福建省漳州市芗城中学高考数学一轮复习 2.4指数函数教案


第四节

指 数 函 数

教学目标: 知识与技能:了解指数函数模 型的实际意义,理解有理数幂的含义,掌握指数运算 ,理解 指数函数概念及函数的性质 过程与方法:通过指数函数的概念,会画指数函数的图象,利用图象掌握指数函数的性质 情感、态度与价值观:教学过程中,要让学生充分体验数形结合思想,感受图形的形状及函 数的单调性 教学重点:指数函数的图象及性质 教学难点: 利用指数函数的性质研究函数 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.根式 (1)根式的概念: ①若 x =a,则 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1 且 n∈N*.式子 根式,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. ②a 的 n 次方根的表示:
n

叫做n

a

? x ? ___(当n为奇数且n ? N *时), xn ? a ? ? ? x ? _____(当n为偶数且n ? N *时).
(2)根式的性质: ①

( n a )n ? a (n∈N*).

? ___, n为奇数, ? ②n an ? ? ?a,a ? 0, ___ ? n为偶数. ? ? ? a,a < 0, ? ?
2.有理数指数幂 (1)分数指数幂的意义: ①正分数指数幂: ②负分数指数幂:

a ? ____ ? a>0,m,n ? N* , 且n> 1? ;
a
? m n

m n

? ____ ? ____ ? a>0,m,n ? N* , 且n> 1?;

③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义。 (2)有理数指数幂的运算性质: ①a a =____(a>0,r,s∈Q); ②(a ) =___(a>0,r,s∈Q);
1
r s r s

③(ab) =____(a>0,b>0,r ∈Q). 上述有理数指数幂的运算性质,对于无理数指数幂也适用. 3.指数函数的概念 (1)解析式:y= a (a>0,a≠1). (2)自变量:x. 4.指数函数的图像与性质 图像 a>1
x

r

0<a<1

定义域 R 值域 (0,+∞) 性质 在 R 上是增函数 二 例题讲解

在 R 上 是减函数

a 3 b 2 3 ab 2
【典例 1】化简:(1)

(a b ) a 3 b 3

1 4

1 2 4

1> 1 (a 0,b>0). ?

(2) ? 0.008 1?

?

1 4

7 0 ?1 3 ?3 ?1 ?0.25 ? [3 ? ( ) ][ ? 81 ? (3 ) ]2 ? 10 ? 0.027 3. 8 8
1 3 2 1 3 2 1 3

1

1

【思路点拨】将根式化为分数指数幂,负分数指数幂化为正分数指数幂,底数为小数的化成 分数,然 后运用 幂的运算性质进行计算. 【规范解答】(1)原式=

(a b a b ) ab 2 a b
? 1 3

3 2

?a

3 1 1 1 1 ? ?1? 1? ?2? 2 6 3 3 3

b

? ab?1.

1 ? 1 3 4 ?1 3 ?1 ? 1 ? 1 3 3 3 (2)原式 =[( ) ]4 ? ? 3 ?1? ? [3 ? ( ) ]2 ?10 ? [( ) ] 10 2 10 1 3 1 1 2 ? 3 10 1 ? ( )?1 ? ? ( ? ) 2 ? 10 ? ? ? ? 3 ? 0. 10 3 3 3 10 3 3 9 3 ?3 3 ?7 3 13 2 【变式训练】(1)计算: a a ? a a . 7 13 1 9 3 1

? (a 2 a 2 ) 3 ? (a 3 a 3 ) 2

?

?

2

【解析】原式

(2)计算:

? (a ) ? (a ) ? a ? a ? 1. 1 1 1 7 ? ?2 ? 0.027 ? 3 ? (? ) ? (2 ) 2 ? ( 2 ? 1)0 . 7 9
27 ? 3 25 1 2 ?( ) ? ? ?7 ? ? ( ) 2 ? 1 1 000 9
10 5 ? 49 ? ? 1 ? ?45. 3 3 3
1 ? 2
1

1 3 3

1 2 2

【解析】原式

?
(3)已知
1 2

m ?m

?求 4,

m ?m
2

? ?

3 2 1 2

m ?m
【解析】∵ ∴m+m-1=14,

1 2

.

m2 ? m
1 2

1

?

1 2

? 4,
1 2



m ? m?1 ? 2 ? 16,

?

m ?m m ?m
1 2

3 2

?

3 2

1 ? 2

?

(m ? m )(m ? m ?1 ? 1) m ?m
1 2 1 ? 2

?

? m ? m ?1

+1=14+1=15.
x ?1 【典例 2】已知函数 y?( ) . 3 (1)作出图象. (2)由图象指出其单调区间. (3)由图象指出当 x 取什么值时函数有最值. 【思路点拨】将函数写成分段函数的形式,作出函数的图象,由图象可求单调区间及最值.

1

【规范解答】(1)由已知可得,

? 1 x ?1 1 x ?1 ?( ) , x ? ?1, y?( ) ?? 3 3 其图象由两部分组成: ?3x ?1 , x<? 1. ?
一部分是: y

1 x ? ( (x ) ≥0) 3

3

1 x ?1 向左平移 ???? ? y ? ( ) (x≥-1); 1个单位 3
另一部分是:y=3x(x<0)
向左平移 ???? ? y ? 3x ?1 ? x<? 1? . 1个单位

图象如图所示: (2)函数在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞)上是减函数. 1 ?1| (3)当 x=-1 时,函数 取最大值 1,无最小值. y ? ( )|x 3 【小结】指数函数图象的应用 (1)应用指数函数图象研究指数型函数的性质: 对指数型函数的性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求 解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其 图象,然后数形结合使问题得解. (2)利用图象解指数型方程、不等式: 一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函 数图象数形结合求解. 1 1 3 【典例 3】已知 f x ? ( >0 且 a≠1). ? (a)x

? ?

a x ?1 2

(1)讨论 f(x)的奇偶性. (2)求 a 的取值范围,使 f(x )>0 在定义域上恒成立. 【思路点拨】先求函数的定义域,再 判断奇偶性,对于恒成立 问题,可借助函数的奇偶性,只讨论 x>0 的情况. 【规范解答】(1)由于 ax-1≠0,则 ax≠1,得 x≠0, 所以函数 f(x)的定义域为{x|x≠0,x∈R}. 对于定义域内任意 x,有

1 1 ax 1 3 3 f ? ?x ? ? ( ? x ? ) ? ?x ? ? ( ? ) ? ?x ? x a ?1 2 1? a 2
? (?1 ?
x

1 1 1 1 ? )(? x)3 ? ( x ? )x 3 ? f ? x ? . a ?1 2 a ?1 2

∴f(x)是偶函数. (2)由(1)知 f(x)为偶函数,∴只需讨论 x>0 时的情况. 当 x>0 时,要使 f(x)>0, 即

(

1 1 3 ? )x >0, a x ?1 2



1 1 即 ? >0 , x a ?1 2

ax ?1 >0, 2(a x ? 1)

即 ax-1>0,ax>1, ax>a0. 又∵x>0,∴a>1. 因此 a>1 时,f(x)>0 在定义域上恒成立. 【小结】利用指数函数的性质可求解的问题及方法
4

(1)应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小. (2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法,与前 面所讲一般函数的求解方法一致,只需根据条件灵活选择即可. 1 2 ?4x ?3 【变式训练】 (1)函数 _________, 值域为________. f x ? ( ) ? x 的单调递减区间为 3 答案:(-∞,-2) [3-7,+∞)

? ?

(2 )已知函数

f ?x? ?

a x ?(a 1 >0 且 a≠1), ax ?1

①求 f(x)的定义域; ②讨论 f(x)的奇偶性; ③讨论 f(x)的 单调性. 【解析】①f(x)的定义域是 R. ②f(x)是奇函数. ③当 a>1 时,f(x)为 R 上的增函数 0<a<1 时, f(x )为 R 上的减函数.

三.课堂练习与作业 思考辨析,考点自测,知能巩固

5


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