湖北省宜昌市葛洲坝中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案


宜昌市葛洲坝中学 2016-2017 学年第二学期

高二年级期中考试试卷数学(理科)试题

命题人:毛金平

考试时间:2017 年 4 月

一、选择题:(12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.设命题



,则 为(

)

A.

B.

C.

D.

2.设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列结论正确的是( )

A. 若

,则

B. 若

,则

C. 若

,则

D. 若

,则

3.已知双曲线

A.

B.

的离心率为 ,则的值是( ) C. 3 D.

4.设椭圆 ()

的右焦点与抛物线

的焦点相同,离心率为,则椭圆的方程为

A.

B.

111]

C.

D.

5.如右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图是两个 全等的等腰三角形,底边长为 4,腰长为 3,则该几何体的表 面积为( )

A.

B.

C.

D.

6.已知函数

的图象在点

A.

B. C. D.

处的切线过点 ,则 ( )

7.如图所示,在正方体

中,棱长为, 分别为 和

上的点,

,则 与平面

的位置关系是( )

A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 不能确定

8.若函数

在区间

单调递增,则的取值范围是( )

A. (-∞,-2] B. (-∞,-1] C. 12,+∞) D. 11,+∞)

9.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直

角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥

为鳖臑, ⊥平面 ,



,三

棱锥

的四个顶点都在球的球面上, 则球的表 面积为

A.

B.

C.

D.

10.已知过抛物线 方程为( )

焦点的直线交抛物线于、两点(点在第一象限),若

A.

B.

C.

D.

,则直线的

11.已知函数 y ? x ?1? ln x 在点 A(1,2) 处的切线为,若与二次函数 y ? ax2 ? (a ? 2)x ? 1的图象

也相切,则实数的取值为( ) A. 0 或 4 B. 8 C. 0 D. 4

12.已知双曲线

的左、右焦点分别为 ,过 的直线交双曲线右支于 两

点,且

,若

,则双曲线离心率为( ).

A.

B.

C.

D.

二、填空题:(4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.抛物线

的准线方程为__________.

14.我国南北朝时代的数学家祖恒提出体积的计算原理(祖恒原理): “幂势既同,则积不容异”.“势”即是高,“幂”是面积.意思是: 如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等,那么这 两个几何体的体积相等.类比祖恒原理,如图所示,在平面直角坐
? ? 标系中,图 1 是一个形状不规则的封闭图形,图 2 是一个上底为 1 的梯形,且当实数取 0,3 上的任
意值时,直线 y ? t 被图 1 和图 2 所截得的两线段长始终相等,则图 1 的面积为 ____________.

15.在 中,已知角的正切值为函数 __________.

在 处切线的斜率,且

,则

16 . 已 知 函 数

f

? x? ? ln x ? 1 x ? 3 ?1 ,
4 4x

g ? x? ? x2 ? 2bx ? 4 , 若 对 任 意

x1 ??0, 2?

,存在

x2 ??1, 2?,使 f ? x1? ? g ? x2 ? ,则实数的取值范围是________.

三、解答题:(6 小题,共 70 分)
17. (10 分)命题 p :关于 x 的不等式 x2 ? 2ax ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,q :函数 f (x) ? (3 ? 2a)x 是增函数,若 p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 a 的取值范围.
18.(12 分)已知△PDQ 中, A , B 分别为边 PQ 上的两个三等分点, BD 为底边 PQ 上的 高, AE / /DB ,如图 1.将△PEA,△QDB 分别沿 AE , DB 折起,使得 P , Q 重合于点 C , AB 中点为 M ,如图 2.
(1)求证: CM ? EM ; (2)若直线 DM 与平面 ABC 所成角的正切值为 2,求二面角 B ?CD ? E 的大小.

19 .( 12 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥

中,底面

,过 D 作

于 F,过 F 作

是长方形,侧棱 交 PC 于 E.

底面

,且

(Ⅰ)证明: 平面 PBC; (Ⅱ)求平面 与平面 所成二面角的余弦值.

20.(12 分)已知椭圆 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆的方程;

的离心率为,直线

与以原点为圆心、椭圆

(2)过椭圆的左顶点作直线,与圆相交于两点,,若 是钝角三角形,求直线的斜率的取值范围.

21.(12 分)已知函数 f ? x? ? 2 ? alnx ? 2(a ? 0) .
x
(1)若曲线 y ? f ?x? 在点 P?1, f ?1?? 处的切线与直线 y ? x ? 2 垂直,求函数 y ? f ?x? 的单
调区间;
(2)若对 ?x??0, ???都有 f ? x? ? 2?a ?1? 成立,试求实数的取值范围;

111]
22.(12 分)已知抛物线 (1)求该抛物线的方程;

与直线

相切.

(2)在轴的正半轴上,是否存在某个确定的点 M,过该点的动直线与抛物线 C 交于 A,B 两点,使得 为定值.如果存在,求出点 M 的坐标;如果不存在, 请说明理由

葛洲坝中学高二 4 月月考数学试卷答案
参考答案 1.B

【解析】全称命题的否定为特称,故命题 故选 B. 2.D



,则为

【解析】选项不正确,因为

是可能;选项不正确,因为

,和

选项不正确,因为 3.A

,可能 ;选项正确。故选

都有可能;

【解析】由双曲线的方程

,可得

,所以



又双曲线的离心率

,即

,解得

,故选 A。

4.A111 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因为 抛 物 线 的 焦 点 为 F(2,0), 所 以 c=2, 再 由离 心 率为 , 所 以 m=4, 所 以

所以

.

考点:椭圆与抛物线的标准方程,及性质.

点评:由抛物线的焦点,可得椭圆的半焦距 c,再由离心率可知 m,从而

,因而椭圆方程确

定.

5.C

【解析】由题设中提供的三视图所提供的图形信息与数据信息可知该几何体是底面半径为 2,高为

的圆锥,则其表面积为

,应选答案 C。

6.B 【解析】因为
7.B

,所以切线斜率为



,切线方程为

,整理得:

,代入 ,解得 ,故选 B.

【解析】因为

,所以分别取

上的点 ,使得

,连

,因

则 8.C

平面

,且 , 平面

,故

,所以四边形

是平行四边形,

,则 平面

,应选答案 B。

【解析】

,∵函数

在区间

单调递增,



在区间

上恒成立,∴ ,

而 在区间

上单调递减,∴ ,

∴的取值范围是: 9.C

,故选 C.

【解析】由题可知,底面 直径

为直角三角形,且

,则 ,则球的表面积

,则球的

111]
选C

10.D 【解析】作出抛物线的准线

于.∵

,∴设

,设 在上的射影分别是 ,连接

,过作

,由点 分别在抛物线上,结合抛物线的定义,得

.因此,

中,

,得直线 的斜率

,故选:D.

,得

所以,直线 的倾斜角

,则直线的方程为:

,即

11.D

【解析】由题设可得

y?

?

1

?

1 x

,则切线的斜率

k

?

1?1

?

2

,切线方程为

y

?

2

?

2?

x

?1?

,即

y

?

2x



代入 y ? ax2 ? ?a ? 2? x ?1,整理得 ax2 ? ax ?1 ? 0 ,由题意 a2 ? 4a ? 0 ,则 a ? 4?a ? 0? ,应选
答案 D。 12.D

【解析】设

,则

,

因为



所以

,而

所以

,选 D.

13.

【解析】依题意

,故

,准线方程为

.

9 14. 2

S ? 1 ?1? 2?? 3 ? 9

【解析】试题分析:类比祖恒原理,可得两个图形的面积相等,梯形面积为 2

2,

9 所以图 1 的面积为: 2 .
考点:类比推理 15. 【解析】



,∴

,则



∵为三角形内角,

,∴





由正弦定理得:

,得

,故答案为.

16. b ? 17 8
【解析】

试题分析:函数

f (x)

的导函数

f ?(x)

?

1 x

?

1 4

?

3 4x2

?

(x ?1)(x ? 3) 4x2

,

f ?(x) ? 0 , 若

f ?(x) ? 0 ,1 ? x ? 3 , f (x) 为增函数;若 f ?(x) ? 0 , x ? 3 或 0 ? x ? 1 , f (x) 为减函数; f (x) 在

x ? (0,2) 上有极值,

f (x)



x ?1处取极小值也是最小值

f (x)min

?

f (1)

?

?1 4

?

3 4

?1 ?

?1 2



? g(x) ? x2 ? 2bx ? 4 ? (x ? b)2 ? 4 ? b2 ,对称轴 x ? b , x ?[1,2] ,当 b ? 1 时, g(x) 在 x ? 1处

取 最 小 值 g(x)min ? g(1) ? 1 ? 2b ? 4 ? 5 ? 2b ; 当 1 ? b ? 2 时 , g(x) 在 x ? b 处 取 最 小 值 g(x)min ? g(b) ? 4 ? b2 ; 当 b ? 2 时 , g(x) 在 [1,2] 上 是 减 函 数 , g(x)min ? g(2) ? 4 ? 4b ? 4 ? 8 ? 4b ; ? 对 任 意 x1 ? (0,2) , 存 在 x2 ?[1,2] , 使

f (x1 ) ? g(x2 ) ,?只要 f (x) 的最小值大于等于 g(x) 的最小值即可,当 b ? 1 时,

? 1 ? 5 ? 2b ,计 2

算得出 b ? 11 ,故无解;当 b ? 2时, ? 1 ? 8 ? 4b ,计算得出 b ? 17 ,综上: b ? 17 ,因此,本题正

4

2

8

8

确答案是: b ? 17 . 8

考点:函数最值问题.

【方法点晴】本题主要考查函数导数与不等式,恒成立问题.解决本题的关键是根据题意对任意

x1 ? (0,2) ,存在 x2 ?[1,2] ,使 f (x1 ) ? g(x2 ) 转化为求 f (x) 的最小值大于等于 g(x) 的最小值即可.

类似地这种问题还有存在 x1 ? (0,2) ,存在 x2 ?[1,2] ,使 f (x1 ) ? g(x2 ) ,则转化为求 f (x) 的最大值

大于等于 g(x) 的最小值.解决这种问题一定要正确转化.

17.1? a ? 2 或 a ? ?2 .
【解析】
试题分析:先化简命题 p、q 所对应的数集,再利用复合命题的真假判定简单命题的真假,利用数
集间的运算进行求解.

试题解析:设 g(x) ? x2 ? 2ax ? 4 ,

由于关于 x 的不等式 x2 ? 2ax ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立, 所以函数 g(x) 的图象开口向上且与 x 轴没有交点,

故 ? ? 4a2 ?16 ? 0 ,∴ ? 2 ? a ? 2.

又∵函数 f (x) ? (3 ? 2a)x 是增函数,∴ 3 ? 2a ?1,∴ a ?1. 又由于 p ? q 为真, p ? q 为假,∴ p 和 q 一真一假.



p



q

假,则

?? ??a

2 ?

? 1

a

?

2

,∴1

?

a

?

2





p



q

真,则

?a ??a

? ?

?2或a 1

?

2

,∴

a

?

?2

.

综上可知,所求实数 a 的取值范围为1? a ? 2 或 a ? ?2 .

考点:1.不等式恒成立问题;2.逻辑联结词.

18.(1)见解析;(2) 90? .

【解析】【试题分析】(1)依据题设证明线面垂直,再借助线面垂直的性质定理分析推证;(2)依据

题设条件构建空间直角坐标系,借助坐标之间的关系及向量的数量积公式分析求解:
(1)因为 A , B 是 PQ 的三等分点,所以 PA ? AB ? BQ ? CA ? CB , 所以 ?ABC 是等边三角形,又因为 M 是 AB 的中点, 所以 CM ? AB . 因为 DB ? AB , DB ? BC , AB ? BC ? B ,所以 DB ? 平面 ABC , 又 EA / /DB ,所以 EA ?平面 ABC ; CM ? 平面 ABC ,所以 CM ? EA . 因为 AM ? EA ? A , 所以 CM ? 平面 EAM . 因为 EM ? 平面 EAM , 所以 CM ? EM . (2)以点 M 为坐标原点, MC 所在直线为轴, MB 所在直线为 y 轴,过 M 且与直线 BD 平行的直线为轴,建立空间直角坐标系 M ? xyz .
因为 DB ? 平面 ABC , 所以 ?DMB 为直线 DM 与平面 ABC 所成角. 由题意得 tan?DMB ? DB ? 2 ,即 BD ? 2MB ,
MB 从而 BD ? AC . 不妨设 AC ? 2 ,又 AC ? 2AE ,则 CM ? 3 , AE ?1.
? ? 故 B?0,1,0?, C 3,0,0 , D?0,1,2? , E ?0, ?1,1? . ? ? ? ? ? ? 于是 BC ? 3, ?1,0 , BD ? ?0,0, 2? , CE ? ? 3, ?1,1 , CD ? ? 3,1, 2 ,
设平面 BCD与平面 CDE 的法向量分别为 m ? ? x1, y1, z1 ? , n ? ? x2, y2, z2 ? ,



m {

?

BC

?

0

得{

m ? BD ? 0

3x1 ? y1 ? 2z1 ? 0

0 ,令

x1

?

1 ,得

y1

?

3,

? ? 所以 m ? 1, 3,0 .



n {

?

CE

?

0



{

?

3x2 ? y2 ? z2 ? 0 ,令 x2 ? 1得 y2 ? ?

n ? CD ? 0 ? 3x2 ? y2 ? 2z2 ? 0

3, 3

z2

?

23 3

.

所以

n

?

? ???1,

?

3 3

,

2

3 3

? ???

.

所以 cos?m, n? ? m ? n ? 0 . mn

所以二面角 B ?CD ? E 的平面角的大小为 90? .
点睛:立体几何是高中数学中的重要内容和知识点,也是高考重点考查的重要内容内容和考点。这 类问题的设置一般有两问:其一是空间线面位置关系(平行、垂直)的判定与论证;其二是角度距 离的计算与求解。解答这类问题的方法是依据题设运用线面平行、垂直的判定定理与性质定理进行 推断;角度距离的计算与求解通常是建立空间直角坐标系,运用向量的知识及数量积公式进行分析 探求之。
111]
19.(Ⅰ)见解析; (Ⅱ). 【解析】【试题分析】(Ⅰ)依据题设运用直线与平面垂直的判定定理推证; (Ⅱ)依据题设条件运 用二面角的平面角的定义求解或运用向量的数量积公式求解:.

解法一:(Ⅰ)因为

底面

,所以



由底面

为长方形,有

,而



所以

.而

,所以

. ………………………2 分

又因为



所以

平面

.而

,所以

. ………………………4 分





(Ⅱ)如图 1,在面

,所以

平面 .

………………………6 分

内,延长 与 交于点 ,则 是平面 与平面

的交线. 由(Ⅰ)知,

,所以

. ………………………8 分

又因为 底面 ,所以

.而

,所以

.



是面 与面

所成二面角的平面角, ………………………10 分

在 Rt△PDB 中, 由

,

故面 与面 所成二面角的余弦为 .

………………………12 分

解 法 二 : 如 图 2, 由 量; ……………………………………8 分

,所以

是平面

的一个法向

由(Ⅰ)知,

,所以

量 ……………………………………10 分

是平面

的一个法向

设平面 与平面 所成二面角为则



故面 与面 所成二面角的余弦为. ……………………………………12 分

20.(1)

;(2)

,且 .

【解析】试题分析:(1)先由离心率为,求出 的关系,再利用直线

与以原点为圆心、椭圆

的短半轴长为半径的圆相切,求出即可求出椭圆的方程;(2)先设出 的坐标,利用 是钝角三角

形,可得 围.

,即

,联立方程写出韦达定理代入,从而求得斜率的取值范

试题解析:(1)由

,得



由直线

与圆

相切,得

所以





所以椭圆的方程是



(2)由(1),得圆的方程是



,直线 的方程是





,由



则 由 因为





是钝角三角形,所以

,得 ,即

.①

所以

.②

由 ,与轴不共线,知

.③

由①、②、③,得直线的斜率的取值范围是

,且 .

21.(1)的单调增区间是 ?2, ??? ,单调减区间是 ?0, 2? ;(2) 0 ? a ? 2 .
e

【解析】试题分析:(1)由导数几何意义得 f ??1? ? ?1,求导数,列方程,解的值.再解导函数

零点,列表分析导函数符号变化规律,确定函数单调区间;(2)不等式恒成立问题,一般

转化为对应函数最值问题,即

f

?x? min

?

2?a

?1? ,利用导数确定函数

f

? x? 最小值

f

? ??

2 a

? ??

,最后

解不等式

f

? ??

2 a

? ??

?

2?a

?1? 即得实数的取值范围.

试题解析:(1)直线 y ? x ? 2 的斜率 1.函数 f ? x? 的定义域为 ?0, ???,

f

'?x?

?

?

2 x2

?

a x



所以

f

'?1?

?

?

2 12

?

a 1

?

?1 ,解得 a

? 1 .所以

f

?x?

?

2 x

?

lnx

?

2,

f

'?x?

?

x?2 x2

.

由 f '?x? ? 0 解得 x ? 2 ;由 f '?x? ? 0 解得 0 ? x ? 2,

所以 f ? x? 的单调增区间是 ?2, ??? ,单调减区间是 ?0, 2? .

(2)

f

'?x?

?

?

2 x2

?

a x

?

ax ? x2

2

,由

f

'?x?

?

0

解得

x

?

2 a

;由

f

'?x?

?

0

解得

0

?

x

?

2 a

.

所以

f

?

x?

在区间

? ??

2 a

,

??

? ??

上单调递增,在区间

? ??

0,2 a

? ??

上单调递减,

所以当 x ? 2 时,函数 f ? x? 取得最小值,
a

ymin

?

f

? ??

2? a ??



因为对于

?x ??0, ??? 都有

f

?x?

?

2?a

?1? 成立,所以只须

f

? ??

2 a

? ??

?

2?a

?1?

即可,

即 aln 2 ? a ,解得 0 ? a ? 2 .

a

e

22.(1)

;(2)

.

【解析】试题分析:(1)直线与抛物线相切,所以有 程.

,可解得 ,得抛物线方

(2) 联 立 直 线 与 抛 物 线 有

,把目标式坐标化可得

与无关,可得

.

试题解析:(1) 联立方程有,

,有

,由于直线与抛物线相切,



,所以

.

(2) 假设存在满足条件的点

,直线

,有







,有











时,

为定值,所以

.


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