2014届高三惠州一调数学(理)答案


惠州市 2014 届高三第一次调研考试
数学 (理科)参考答案与评分标准
一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 D 5 C 6 A 7 D 8 B

1.【解析】 N ? x ? Z 1 ? x ? 4 ? ?2,3?,故 M ? N ? {2,3} ,故选 C. 2.【解析】

?

?

i i (1 ? i ) 1 1 1 1 ? ? ? ? i ,所以点( ? , ) 位于第二象限.故选 B. 1? i 2 2 2 2 2

3.【解析】∵a ? b ,∴a ? b ? 4 - 2m ? 0 ? m ? 2 ,∴5a ? 3b ? (?7, ?16) .故选 A. 4.【解析】圆 x ? y ? 2 y ? 0 的圆心为 (0, ?1) ,半径为 r ? 1 ,因为直线 l1 // l2 ,所以,设直线 l1
2 2

的方程为 3x ? 4 y ? c ? 0 ,由题意得

| 3 ? 0 ? 4 ? (?1) ? c | 32 ? 42

? 1 ? c ? ?1 或 c ? 9 .

所以,直线 l1 的方程 3x ? 4 y ? 1 ? 0 或 3x ? 4 y ? 9 ? 0 .故选 D. 5.【解析】对于平面 ? 、 ? 、 ? 和直线 a 、 b ,真命题是“若 ? / / ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, , 则 a // b ”.故选 C 6.【解析】不等式组表示的可行域如图所示, 故面积为

1 1 ? 1 ? 1 ? .故选 A. 2 2
3

7.【解析】设切点为 M ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? x0 ? 3x0
2

① ,

∵ k ? f ?( x0 ) ? 3x0 ? 3 ,又切线 l 过 A、M 两点, ∴k ?

y 0 ? 16 y ? 16 2 则 3x0 ? 3 ? 0 x0 x0



联立① 、② 可解得 x0 ? ?2, y0 ? ?2 ,从而实数 a 的值为 a ? k ?

?2 ? 16 ? 9 故选 D. ?2

8.【解析】从定义出发,抓住 a , b 的奇偶性对 12 实行分拆是解决本题的关键,当 a , b 同奇偶时,
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根据 m ※ n = m ? n 将 12 分拆两个同奇偶数的和,当 a , b 一奇一偶时,根据 m ※ n = mn 将 12 分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可. 若 a , b 同奇偶,有 12 ? 1 ? 11 ? 2 ? 10 ? 3 ? 9 ? 4 ? 8 ? 5 ? 7 ? 6 ? 6 ,前面的每种可以交换 位置,最后一种只有 1 个点 (6,6) ,这时有 2 ? 5 ? 1 ? 11 ; 若 a , b 一奇一偶,有 12 ? 1 ? 12 ? 3 ? 4 ,每种可以交换位置,这时有 2 ? 2 ? 4 ; ∴共有 11 ? 4 ? 15 个.故选 B 二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做 一题. 9.94.5 10.35 11.

3 ? (或 135? ) 12. ?1 13.36 4

14.

3

15. 5

9.【解析】从茎叶图中可知 14 个数据排序为:79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114 中位数为 94 与 95 的平均数 94.5 . 10.【解析】 S10 ?

(a1 ? a10 ) ?10 (a3 ? a8 ) ?10 7 ?10 ? ? ? 35 . 2 2 2
3 ? .? 4

11.【解析】? 直线 l 与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直得 kl ? ?1 ? tan ? ,? ? ?

12.【解析】 f (8.5) ? f (5.5 ? 3) ? f (5.5) ? f (2.5 ? 3) ? f (2.5) ? f (?0.5 ? 3)

? f (?0.5) ? ? f (0.5) ? ?2 ? 0.5 ? ?1.
13.【解析】 W ?

?

4

0

?3 ? F ( x)dx ?? 5dx ? ? (3x ? 4)dx ? 5x 0 ? ? x 2 ? 4 x ? ? 36 0 2 ?2 ?2
2 4
2

4

2 2 ) 14. 【 解 析 】 由 ? ? 4sin ? 得 圆 O 为 x ? ( y ? 2) ? 4 , 圆 O 的 圆 心 C ( 0 , 2 直 线

??

?
6

( ? ? R ) 的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 0 , 所以点 C (0, 2) 到直线 ? ?

?
6

( ? ? R) 的

距离是 3 . 15.【解析】连接 OE ,? BC 切圆 O 于点 E ,? OE ? BC .又? AB ? BC, DC ? BC , O 是

AD 中点,? OE ?
三、解答题:

1 ( AB ? DC ) .? AD ? 2OE ? 5 2

16. (本小题满分 12 分) 解(1)∵ f ( x) ? 2 ?

? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? ? 2 ? cos 4 sin 2 x ? sin 4 cos 2 x ? ? ? ? ? ?
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?? ? ? 2sin ? 2 x ? ? 4? ?
∴ f ( x ) 的最大值为 2, 最小正周期为 T ?

?????????4 分

?????????5 分 ?????????6 分

2? ?? 2

(2)由(1)知, f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??
? 4?
?????????8 分
2

所以 f ?

3 3 ?? ? ? ,即 sin ? ? ? ? ? 2sin ? ? 4 2 ?2 8?
2

? 3? 13 又 ? 是第二象限的角,所以 cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ??10 分 ? ?? ? 4 ? 4 ? ?
所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? 17(本小题满分 12 分) 解:(1)若在做义工的志愿者中随机抽取 6 名,则抽取比例为 ∴ 年龄大于 40 岁的应该抽取 8 ?

3 ? 13 ? 39 ??? ? 4 ??? 8 ? 4 ? ?

???12 分

6 1 ? ?????2 分 24 4
?????????4 分

1 ? 2 人. 4

(2)在上述抽取的 6 名志愿者中任取 2 名,假设选到年龄大于 40 岁的人数为 ? , ∵ 6 名志愿者中有 2 人的年龄大于 40 岁,其余 4 人的年龄在 20 到 40 岁之间, ∴ ? 可能的取值为 0,1, 2 . 则 p(? ? 0) ? ∴? 的分布列为 ?????????5 分

0 2 C2 C4 2 C1C1 8 C2 1 ? , p(? ? 1) ? 2 2 4 ? , p(? ? 2) ? 2 ? 2 2 C6 5 C6 15 C6 15

???8 分

?

0
2 5
2 5 8 1 2 ? 2? ? 15 15 3

1
8 15

2
1 15
?????10 分

P



? 的数学期望为 E? ? 0 ? ? 1?

?????12 分

18(本小题满分 14 分) 解: (1)取 BC 的中点 D ,连 AD 、 OD
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?OB ? OC, 则OD ? BC 、 AD ? BC , ? BC ? 面OAD.过O点作OH ? AD于H ,
则 OH ? 面 ABC , OH 的长就是所要求的距离.

BC ? 2 2, OD ? OC 2 ? CD2 ? 2.

?????????3 分

? OA ? OB 、 OA ? OC ,?OA ? 平面OBC, 则OA ? OD.

AD ? OA2 ? OD2 ? 3 ,在直角三角形 OAD 中,有 OH ?

OA ? OD 2 6 ? ? . ??6 分 AD 3 3

(另解:由 V ?

1 1 2 6 S?ABC ? OH ? OA ? OB ? OC ? 知, OH ? .) 3 6 3 3

(2)连结 CH 并延长交 AB 于 F ,连结 OF 、 EF .

?OC ? 面OAB,?OC ? AB.又?OH ? 面ABC,?CF ? AB, EF ? AB,
则 ?EFC 就是所求二面角的平面角. 作 EG ? CF 于 G ,则 EG ? ?????9 分

1 6 OH ? . 2 6
OA ? OB 2 ? , AB 5

在直角三角形 OAB 中, OF ?

在直角三角形 OEF 中, EF ? OE 2 ? OF 2 ? 1 ?

4 3 ? , ?????12 分 5 5

6 EG 30 30 7 6 30 或表示为 arccos sin ?EFG ? ? 6 ? , ?EFG ? arcsin .( ) ,故所求的正弦值是18 ?????14 分 3 EF 18 18 18 5
方法二: (1)以 O 为原点, OB 、 OC 、 OA 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系. 则有 A(0, 0,1) 、 B(2, 0, 0) 、 C (0, 2, 0) 、 E (0,1, 0). ??2 分 设平面 ABC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z), 则由 n1 ? AB知: n1 ? AB ? 2x ? z ? 0; 由 n1 ? AC知: n1 ? AC ? 2 y ? z ? 0.取 n1 ? (1,1, 2) ,??4 分

??

??

??? ?

?? ??? ?

??

??? ?

?? ??? ?

??

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?? ??? ? n1 ? OA 2 6 则点 O 到面 ABC 的距离为 d ? ? . ??6 分 ?? ? 3 1?1? 4 n1
(2) EB ? (2,0,0) ? (0,1,0) ? (2, ?1,0), AB ? (2,0,0) ? (0,0,1) ? (2,0, ?1) 设平面 EAB 的法向量为 n ? ( x, y, z), 则由 n ? AB 知: n ? AB ? 2x ? z ? 0; 由 n ? EB 知: n ? EB ? 2x ? y ? 0. 取 n ? (1, 2, 2). 由(1)知平面 ABC 的法向量为 n1 ? (1,1, 2).

??? ?

??? ?

????8 分

?

?

??? ?

? ??? ?

?

??? ?

? ??? ?

?

?????10 分 ?????11 分 ?????13 分

??

? ?? ? ?? n ? n1 1 ? 2 ? 4 7 7 6 则 cos < n, n1 > ? ? ?? ? . ? ? 18 9? 6 3 6 n n1
结合图形可知,二面角 E ? AB ? C 的正弦值是 19.(本小题满分 14 分)

30 18

?????14 分

解: (1)? 数列 ?an ? 是等差数列且 s5 ? 70 ,? 5a1 ? 10d ? 70 .

①????2 分

2 ? a2 , a7 , a22 成等比数列,? a7 ? a2a22 即 (a1 ? 6d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 21d ). ②???4 分

由①,②解得 a1 ? 6, d ? 4 或 a1 ? 14, d ? 0(舍去) ????5 分

? an ? 4n ? 2

???6 分 ????7 分

(2)证明;由(1)可得 sn ? 2n2 ? 4n , 所以

1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ). sn 2n ? 4n 4 n n ? 2 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? s1 s2 s3 sn ?1 sn

????8 分

所以 Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )? ( ? ) 4 1 3 4 2 4 4 3 5 4 n ?1 n ? 1 4 n n ? 2 3 1 1 1 ? ? ( ? ). ????10 分 8 4 n ?1 n ? 2 3 3 1 1 1 ? ) ? 0 ,? Tn ? . ????11 分 ? Tn ? ? ? ( 8 8 4 n ?1 n ? 2 1 1 1 ? ) ? 0, ? Tn ?1 ? Tn ? ( 4 n ?1 n ? 3 1 ????13 分 ? 数列 ?Tn ? 是递增数列,? Tn ? T1 ? . 6 ?
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?

1 3 ? Tn ? . 6 8

????14 分

20(本小题满分 14 分) 解:(1)设 F (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) , 1
2 2 由题意,可得 PF2 ? F1F2 ,即 ( a ? c) ? b ? 2c ,

?????2 分 ?????4 分

整理得 2( ) ?
2

c a

c c 1 1 c ? 1 ? 0 ,得 ? ?1 (舍)或 ? ,所以 e ? . a a 2 2 a

(2)由(1)知 a ? 2c, b ? 3c ,可得椭圆方程为 3x2 ? 4 y 2 ? 12c2 . 直线 PF2 方程为 y ? 3( x ? c), ?????????????????5 分

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 ? 2 A, B 两点的坐标满足方程组 ? ,消去 y 并整理得 5x ? 8cx ? 0, ??6 分 ? y ? 3( x ? c ) ?

8 ? ? x2 ? 5 c ? x1 ? 0 8 ? ? 解得 x1 ? 0, x2 ? c, 得方程组的解 ? ? 5 3 3c ? y1 ? ? 3c, ? ? y2 ? , ? 5 ?
不妨设 A( c,

????????8 分

8 5

3 3c ), B(0, ? 3c) ,设 M 的坐标为 ( x, y ) 则 5
????10 分

???? ? ? 8 3 3c ???? AM ? ( x ? c, y ? ), BM ? ( x, y ? 3c) , 5 5
由 y ? 3( x ? c), 得 c ? x ?

3 y. 3
????11 分

于是 AM ? (

???? ?

???? ? 8 3 3 8 3 3 y ? x, y ? x), BM ? ( x, 3x) 15 5 5 5

由 AM ?BM ? ?2 得 (

???? ???? ? ?

8 3 3 8 3 3x y ? x) ? x ? ( y ? ) ? 3x ? ?2 , 15 5 5 5
????????????13 分

化简得 18x2 ?16 3xy ?15 ? 0 ,

10 x 2 ? 5 3 18 x 2 ? 15 c? y得 将y? 代入 c ? x ? , 16 x 3 16 3x
由c ? 0得 x ? 0. 因此, 点 M 的轨迹方程是 18x2 ?16 3xy ?15 ? 0( x ? 0) .
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????14 分

21(本小题满分 14 分)

2) 解:∵ f ( x) ? 2 x 的解集为 (?1 , ,

( 2) ∴ax ? b ? 2)x ? c ? 0 的解集为 (?1 , ,
2

????????1 分

2 ( ∴a ? 0 ,且方程 ax ? b ? 2)x ? c ? 0 的两根为 ?1 和 2

即?

?a ? b ? 2 ? c ? 0 ?b ? 2 ? a ,∴ f ( x) ? ax2 ? (2 ? a) x ? 2a , (a ? 0) ??2 分 ?? 4a ? 2b ? 4 ? c ? 0 ?c ? ?2a ?
∴? ? (2 ? a)2 ? 4a2 ? 0 ? 3a2 ? 4a ? 4 ? 0 , ∴a ? ?2 或 a ? ∵a ? 0 ,∴a ?

(1)∵ 方程 f ( x) ? 3a ? 0 有两个相等的实根,即 ax2 ? (2 ? a) x ? a ? 0 有两个相等的实根

2 3

????3 分 ∴ f ( x) ?

2 2 4 4 x ? x? ????4 分 3 3 3 2 ? a 2 ?8a 2 ? (2 ? a) 2 2 a )? (2) f ( x) ? ax ? (2 ? a) x ? 2a ? (x ? 2a 4a

2 , 3

∵a ? 0 ,∴ f ( x) 的最小值为

?8a 2 ? (2 ? a) 2 , 4a

????????5 分

2 ?8a 2 ? (2 ? a) 2 ? ?3a , 3a 2 ? 4a ? 4 ? 0 ,解得 ?2 ? a ? , 则 3 4a
∵a ? 0 ,∴0 ? a ?

????7 分

2 3
2

????????????????8 分
2

(3)由 y ? f ( x) ? ( x ? ax ? m) ? 0,(a ? 0) ,得 (a ?1) x ? 2 x ? m ? 0 ① a ? 1 时,方程(※ 有一解 x ? 当 )

(※ )

m , 2 m ; ????????????9 分 2
????10 分

函数 y ? f ( x) ? ( x2 ? ax ? m) 有一零点 x ?

② a ? 1 且 a ? 0 时,方程(※ 当 )有二解 ? ? ? 4 ? 4m ? a ?1? ? 0 , i)若 m ? 1 , a ? 1 ? 有两个零点 x ?

1 ,函数 y ? f ( x) ? ( x2 ? ax ? m) m
2 ? a ? 1? ? ?1 ? 1 ? m ? a ? 1? a ?1

?2 ? 4 ? 4m ? a ? 1?



????11 分

ii) 若 m ? ?1 ,0< a ? 1 ?
?1 ? 1 ? m ? a ? 1? a ?1

1 2 ,函数 y ? f ( x) ? ( x ? ax ? m) 有两个零点 m
????????????????13 分

x?



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③ a ? 1 时,方程(※ 当 )有一解 ? ? ? 4 ? 4m ? a ?1? ? 0 ,

a ? 1?

1 1 , 函数 y ? f ( x) ? ( x2 ? ax ? m) 有一零点 x ? . m 1? a

????14 分

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