大高考2017版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率与统计第二节二项式定理及其应用课件理_图文


第二节 二项式定理及其应用

知识点一 二项式定理 1.二项式定理
0 n 1 n-1 2 n-2 2 n n C a + C a b + C a b +?+ C n n n nb 公式 (a+ b) = ___________________________________ 所
n

表示的定理叫做二项式定理.

2.相关概念及公式
(1)公式右边的多项式叫做(a+b)n 的展开式.
r Cn (2)各项的系数_____ (r=0,1,?,n)叫做二项式系数.

r n-r r C a b 叫做二项展开式的通项,记作 Tr+1 n (3)展开式中的_________
r n r r =Cn a b ,它表示展开式的第 r+1 项.


(4)在二项式定理中,如果设 a=1,b=x,则得到公式
2 2 n n (1+x)n=1+C1 x + C x +?+ C n n nx .

?两个易错点;二项展开式中r取值范围;第r+1项展开式.
r n r r (1)[Tr+1=Cn a b 中 r 的取值范围为 0≤r≤n,易漏掉 r=0


和 r=n 两种情况]由( 3x+ 2)100 展开所得的 x 的多项式中, 系数为有理数的共有________项.

3

解析

r Tr+1=C100 (

3 x)

100-r

·( 2) =3

3

r

100-r 2

r r 100-r ×23C100x ,则

100-r r , 均为整数,即 r 为 6 的整数倍,由 0≤r≤100 知 r 2 3 的取值为 0,6,12,?,96 共 17 个数,即系数为有理数的 项共计 17 项.

答案 17

n-r r (2)[C r a b 是展开式的第 r + 1 项,易认为第 r 项致 n

? 2 2 ?5 误]?x -x3? 展开式中常数项为第________项. ? ?

解析

2 4 - r 2 5-r? r Tr+1=C5(x ) - 3? =C5 (-2)rx10 5r, 令
?

?

? ?

x

10-5r=0,

r=2,所以第 3 项为常数项.
答案 3

?一个易混点:混淆项的系数与二项式系数致误.

(3) 二 项 式 (x + y)5 的 展 开 式 中 , 含 x2y3 的 项 的 系 数 是
________(用数字作答).

解析

? k 5-k k Tk+1=C5x y (k=0, 1, 2, 3, 4, 5), 由题意知?

?5-k=2, ? ?k=3,

∴含 x y 的系数为
答案 10

2 3

5×4×3 3 C5= =10. 3×2×1

?两点要求:二项式定理的掌握与应用. (4)[对于二项式定理,不仅要掌握其正向运用,而且还应学会 逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便, 有时需适当配凑后逆用二项式定理 ]设S=(x-1)3+3(x-1)2+

3(x-1)+1,则S等于________.
解析
3 1 2 2 2 S=C0 3(x-1) +C3·(x-1) ·1+C3·(x-1)×1 +

3 3 3 C3 × 1 = [( x - 1) + 1] = x . 3

答案 x3

(5)[展开式的应用: 1°证明与二项式系数有关的等式;2°
证明不等式;3°证明整除问题; 4°做近似计算等]233除以9 的余数是________.

解析

10 2 9 233 =811 =(9- 1)11 =911 -C 1 · 9 + C · 9 - ? - 1. 11 11

而展开式的前 11 项均可被 9 整除,最后一项为-1,又余数 不能是负数,∴余数是 8.
答案 8

知识点二 二项式系数的性质
1.对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这 一性质可直接由性质
n-r r C Cn=_______ 得到. n

n+1 2.增减性与最大值:当 r< 2 时,二项式系数 Cr n是递增的, n+1 当 r> 2 时,二项式系数 Cr n是递减的. n 当 n 是偶数时, 中间一项(第2+1 项)的二项式系数取得最大值, n 2 Cn 最大值为_______ ;

n+1 n+3 当 n 是奇数时,中间两项(第 项和第 项)的二项式系 2 2 n ?1 n ?1

Cn Cn 数相等, 且同时取得最大值, 最大值为________ 或_________.
3.各二项式系数的和: (a+b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于
1 2 n 2n 2n,即 C0 + C + C +?+ C n n n n=____.

2

2

二项展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式 系数的和,即
n-1 0 2 4 1 3 5 2 Cn+Cn+Cn+?=Cn+Cn+Cn+?=_____.

?一个应用:二项式系数的单调性及最值. (6)[二项展开式中二项式系数在中间一项或中间两项取得最大

值]已知 (a +b)n 的二项展开式中只有第 5 项的二项式系数最大,
则n等于________.

解析

∵(a+b)n的二项展开式中只有第5项的二项式系数最大,

∴二项展开式共有9项,即n+1=9,∴n=8. 答案 8

二项展开式中的项或项的系数求解方略

求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项 Tk+1=
k n-k k Cn a b 的特点,一般需要建立方程求 k,再将 k 的值代回

通项求解,注意 k 的取值范围(k=0,1,2,?,n).

(1)第 m 项:此时 k+1=m,直接代入通项; (2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的 幂指数为 0 建立方程; (3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程. 特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方 法求解.

【例

? 1】 (1)(2016· 重庆巴蜀中学二诊)二项式? ?

? 1 2 10 -x ? 的展 x ?

开式中的常数项是( A.-45 C.45

)

B.-10 D.65
?n 1 -3? (n∈N*)的展开式中, x ?

? (2)(2015· 广东肇庆模拟)在? ?

1 所有项的系数和为-32,则 x的系数等于________.

解析

(1) 由二项式定理得 2

Tr + 1 = C r 10 ?
?

?

1 ? 10-r ? ( - x2 ) r = x?

5r 5r -5 r r C10(-1) x 2 ,令 -5=0 2 C2 ( - 1) =45,故选 C. 10

得 r=2,所以常数项为

? (2)在? ? ? ? ?

?n 1 -3? 中,令 x=1,可得(-2)n=-32,则 n=5, x ?

? ?5 1 r -3? 的展开式的通项为 Tr+1=C5? x ? ?

1 ?5-r ? (-3)r, 令5 x?

-r=2,得 r=3,
? 1 3 则令x 的项为 T4=C5? ?

1 ?2 1 1 ? (-3)3=-270· ,故 系数为 x x x?

-270.

答案 (1)C (2)-270

[点评]

(1)求二项式的项或项的系数时,首先写出通项,再根

据题设求解.
n-k k (2)运用二项式定理时, 一定要牢记通项 Tk+1=Ck a b (n∈N*), n

注意(a+b)n 与(b+a)n 虽然相同,但用二项式定理展开后,具体 到它们展开式的某一项时是不相同的,一定要注意顺序问题.

用赋值法求二项展开式系数和解题策略
?赋值法求二项式中项的系数的和与差的应用技巧

(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展开
式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对形如 (ax + by)n(a, b∈ R) 的式子求其展开式各项系数之和,只需 令x=y=1即可;同理求系数之差时,只需根据题目要求令x =1,y=-1或x=-1,y=1即可;如何赋值,要观察所求

和与差式的特点,发现差异,确保正确.

(2)若 f(x)=a0+a1x+a2x2+?+anxn, 则 f(x)展开式中各项系 数 之 和 为 f(1) , 偶 次 项 数 之 和 为 a0 + a2 + a4 + ? = f(1)+f(-1) ,奇次项系数之和为 a1 + a3 + a5 +?= 2 f(1)-f(-1) ,令 x=0,可得 a0=f(0). 2

【例2】 已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+?+a7x7.
求:(1)a1+a2+?+a7;(2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|.



令 x=1,则 a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1①

令 x=-1,则 a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37② (1)∵a0=C0 7=1,∴a1+a2+a3+?+a7=-2. -1-37 (2)(①-②)÷ 2 得:a1+a3+a5+a7= 2 =-1 094. -1+37 (3)(①+②)÷ 2 得:a0+a2+a4+a6= 2 =1 093.

(4)法一 ∵(1-2x)7 展开式中,a0,a2,a4,a6 大于零,而 a1,a3,a5,a7 小于零, ∴|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7| =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7), =1 093-(-1094)=2 187. 法二 |a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|,

即(1+2x)7 展开式中各项的系数和,令 x=1, ∴|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|=37=2 187.

[点评]

对形如(ax+b)n、(ax2+bx+c)m(a、b∈R)的式子求其

展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对
形如(ax+by)n,(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和, 只需令x=y=1即可.

二项式的和与积问题突破方略

(1) 几个多项式和的展开式中的特定项 ( 系数) 问题,只需依据

二项展开式的通项,从每一项中分别得到特定项,然后求和
即可. (2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般根据因 式连乘的规律,结合组合思想求解,但要注意适当运用分类 法,以免重复或遗漏.

(3)三项展开式中的特定项问题
方法一:利用完全平方式进行转化,利用二项式定理求解是 一般方法. 方法二:利用组合的意义,关键是正确分类,分类的标准是 各个因式中对元素的不同取法,在分类时做到“不重不漏”.

【例 3】

? a?? 1?5 (1)?x+x ??2x-x ? 的展开式中各项系数的和为 ? ?? ?

2,

则该展开式中常数项为( A.-40 C.20 B.-20 D.40

)

(2)(2016· 湖北武汉模拟)(x2-x-2)5 的展开式中 x3 的系数 为________.

解析

(1)令

? a?? 1?5 x=1,可得?x+x ??2x- x ? 的展开式中各项系数 ? ?? ?

和为 1+a,∴1+a=2,即 a=1. 法一
? 1?5 ∵?2x-x ? 的通项公式 ? ?

1r r 5-r? Tr+1=C5(2x) - ? =
?

?

?

x?

r 5 -r C5 2 ·(-1)rx5-2r.

? 1?? 1?5 ∴?x+x ??2x- x ? 的展开式中的常数项为 ? ?? ?

2 3 1 x· C3 2 · ( - 1) x + 5


1 2 3 2 · C 52 ·(-1) x=40. x

法二

用组合提取法,把原式看成 6 个因式相乘,若第

1 个括号提出 x,从余下的 5 个括号中选 2 个提出 x,选 1 1 3 个提出x ;若第 1 个括号提出x ,从余下的括号中选 2 1 个提出x ,选 3 个提出 x. 故常数项为 13 1 12 2 2 3? 2? 3 ? x· C5(2x) ·C3 - + ·C5 - ? ·C3 (2 x ) 3
? ? ? ? ? ?

x?

x

x?

=-40+80=40.

(2)∵x2-x-2=(x+1)(x-2), ∴(x2-x-2)5=(x+1)5· (x
5 1 4 2 3 3 2 4 5 -2)5.∵(x+1)5=C0 x + C x + C x + C x + C x + C 5 5 5 5 5 5,(x 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 -2)5=C0 5x - C 5 x · 2 + C 5 x · 2 - C5 x · 2 + C5 x · 2 - 5 3 2 5 5 4 4 C5 2 ) + C3 5·2 ,∴x 的系数为 C5·(-C5· 5·(C5·2 )+ 3 3 5 2 2 C4 · ( - C · 2 ) + (C · C · 2 )=120. 5 5 5 5

答案 (1)D (2)120

[ 点评 ]

多项展开式中的特定项问题,通常转化为二项式特

定项求解.

?二项式定理的综合应用
【示例】
? (2015· 广西省桂林中学高三月考)设?x- ?
3

2 ?6 ? 的展 x?

a 开式中 x 的系数为 a ,二项式系数为 b ,则 b 的值为 ________.

[解析]

6-r Tr+1=Cr x ·?- 6

? ?

3 2 ?r r r 6- ? =(-2) C6·x 2r. x?

3 3 3 令 6- r=3,得 r=2,∴T2+1=(-2)2C2 6x =60x , 2 a 60 2 ∴a=60,b=C6=15.∴ = =4. b 15

[答案] 4

[方法总结] 二项式定理应用的重点类型及解决方法
重点类型 解决方法

求二项式中的参 利用二项展开式或展开式的通项公 数问题 式构造关于参数的方程求得参数 此类问题主要是涉及特定系数和一 二项式中的最值 问题 般系数最大最小问题,特定的项的

系数最值利用n的奇偶性求得,一般
系数的最值利用二项式的通项公式 做好转化,转化成不等式组求得

求三项式或多项

有些三项式展开问题可以先通过变形 转化为二项式展开问题加以解决,对 于多项的和或积的二项式问题,可通 过“搭配”解决,但要注意不重不漏 二项式定理与其他知识的交汇往往涉

的和或积的展开
式中的指定项

与其他知识的交 汇

及参数值的求解.求出后利用二项展开
式的通项公式求解即可


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