湖北省武汉市汉铁高级中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试题


武汉市汉铁高中高二数学 10 月月考试题

一、 选择题: 1、直线 x ? 1 的倾斜角和斜率分别是( A. 90 0 ,不存在 B. 1350 , ?1 ) C. 450 ,1 D. 1800 ,不存在 ). D.x-2y-5=0 ) D. r ≤ )

2、已知点 A(1,2),B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A.4x+2y-5=0 B.4x-2y-5=0 C.x+2y-5=0

3、 x 2 ? y 2 ? x ? y ? r ? 0 表示一个圆,则 r 的取值范围是( A. r ≤2 B. r ? 2 C. r ?

1 2

1 2

4、如右图所示,直线 l1 , l2 , l3 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 则(

A. k1 ? k2 ? k3

B. k3 ? k1 ? k2

C. k1 ? k3 ? k2

D. k3 ? k2 ? k1 ).

5、若点(1,a)到直线 x-y+1=0 的距离是

,则实数 a 为(

A.-1

B.5

C.-1 或 5

D.-3 或 3

6、已知直线 l:y+m(x+1)=0 与直线 my-(2m+1)x=1 平行,则直线 l 在 x 轴上的截距是 ( A.1 ) B.-1 C.

2 2

D.-2

7、已知直线 l 过定点 P(?1, 2) ,且与以 A(?2, ?3) , B(?4,5) 为端点的线段(包含端点)有交 点,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( A. ? ?1,5? B. ? ?1,5? ) D. ? ??, ?1? ? (5, ??)

C. ? ??, ?1? ? ?5, ???

8、已知直线 l 过点 P(2,1) ),且与 x 轴 y 轴的正半轴分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点,则

?OAB 面积的最小值为(
A. 2 2 B. 4 2

) C. 4 D. 3

9、直线 x ? a 2 y ? 6 ? 0 和直线 (a ? 2) x ? 3ay ? 2a ? 0 没有公共点,则 a 的值是( A、1 B、0 C、-1 D、0 或-1



10、当 a 为任意实数时,直线 ? a ?1? x ? y ? a ? 1 ? 0 恒过定点 C ,则以 C 为圆心,半径为 5 的圆是( ) B. x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 D. x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 )

A. x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 C. x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0

11、若直线 l1:y=kx+k+2 与 l2:y=-2x+4 的交点在第一象限,则实数 k 的取值范围是(

(A)k>(B)k<2 (C)- <k<2 (D)k<- 或 k>2 2 2 12、已知两点 A( -2,0),B(0,2),点 C 是圆 x +y -2x=0 上任意一点,则△ABC 的面积最小 值是( A.3- 2 ) B.3+ 2 C.3- 2 2 D. 3- 2 2

二、填空题: 13、经过点 A(-5,2)且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程是________. 14、点 M ? ?1,0? 关于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称点 M 的坐标是___________
'

15 、已 知直线 x=2 和直线 y=2x 与 x 轴围 成的三 角形 ,则 该三角 形的外 接圆 方 程 为 _________________. 16、已知两定点 A(?2,0) , B (1,0) ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹所包围的 面积等于

三、解答题

1) , B (0 , ? 2) , C ( 4 , 2) , D 为 AB 的中点, DE // BC . 17、(10 分)在△ ABC 中,点 A(1,
(Ⅰ)求 BC 边上的高所在直线的方程; (Ⅱ)求 DE 所在直线的方程.

18 、 ( 12 分)求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的标准方程并判断点

P(2 , 4) 与圆的关系.

19、 (12 分)已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 上运动, 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

20、 (12 分) 如图, 在直角坐标系中, 射线 OA :x ? y ? 0( x ? 0) ,OB : 3x ? 3 y ? 0( x ? 0) , 过点 P(1,0) 作直线分别交射线 OA 、 OB 于 A 、 B 点. (1)当 AB 的中点为 P 时,求直线 AB 的方程; (2)当 AB 的中点在直线 y ?

1 x 上时,求直线 AB 的方程. 2

21、 (12 分)(1)已知圆 O1: ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 1 , P( x , y) 为圆 O 上的动点,求 d ? x2 ? y 2
2 2

的最大、最小值. (2)已知圆 O2: ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 , P( x , y) 为圆上任一点.求

y?2 的最大、最小值. x ?1

22、 (12 分)自点 A?? 3, 3? 发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,反射光线所在的直线与圆

C:x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切
(1)求光线 l 和反射光线所在的直 线方程. (2)光线自 A 到切点所经过的路程.

武汉市汉铁高中高二数学 10 月月考试题

参考答案

一、 选择题:ABCCC 二、填空题:

BACDC

CC

13、2x+5y=0 或 x+2y+1 =0.
? 1 8? 14、 ? ? , ? ? 5 5?

15、 ? x ?1? ? ? y ? 2? ? 5
2 2

16、 4?

三、解答题 17、(1) x ? y ? 2 ? 0 (2) x ? y ? 1 ? 0

18、 解法一: (待定系数法) 设圆的标准方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . ∵圆心在 y ? 0 上,故 b ? 0 . ∴圆的方程为 ( x ? a) 2 ? y 2 ? r 2 . 又∵该圆过 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 两点.
2 2 ? ?(1 ? a ) ? 16 ? r ∴? 2 2 ? ?(3 ? a ) ? 4 ? r
2 解之得: a ? ?1 , r ? 20.

所以所求圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 20 . 解法二: (直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 两点,所 以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上,又因为

k AB ?

4?2 ? ?1 ,故 l 的斜率为 1,又 AB 的中点为 (2 , 3) ,故 AB 的垂直平分线 l 的方程为: 1? 3

y ? 3 ? x ? 2 即 x ? y ?1 ? 0 .
又知圆心在直线 y ? 0 上,故圆心坐标为 C (?1 , 0) ∴半径 r ? AC ?

(1 ? 1) 2 ? 42 ? 20 .

故所求圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 20 . 又点 P(2 , 4) 到圆心 C (?1 , 0) 的距离为

d ? PC ? (2 ? 1) 2 ? 4 2 ? 25 ? r .
∴点 P 在圆外.

3 3 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 1 2 2 19、
20、 (1) 2 x ? ( 3 ?1) y ? 2 ? 0 . (2) 3x ? (3 ? 3) y ? 3 ? 0 .

21、解:(1)(法 1)由圆的标准方程 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 . 可设圆的参数方程为 ?
2 2

? x ? 3 ? cos? , ( ? 是参数) . ? y ? 4 ? sin ? ,
2

则 d ? x ? y ? 9 ? 6 cos? ? cos

? ? 16 ? 8 sin ? ? sin 2 ?
4 ) . 3

? 26 ? 6 cos? ? 8 sin ? ? 26 ? 10cos(? ? ? ) (其中 tan ? ?
所以 d max ? 26 ? 10 ? 36 , d min ? 26 ? 10 ? 16 .

(法 2)圆上点到原点距离的最大值 d 1 等于圆心到原点的距离 d 1 加上半径 1,圆上点到原 点距离的最小值 d 2 等于圆心到原点的距 离 d 1 减去半径 1. 所以 d1 ? 32 ? 42 ?1 ? 6 .
'

'

d2 ? 32 ? 42 ?1 ? 4 .
所以 dmax ? 36 . d min ? 16 . (2) (法 1)由 ( x ? 2) ? y ? 1 得圆的参数方程: ?
2 2

? x ? ?2 ? cos? , ? 是参数. ? y ? sin ? ,



y ? 2 sin ? ? 2 sin ? ? 2 ? ?t, .令 x ? 1 cos ? ? 3 cos ? ? 3

得 sin ? ? t cos ? ? 2 ? 3t , 1 ? t 2 sin(? ? ? ) ? 2 ? 3t

?

2 ? 3t 1? t
2

? sin(? ? ? ) ? 1 ?

3? 3 3? 3 . ?t ? 4 4

所以 tmax ?

3? 3 3? 3 , t min ? . 4 4



3? 3 3? 3 y?2 的最大值为 ,最小值为 . x ?1 4 4

此时 x ? 2 y ? ?2 ? cos? ? 2 sin? ? ?2 ? 5 cos( ? ??) . 所以 x ? 2 y 的最大值为 ?2 ? 5 ,最小值为 ?2 ? 5 . (法 2)设

y?2 ? k ,则 kx ? y ? k ? 2 ? 0 .由于 P( x , y) 是圆上点,当直线与圆有交点 x ?1

时,如图所示,

两条切线的斜率分别是最大、最小值. 由d ?

? 2k ? k ? 2 1? k 2

? 1 ,得 k ?

3? 3 . 4

所以

3? 3 3? 3 y?2 的最大值为 ,最小值为 . x ?1 4 4

令 x ? 2 y ? t ,同理两条切线在 x 轴上的截距分别是最大、最小值. 由d?

?2?m 5

? 1 ,得 m ? ?2 ? 5 .

所以 x ? 2 y 的最大值为 ?2 ? 5 ,最小值为 ?2 ? 5 .

22 、 自 点 A?? 3, 3? 发 出 的 光 线 l 射 到 x 轴 上 , 被 x 轴 反 射 , 反 射 光 线 所 在 的 直 线 与 圆

C:x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切
(1)求光线 l 和反射光线所在的直 线方程. (2)光线自 A 到切点所经过的路程. 分析、略解:观察动画演示,分析思路.根据对 M A C N GO B A’ 图 3 x 称关 次设 y

? 3? ,其 系,首先求出点 A 的对称点 A? 的坐标为 ?? 3,
过 A? 的圆 C 的切线方程为

y ? k ?x ? 3? ? 3
根据 d ? r ,即求出圆 C 的切线的斜率为

k?

4 3 或k ? 3 4

进一 步求出反射光线所在的直线的方程为

4 x ? 3 y ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0
最后根 据入射光与反射光关于 x 轴对 称,求出入射光所在直线方程为

4 x ? 3 y ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0
光路的距离为 A' M ,可由勾股定理求得 A?M
2

? A?C ? CM ? 7 .

2

2


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