高中数学论文:与反比例函数有关的几种类型题目的解题技巧人教版


与反比例函数有关的几种类型题目的解题技巧
摘要:反比例函数这一章是八年级数学的一个重点,也是初中数学的一个核心知识点。由反 比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题,这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生 来说无疑是一个难点,面对这样的问题,本人经过一些题目的观察和总结,对以下的几类题 目有自己的见解,若有不当之处还请各位高人批评指教。 关键词:反比例函数、函数图象、函数性质 一、给出自变量 x 的取值范围,让我们判断函数值 y 的范围; 如果每位学生都能把函数的图像正确的画出来, 我们解决这种问题就相对比较直观, 也 比较简单, 但是对于中学生来说好多学生不能对函数的图像有一个很好的掌握, 因此这种题 目很容易出错。 也是学生最容易失分的地方, 下面我就对这类问题分以下几种情况来逐一介 绍:

k ( k>0),当 x>a 或 x<b(a、b 是非零常数)时,求 y 的取值范 x k k 围。这种问题只需要把这里的 a 或 b 代入函数的解析式中,得到 y 的值 或 ,对应的 y a b k k k 的取值范围就是 y< 或 y> ,由于反比例函数 y= 当 k>0 时,y 随 x 的增大而减小。 a b x 2 例如:函数 y= ,当 x>-1 时,y 的取值范围就是 y<-2;当 x<2 时 y 的取值范围就是 y> x
1、反比例函数 y= 1。

k ( k<0),当 x>a 或 x<b(a、b 是非零常数)时,求 y 的取值范 x k k 围。我们同样把这里的 a 或 b 代入函数的解析式中,得到 y 的值 或 ,对应的 y 的取值 a b k k k 范围就是 y> 或 y< ,由于反比例函数 y= 当 k<0 时,y 随 x 的减小而增大。例如: a b x ?2 函数 y= ,当 x>-1 时,y 的取值范围就是 y>2;当 x<2 时 y 的取值范围就是 y<-1。 x k 3、反比例函数 y= (k ? 0) ,当 a<x<b,a、b 同号时,求 y 的取值范围。我们还是 x k k k k 把这里的 a、b 代入函数的解析式中,得到 y 的值 、 ,然后对 、 按小到大排序, a b a b k k k k 排好序后他们之间用“<y<”连接即可。若 > ,则 y 的取值范围就是 <y< 。例 a b b a 2 ?2 如: 函数 y= , 当-3<x<-1 时求 y 的取值范围, 把-3 和-2 代入解析式得到的 y 的值为 x 3 ?2 和-2,则 y 的取值范围就是-2<y< 。 3 k 4、反比例函数 y= (k ? 0) ,当 a<x<b,a*b<0 时,求 y 的取值范围。同样先是把 x k k k k 这里的 a、b 代入函数的解析式中,得到 y 的值 、 ,然后对这里的 、 进行大小比 a b a b
2、反比例函数 y=

较, y 的取值范围是 “大于大的, 小于小的” 。 若 例如:函数 y=

k k k k < 则 y 的取值范围就是 y< , y> 。 a b a b

2 ,当-2<x<2 时求 y 的取值范围,把-2 和 2 代入解析式得到的 y 的值为-1 x

和 1,则 y 的取值范围就是 y<-1,y>1。 二、已知反比例函数图像上的若干个点,知道横坐标的大小关系,让我们来判断纵坐标的 大小关系; 对于这种问题, 如果能正确的画出反比例函数的图像, 并会熟练的分析反比例函数的图 像,那么这类问题也很容易解决,但面对一些实际情况,我们只能寻找一些学生更容易例接 受的方式,下面我就对这些问题稍作分析: 1、反比例函数 y=

k ( k>0),点 A1(X1,Y1),A2(X2,Y2)……An(Xn,Yn)都在反比例函数的图 x

像上,已知 X1<X2<X3……<Xn(X1、X2、X3……Xn 同号) ,求 Y1,Y2,Y3……Yn 的大小关系。 这个问题我们直接利用反比例函数的性质(当 k>0 时,y 随着 x 的增大而减小) ,很容易得 到 Y1>Y2>Y3>……>Yn。例如:已知函数 y= 像上,求 Y1,Y2,Y3 的大小关系。由于 2、反比例函数 y=

2 1 ,点 A(1,Y1),B( ,Y2),C(2, Y3)在函数的图 x 2

1 <1<2,按照上面方法很容易得到 Y2>Y1>Y3。 2

k ( k<0),点 A1(X1,Y1),A2(X2,Y2)……An(Xn,Yn)都在反比例函数的图 x

像上,已知 X1<X2<X3……<Xn(X1、X2、X3……Xn 同号) ,求 Y1,Y2,Y3……Yn 的大小关系。 这个问题我们直接利用反比例函数的性质(当 k<0 时,y 随着 x 的增大而增大) ,很容易得 到 Y1<Y2<Y3<……<Yn。例如:已知函数 y= 图像上,求 Y1,Y2,Y3 的大小关系。由于 3、反比例函数 y=

?2 1 ,点 A(1,Y1),B( ,Y2),C(2, Y3)在函数的 x 2

1 <1<2,按照上面方法很容易得到 Y2<Y1<Y3。 2

k ( k>0),点 A1(X1,Y1),A2(X2,Y2)……An(Xn,Yn)都在反比例函数的图 x

像上,已知 X1<X2<…<Xk<0<Xk+1<…<Xn,求 Y1,Y2,Y3……Yn 的大小关系。这个问题就不 能像上面一样直接比较,A1、A2……An 这些点的横坐标中间被“0”隔开,做这类问题要分两 块来进行解决。 我们首先要分清楚每个点所在的函数图像在哪个象限, 在每个象限内我们还 是按照 1 和 2 的比较方式进行就可以了。反比例函数 y=

k ,当 k>0 时,它的图像在一、 x

三象限,并且在函数图象的每一支上,y 随着 x 的增大而减小。但不论怎样,第一象限内图 像的每一个点对应的 y 值都比第三象限内图像的每一点对应的 y 值要大。因此我们恒有 Ak+1……An 这些点所对应的 y 值要比 A1……Ak 点对应的 y 值要大。Y1,Y2……Yk 的大小顺寻很 容易判断是:Y1>Y2>……>Yk;Yk+1, Yk+2 ……Yn 的大小顺序是:Yk+1> Yk+2 >……>Yn。综 上我们得到 Y1,Y2,Y3……Yn 的大小关系是:Yk+1> Yk+2 >……>Yn>Y1>Y2>……>Yk;如果 不考虑这么多,用一句简单化来概括的话就是:反比例函数 y=

k ,k>0 时,图像上任意 x

的点,横坐标为正的点对应的 y 值比横坐标为负的点对应的 y 值要大,若横坐标的符号相 同 时 我 们 就 按 照 反 比 例 函 数 的 性 质 进 行 比 较 即 可 。 例 如 : 已 知 函 数 y=

2 ,点 x

A(-1,Y1),B(-

1 ,Y2),C(2, Y3),D(2.5,Y4)在函数的图像上,求 Y1,Y2,Y3,Y4 的大小关系。 2

解析:k=2 是大于零的,A,B,C,D 四点的横坐标有正有负,横坐标为正的点对应的 y 值比横 坐标为负的点对应的 y 值要大,因此肯定有 Y3,Y4 要大于 Y1,Y2,当 k>0 时在反比例函数 图像的每一支上,y 随着 x 的增大而减小,因此有 Y4 <Y3, Y2<Y1 ,进而 Y1,Y2,Y3,Y4 的大 小关系是:Y2<Y1<Y4 <Y3。 4、反比例函数 y=

k ( k<0),点 A1(X1,Y1),A2(X2,Y2)……An(Xn,Yn)都在反比例函数的图 x

像上, 已知 X1<X2<…<Xk<0<Xk+1<…<Xn,求 Y1, Y2, Y3……Yn 的大小关系。 同样 A1、 A2…… An 这些点的横坐标中间被“0”隔开,首先还是要分清楚每个点所在的函数图像在哪个象限, 在每个象限内我们还是按照 1 和 a2 的比较方式进行就可以了。反比例函数 y=

k ,当 k>0 x

时,它的图像在二、四象限,并且在函数图象的每一支上,y 随着 x 的增大而增大。但不论 怎样, 第二象限内图像的每一个点对应的 y 值都比第四象限内图像的每一点对应的 y 值要大。 因此我们恒有 A1……Ak 这些点所对应的 y 值要比 Ak+1……An 点对应的 y 值要大。Y1,Y2……Yk 的大小顺寻很容易判断是: Y1<Y2<……< Yk; Yk+1, Yk+2 ……Yn 的大小顺序是: Yk+1 < Yk+2 <……<Yn。综上我们得到 Y1,Y2,Y3……Yn 的大小关系是:Yk+1< Yk+2 <……<Yn<Y1<Y2 <……<Yk;如果不考虑这么多,用一句简单化来概括的话就是:反比例函数 y=

k ,k<0 x

时,图像上任意的点,横坐标为负的点对应的 y 值比横坐标为正的点对应的 y 值要大,若 横坐标的符号相同时我们就按照反比例函数的性质进行比较即可。例如:已知函数 y= 点 A(-1,Y1),B(-

?2 , x

1 ,Y2),C(2, Y3),D(2.5,Y4)在函数的图像上,求 Y1,Y2,Y3,Y4 的大小关系。 2

解析:k=-2 是小于零的,A,B,C,D 四点的横坐标有正有负,横坐标为负的点对应的 y 值比横 坐标为正的点对应的 y 值要大,因此肯定有 Y1,Y2 要大于 Y3,Y4,当 k<0 时在反比例函数 图像的每一支上,y 随着 x 的增大而增大,因此有 Y1 <Y2, Y3<Y4 ,进而 Y1,Y2,Y3,Y4 的大 小关系是:Y3<Y4<Y1 <Y2。


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