? C10 p (1 ? p) ? C10 p (1 ? p) ? C10 p (1 ? p) ? C10 p (1 ? p) ? 0.514

. (2)因新药无效,故 p=0.25,实验被认为有效的概率为: P ?P 10 (4) ? P 10 (5) ? 10 (10) ? 1 ? ( P 10 (0) ? P 10 (1) ? P 10 (2) ? P 10 (3)) ? 0.224 . 即新药有效,但被否定的概率约为 0.514; 新药无效,但被认为有效的概率约为 0.224.

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21. A,B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员, A 队队员是 A1,A2,A3 , B 队队 员是 B1,B2,B3 ,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间的胜负概率如下: 对阵 队员 A1 对 B1 A2 对 B2 A3 对 B3

A 队队员胜的 概率
2 3
2 5 2 5

A 队队员负的 概率
1 3
3 5 3 5

现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队,B 队最后所得总分分别为 ?,? . (1)求 ?,? 的概率分布列; (2)求 E? , E? . 解: (1) ?,? 的可能取值分别为 3,2,1,0.

2 2 2 8 2 2 3 1 2 2 2 3 2 28 ; P(? ? 3) ? ? ? ? ; P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 75 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 2 3 3 1 2 3 1 3 2 2 P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 3 5 5 3 5 5 3 5 5 5 1 3 3 3 P(? ? 0) ? ? ? ? . 3 5 5 25 由题意知 ? ? ? ? 3 ,
所以 P(? ? 0) ? P(? ? 3) ?

8 ; 75

P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? P(? ? 2) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? P(? ? 0) ?

28 ; 75 2 ; 5 3 . 25

? 的分布列为 ?
3 2 1 0

P

8 75

28 75

2 5

3 25

? 的分布列为
?
0 1 2 3

P

8 75

28 75

2 5

3 25

第 15 页 共 24 页

(2) E? ? 3 ?

8 28 2 3 22 , ? 2 ? ? 1? ? 0 ? ? 75 75 5 25 15 23 . 15

因为 ? ? ? ? 3 ,所以 E? ? 3 ? E? ?

22.某工业部门进行一项研究,分析该部门的产量与生产费用之间的关系,从这个工业部门 内随机抽选了 10 个企业作样本,有如下资料: 产量(千 件) x 40 42 48 55 65 生产 费用 (千 元) y 150 140 160 170 150 产量(千 件) x 79 88 100 120 140 生产 费用 (千 元) y 162 185 165 190 185

完成下列要求: (1)计算 x 与 y 的相关系数; (2)对这两个变量之 间是否线性相关进行相关性检验; (3)设回归直线方程为 y ? bx ? a ,求系数 a , b . 解:利用回归分析检验的步骤,先求相关系数,再确定 r0.05 . (1)制表
xi yi xi yi

i
1 0 2 3 4 5 6 7 8

xi2

yi2

4 50 4 2 4 8 5 5 6 5 7 9 8 8 1 85 62 50 70 60 40

1 1 1 1 1 1 1 1

1 600 1 764 2 304 3 025 4 225 6 241 7 744 1

22 500 19 600 25 600 28 900 22 500 26 244 34 225 27

60 00 58 80 76 80 93 50 97 50 12 798 16 28 0 16

第 16 页 共 24 页

00 9 1 0 合 计 77 40 7 1 20 1

65 1 90 1 85 1 657

0000 1 4400 1 9600 7 0903

225 36 100 34 225 27 7119

500 22 800 25 900 13 2938

x?

777 1657 ? 77.7 , y ? ? 165.7 10 10
2 i

?x

? 70903 , ? yi2 ? 277119 ,

?x y
i

i

? 132938

r?

132938 ? 10 ? 77.7 ? 165.7 (70903 ? 10 ? 77.72 )(27719 ? 10 ? 165.7 2 )

? 0.808 .

即 x 与 Y 的相关关系 r ? 0.808 . (2)因为 r ? 0.75 . 所以 x 与 Y 之间具有很强的线性相关关系. (3) b ?

132938 ? 10 ? 77.7 ? 165.7 ? 0.398 , a ? 165.7 ? 0.398 ? 77.7 ? 134.9 . 70903 ? 10 ? 77.7

高中新课标数学选修(2-3)综合测试题(2)
一、选择题 1.假定有一排蜂房,形状如图所示,一只蜜蜂在左下角的蜂房中,由于受了点伤,只能爬, 不能飞,而且只能永远向右方(包括右上,右下)爬行,从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂 房中去,若从最初位置爬到 4 号蜂房中,则不同的爬法有( )
第 17 页 共 24 页

A.4 种 答案:C

B.6 种

C.8 种

D.10 种

2.乒乓球运动员 10 人,其中男女运动员各 5 人,从这 10 名运动员中选出 4 人进行男女混 合双打比赛,选法种数为( ) A. ( A52 )2 答案:D 3.已知集合 M ? ?1 , 2, 3, 4, 5, 6? , N ? ?6, 7, 8, 9? ,从 M 中选 3 个元素,N 中选 2 个元素,组成一 个含有 5 个元素的集合 T,则这样的集合 T 共有( A.126 个 B.120 个 C.90 个 答案:C
? (1 ? x)n? 2 的展开式中 x2 的系数是(
3 C. Cn ?2 ? 1

B. (C52 )2

2 C. (C52 )2 · A4

2 D. (C52 )2 · A2

) D.26 个

4. (1 ? x)3 ? (1 ? x)4 ?
3 A. Cn ?3



3 B. Cn ?2

3 D. Cn ?3 ? 1

答案:D 5. 20052006 ? 2008 被 2006 除,所得余数是( ) A.2009 B.3 C.2 D.1 答案:B 6.市场上供应的灯泡中,甲厂产品占 70%,乙厂产品占 30%,甲厂产品的合格率是 95%,乙 厂产品的合格率是 80%,则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( ) A.0.665 B.0.56 C.0.24 D.0.285 答案:A 7.抛掷甲、乙两颗骰子, 若事件 A: “甲骰子的点数大于 4” ;事件 B: “甲、乙两骰子的点 数之和等于 7” ,则 P( B | A) 的值等于( ) A.

1 3

B.

1 18

C.

1 6

D.

1 9

答案:C 8.在一次智力竞赛的“风险选答”环节中,一共为选手准备了 A,B,C 三类不同的题目,
第 18 页 共 24 页

选手每答对一个 A 类、B 类、C 类的题目,将分别得到 300 分、200 分、100 分,但如果答错, 则要扣去 300 分、200 分、100 分,而选手答对一个 A 类、B 类、C 类题目的概率分别为 0.6, 0.7,0.8,则就每一次答题而言,选手选择( )题目得分的期望值更大一些( ) A.A 类 B.B 类 C.C 类 D.都一样 答案:B 9.已知ξ 的分布列如下:

?

1

2

3

4

P

1 4

1 3

1 6

1 4

并且 ? ? 2? ? 3 ,则方差 D? ? ( A.

) C.

179 36

B.

143 36

299 72

D.

227 72

答案:A 10.若 ? ~ N (?1 , 62 ) 且 P(?3 ≤? ≤ ?1) ? 0.4 ,则 P(? ≥1) 等于( A.0.1 答案:A 11.已知 x,y 之间的一组数据: B.0.2 C.0.3 D.0.4



x y
则 y 与 x 的回归方程必经过( A. (2,2) B. (1,3) 答案:C

0 1

1 3

2 5

3 7

) C. (1.5,4)

D.(2,5)

12.对于 P( K 2 ≥ k ) ,当 k ? 2.706 时,就约有的把握认为“x 与 y 有关系” ( A.99% 答案:D 二、填空题
1 ? ? 13. ? 2 x ? ? 的展开式中,常数项为 x? ?
9



B.99.5%

C.95%

D.90%

(用数字作答) .

第 19 页 共 24 页

答案:672 14.某国际科研合作项目成员由 11 个美国人,4 个法国人和 5 个中国人组成.现从中随机 选出两位作为成果发布人,则此两人不属于同一个国家的概率为 (结果用分数表 示) .

答案:

119 190

15.两名狙击手在一次射击比赛中,狙击手甲得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.4,0.1, 0.5;狙击手乙得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.1,0.6,0.3,那么两名狙击手获胜希望 大的是 . 答案:乙 16.空间有 6 个点,其中任何三点不共线,任何四点不共面,以其中的四点为顶点共可作出 个四面体,经过其中每两点的直线中,有 对异面直线. 答案:15,45 三、解答题 17.某人手中有 5 张扑克牌,其中 2 张为不同花色的 2,3 张为不同花色的 A,他有 5 次出 牌机会,每次只能出一种点数的牌,但张数不限,则有多少种不同的出牌方法? 解:由于张数不限,2 张 2,3 张 A 可以一起出,亦可分几次出,故考虑按此分类.出牌的方 法可分为以下几类:
5 (1)5 张牌全部分开出,有 A5 种方法;

(2)2 张 2 一起出,3 张 A 一起出,有 A52 种方法; (3)2 张 2 一起出,3 张 A 分开出,有 A54 种方法;
3 (4)2 张 2 一起出,3 张 A 分两次出,有 C32 A5 种方法;

3 (5)2 张 2 分开出,3 张 A 一起出,有 A5 种方法;

(6)2 张 2 分开出,3 张 A 分两次出,有 C32 A54 种方法;
5 2 4 2 3 3 2 4 ? A5 ? A5 ? C3 A5 ? A5 ? C3 A5 ? 860 种. 因此共有不同的出牌方法 A5

18. 已知数列 ?an ? 的通项 a n 是二项式 (1 ? x)n 与 (1 ? x )2n 的展开式中所 有 x 的次数相同的各
第 20 页 共 24 页

项的系数之和,求数列的通项及前 n 项和 Sn . 解:按 (1 ? x )n 及 (1 ? x )2n 两个展开式的升幂表示形式,写出的各整数次幂,可知只有当

(1 ? x )2n 中出现 x 的偶数次幂时,才能与 (1 ? x)n 的 x 的次数相比较.
0 1 2 2 由 (1 ? x)n ? Cn ? Cn x ? Cn x ? n n ? Cn x ,

0 2 4 2 (1 ? x )2 n ? (C2 n ? C2 n x ? C2 n x ?

2n n 1 3 2 2 ? C2 n x ) ? (C2 n x ? C2 n x ?

1

3

2 n ?1 ? C2 n x

2 n ?1 2

)

0 0 1 2 2 4 可得 an ? (Cn ? C2 n ) ? (Cn ? C2 n ) ? (Cn ? C2n ) ?

n 2n ? (Cn ? C2 n)

0 1 2 ? (Cn ? Cn ? Cn ?

n 0 2 4 ? Cn ) ? (C2 n ? C2 n ? C2 n ?

2n ? C2 n)

? 2n ? 22 n ?1 ,

∵an ? 2n ? 22n?1 ,

∴ Sn ? (2 ? 22 ?

1 1 22 ? 2n ) ? (22 ? 24 ? 26 ? ? 22n ? 2(2n ? 1) ? ? (4n ? 1) 2 2 3 2 1 ? 2n?1 ? 2 ? (22n ? 1) ? (22n?1 ? 3 · 2n?1 ? 8) , 3 3

1 ∴ Sn ? (22n?13 · 2n?1 ? 8) . 3

19.某休闲场馆举行圣诞酬宾活动,每位会员交会员费 50 元,可享受 20 元的消费,并参加 一次抽奖活动,从一个装有标号分别为 1,2,3,4,5,6 的 6 只均匀小球的抽奖箱中,有 放回的抽两次球,抽得的两球标号之和为 12,则获一等奖价值 a 元的礼品,标号之和为 11 或 10,获二等奖价值 100 元的礼品,标号之和小于 10 不得奖. (1)求各会员 获奖的概率; (2)设场馆收益为ξ 元,求ξ 的分布列;假如场馆打算不赔钱,a 最多可设为多少元? 解:(1)抽两次得标号之和为 12 的概率为 P 1 ? 抽两次得标号之和为 11 或 10 的概率为 P2 ? 故各会员获奖的概率为 P ? P 1 ?P 2 ? (2)

1 1 1 ? ? ; 6 6 36

5 , 36

1 5 1 ? ? . 36 36 6

?

30 ? a

30 ? 100

3

0

P

1 36

5 36

30 36

第 21 页 共 24 页

由 E? ? (30 ? a) ?

1 5 30 ? (?70) ? ? 30 ? ≥ 0 , 36 36 36

得 a ≤ 580 元. 所以 a 最多可设为 580 元.

20.在研究某种新药对猪白痢的防治效果时到如下数据: 存 活数 未用 新药 用新 药 合 计 试分析新药对防治猪白痢是否有效? 10 1 12 9 23 0 死 亡数 38 20 58 合 计 1 39 1 49 2 88

288 ? (101? 20 ? 38 ?129)2 ? 8.658 , 139 ?149 ? 230 ? 58 由于 8.658 ? 6.635 ,故可以有 99 % 的把握认为新药对防治猪白痢是有效的.
解:由公式计算得 k ?

21.甲有一个箱子,里面放有 x 个红球,y 个白球(x,y≥0,且 x+y=4) ;乙有一个箱子, 里面放有 2 个红球,1 个白球,1 个黄球.现在甲从箱子里任取 2 个球,乙从箱子里任取 1 个球.若取出的 3 个球颜色全不相同,则甲获胜. (1)试问甲如何安排箱子里两种颜色球的个数,才能使自己获胜的概率最大? (2)在(1)的条件下,求取出的 3 个球中红球个数的期望. 解:(1)要想使取出的 3 个球颜色全不相同,则乙必须取出黄球,甲取出的两个球为一个红 球一个白球,乙取出黄球的概率是
C1 · C1 x y C
2 4

1 ,甲取出的两个球为一个红球一个白球的概率是 4

?

xy 1 xy xy ,所以取出的 3 个球颜色全不相同的概率是 P ? · ? ,即甲获胜的概率为 6 4 6 24
2

P?

1 xy xy 1 ?x? y? ,由 x,y ≥ 0 , 且 x ? y ? 4 ,所以 P ? ≤ · ? ? ? ,当 x ? y ? 2 时取等号, 6 24 24 24 ? 2 ?

即甲应在箱子里放 2 个红球 2 个白球才能使自己获胜的概率最大. (2)设取出的 3 个球中红球的个数为ξ ,则ξ 的取值为 0,1,2,3.
P(? ? 0) ?
2 C2 C1 1 · 2 ? , 2 1 C4 C4 12

第 22 页 共 24 页

P(? ? 1) ?

1 1 1 2 1 C2 C2 C2 C2 C2 5 · ? · ? , 2 1 2 1 C4 C4 C4 C4 12

P(? ? 2) ?

2 1 1 1 1 C2 C2 C2 C2 C2 5 · ? · ? , 2 1 2 1 C4 C4 C4 C4 12

P(? ? 3) ?

2 C2 C1 1 · 2 ? , 2 1 C4 C4 12

所以取出的 3 个球中红球个数的期望: E? ? 0 ?

1 5 5 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1.5 . 12 12 12 12

m 22.规定 Ax ? x( x ? 1)

0 m (n, ( x ? m ? 1) ,其中 x ? R ,m 为正整数,且 Ax ? 1 ,这是排列数 An

m 是正整数,且 m≤n)的一种推广.
3 (1)求 A? 15 的值;

m m ?1 m m ?1 m (2)排列数的两个性质:① An ? nAn ? An ?1 ,② An ? mAn ?1 (其中 m,n 是正整数).是否

都能推广到 Axm ( x ? R ,m 是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不 能,则说明理由;
3 (3)确定函数 Ax 的单调区间.

3 解: (1) A? 15 ? (?15) ? (?16) ? (?17) ? ?4080 ;

(2)性质①、②均可推广,推广的形式分别是
m m ?1 ① Ax ? xAx ?1 ,

m m?1 m ? ② Ax ? mAx ? Ax ?1 ( x ? R,m ? N ) .

事实上,在①中,当 m ? 1 时,左边 ? A1 x ? x ,
0 右边 ? xAx ?1 ? x ,等式成立;

0 1 在②中,当 m ? 1 时,左边 ? A1 x ? Ax ? x ? 1 ? Ax ?1 ? 右边,等式成立;

当 m ≥ 2 时,左边 ? x( x ? 1)( x ? 2)
? x( x ? 1)( x ? 2)

( x ? m ? 1) ? mx( x ? 1)( x ? 2)

( x ? m ? 2)

( x ? m ? 2)[( x ? m ? 1) ? m]

m ? ( x ? 1) x( x ? 1)( x ? 2) [( x ? 1) ? m ? 1] ? Ax ?1 ? 右边,

第 23 页 共 24 页

m m?1 m ? 因此② Ax ? mAx ? Ax ?1 ( x ? R,m ? N ) 成立.

3 (3)先求导数,得 ( Ax )? ? 3x2 ? 6 x ? 2 .

令 3x 2 ? 6 x ? 2 ? 0 ,解得 x ?

3? 3 3? 3 或x? . 3 3

? 3? 3 ? 因此,当 x ? ? ? ∞ , ? 时,函数为增函数, ? 3 ? ? ? ?3? 3 ? 当 x ?? ? ∞? ? 3 , ? 时,函数也为增函数, ? ?

令 3x2 ? 6 x ? 2 ≤ 0 ,解得

3? 3 3? 3 ≤ x≤ , 3 3

?3 ? 3 3 ? 3 ? 因此,当 x ? ? , ? 时,函数为减函数, 3 ? ? 3 ? ? ?3 ? 3 3 ? 3 ? 3? 3 ? ?3? 3 3 的增区间为 ? , ;减区间为 ? ∞ , , ? ∞ , ∴函数 Ax ? ? ? ? ?. ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? ? 3 ? ? 3

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