【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和课件 理_图文


第六章 数列

§6.4 数列求和

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 审题路线图系列
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理

求数列的前n项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n项和公式 n?n-1? n?a1+an? na d 1+ 2 2 Sn= =

.

②等比数列的前n项和公式 (ⅰ)当q=1时,Sn= na1 ; a1-anq a1?1-qn? 1-q (ⅱ)当 q≠1 时,Sn= = 1 -q

.

答案

(2)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解.

(3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项.

常见的裂项公式 1 1 1 ① = - ; n n?n+1? n+1
1 ? 1 1? 1 ② = ?2n-1-2n+1?; ?2n-1??2n+1? 2? ?



= n+1- n. n+ n+1

1

(4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的推导过程的推广. (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等 比数列求和公式的推导过程的推广. (6)并项求和法 一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如an= (-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. 例如,Sn=1002-992+982-972+?+22-12=(100+99)+(98+97)+?+(2 +1)=5 050.

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1) 如果数列 {an} 为等比数列,且公比不等于 1 ,则其前 n 项和 Sn = a1-an+1 .( √ ) 1-q

1 1 1 1 (2)当 n≥2 时, 2 = ( - ).( √ ) 2 n -1 n-1 n+1
(3)求Sn=a+2a2+3a3+?+nan之和时,只要把上式等号两边同时乘以
a即可根据错位相减法求得.( × )

1 1 2 (4)数列{ n+2n-1}的前 n 项和为 n + n.( × ) 2 2
答案

(5) 推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得 sin21°+sin22°+sin23°+?+sin288°+sin289°=44.5.( √ )

答案

2

考点自测

5 1 6 1.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an= ,则 S5=________. n?n+1?
解析 1 1 1 ∵an= =n- , n?n+1? n+1

1 1 1 1 5 ∴S5=a1+a2+?+a5=1- + - +?- = . 2 2 3 6 6

1 2 3 4 5

解析答案

2. 数列 {an} 的通项公式为 an = ( - 1)n - 1· (4n - 3) ,则它的前 100 项之和 -200 S100=________. 解析 S100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3)-?-(4×100-3)

=4×[(1-2)+(3-4)+…+(99-100)]=4×(-50)=-200.

1 2 3 4 5

解析答案

?1? ?2? ?10? 4x ? ? ? ? ? 3. 设 f(x) = x ,利用倒序相加法,则 f ?11? + f ?11? + ? + f ? ? ?= 11 ? ? ? ? ? ? 4 +2 5 ________.

解析

当x1+x2=1时,

4 x1 4 x2 2 ? 4 x1 ? x2 ? 2 ? (4 x1 ? 4 x2 ) f(x1)+f(x2) ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ?1 x1 x2 4 ?2 4 ?2 4 ? (4 ? 4 ) ? 2 ? 4



?1? ?2? ?10? ? ? ? ? ? S = f ?11? + f ?11? + ? + f ? ? ?,倒序相加有 ? ? ? ? ?11 ?

? ?1? ?10?? ? ? ? ?? 2S = ?f?11?+f? ? ?? + ? ? ? ?11 ??

? ?2? ? 9 ?? ? ?10? ? 1 ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?f? ?+f? ??+?+?f? ?+f? ??=10, 11 11 11 11 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??

即S=5.
1 2 3 4 5
解析答案

4.若数列 {an}的通项公式为 an=2n+2n-1,则数列{an} 的前n项和Sn= ____________. 2n+1-2+n2
解析 2?1-2n? n?1+2n-1? n+1 2 Sn= + = 2 - 2 + n . 2 1-2

1 2 3 4 5

解析答案

nπ 5.数列{an}的通项公式为 an=ncos 2 ,其前 n 项和为 Sn,则 S2 017 1 008 =________. nπ 解析 因为数列 an=ncos 2 呈周期性变化,观察此数列规律如下: a1=0,a2=-2,a3=0,a4=4.
故S4=a1+a2+a3+a4=2. ∴S2 017=S2 016+a2 017
2 016 2 017 = 4 ×2+2 017· cos 2 π

=1 008.
1 2 3 4 5
解析答案 返回

题型分类 深度剖析

题型一

分组转化法求和

n2+n 例 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn= ,n∈N*. 2 (1)求数列{an}的通项公式;
解 当n=1时,a1=S1=1;
2 2

n +n ?n-1? +?n-1? 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - =n. 2 2

a1也满足an=n,

故数列{an}的通项公式为an=n.
解析答案

(2)设 bn=2an+(-1) n an,求数列{bn}的前2n项和. 解 由(1)知an=n,故bn=2n+(-1)nn. 记数列{bn}的前2n项和为T2n,则T2n=(21+22+?+22n)+(-1+2-3+4 -?+2n). 记A=21+22+?+22n,B=-1+2-3+4-?+2n,

2?1-22n? 2n+1 则 A= =2 -2, 1-2
B=(-1+2)+(-3+4)+?+[-(2n-1)+2n]=n. 故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.
解析答案

例1(2)中,求数列{bn}的前n项和Tn. 解 由(1)知bn=2n+(-1)n· n. 当n为偶数时, Tn=(21+22+?+2n)+[-1+2-3+4-…-(n-1)+n]
2-2n+1 n n n+1 = + =2 + -2. 2 2 1-2

引申探究

当 n 为奇数时,Tn=(21+22+?+2n)+[ -1+2-3+4-…-(n-2)+(n
? ?2n+1+n-2, 2 ? ∴Tn=? ? n+1 n 5 2 - - , ? 2 2 ?

-1)-n] =2

n+1

n-1 n 5 n+1 -2+ 2 -n=2 -2-2.

n为偶数,

n为奇数.
思维升华 解析答案

跟踪训练1

已知数列{an}的通项公式是an=2· 3n-1+(-1)n· (ln 2-ln 3)+(-1)nnln 3, 求其前n项和Sn.

解析答案

题型二

错位相减法求和

例2

(2015· 湖北 ) 设等差数列 {an} 的公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,等比数列

{bn}的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100. (1) 求数列{an},{bn}的通项公式;

解析答案

an (2) 当 d>1 时,记 cn=b ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. n 2n-1 n-1 解 由 d>1,知 an=2n-1,bn=2 ,故 cn= n-1 , 2 2n-1 3 5 7 9 于是 Tn=1+ + 2+ 3+ 4+?+ n-1 , 2 2 2 2 2 2n-1 1 1 3 5 7 9 T n . n= + 2+ 3+ 4+ 5+?+ 2 2 2 2 2 2 2
①-②可得
2n-1 2n+3 1 1 1 1 Tn=2+ + 2+?+ n-2- n =3- n , 2 2 2 2 2 2 2n+3 故 Tn=6- n-1 . 2




思维升华

解析答案

跟踪训练2
已 知 数 列 {an} 满 足 首 项 为 a1 = 2 , an + 1 = 2an(n∈N*). 设 bn = 3log2an - 2(n∈N*),数列{cn}满足cn=anbn. (1)求证:数列{bn}为等差数列;

证明

由已知可得,an=a1qn-1=2n,

bn=3log22n-2,

∴bn=3n-2,∴bn+1-bn=3,
∴数列{bn}为首项b1=1,公差d=3的等差数列.

解析答案

(2)求数列{cn}的前n项和Sn. 解 cn=anbn=(3n-2)×2n. Sn=1×2+4×22+7×23+?+(3n-2)×2n,① 2Sn=1×22+4×23+7×24+?+(3n-5)×2n+(3n-2)×2n+1,② ①-②得 -Sn=2+3(22+23+24+?+2n)-(3n-2)×2n+1
4?1-2n-1? =2+3× -(3n-2)×2n+1 1-2

=-10+(5-3n)×2n+1, ∴Sn=10-(5-3n)×2n+1.
解析答案

题型三

1 命题点 1 形如 an= 型 n?n+k?
例3 3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*. (1)求 a1 的值;

裂项相消法求和

2 设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn 满足 S2 - ( n +n- n



由题意知,

2 2 * S2 - ( n + n - 3) S - 3( n + n ) = 0 , n ∈ N .令 n=1, n n

2 2 有 S2 - (1 + 1 - 3) S - 3 × (1 +1)=0, 1 1

可得 S2 1+S1-6=0,解得 S1=-3 或 2,

即a1=-3或2,又an为正数,所以a1=2.
解析答案

(2)求数列{an}的通项公式;



2 2 * 由 S2 - ( n + n - 3) S - 3( n + n ) = 0 , n ∈ N 可得, n n

(Sn+3)(Sn-n2-n)=0, 则Sn=n2+n或Sn=-3, 又数列{an}的各项均为正数, 所以Sn=n2+n,Sn-1=(n-1)2+(n-1). 所以当n≥2时, an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n. 又a1=2=2×1,所以an=2n.
解析答案

1 1 1 1 (3)证明:对一切正整数 n,有 + +?+ <3. a1?a1+1? a2?a2+1? an?an+1?

解析答案

命题点 2

形如 an=
a

1 例 4 已知函数 f(x)=x 的图象过点(4,2),令 an= ,n∈N*. f?n+1?+f?n?

型 n+ n+k

1

2 018-1 记数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S2 017=________.
解析 1 由 f(4)=2 可得 4 =2,解得 a=2,
a
1 2

则 f ( x) ? x .
1 1 ∴an= = = n+1- n, f?n+1?+f?n? n+1+ n

S2

017=a1+a2+a3+?+a2 017 =(

2-1)+( 3- 2)+( 4- 3)+?+
思维升华 解析答案

( 2 017- 2 016)+( 2 018- 2 017)= 2 018-1.

跟踪训练3

在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足

? ? 1 ? ? 2 Sn=an?Sn-2?. ? ?

(1)求Sn的表达式;

解析答案

Sn (2)设 bn= ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1 Sn 1 解 ∵bn= = 2n+1 ?2n-1??2n+1?

1 ? 1? 1 =2?2n-1-2n+1?, ? ?
1 1 1 1 1 1 ∴Tn=b1+b2+?+bn= [(1- )+( - )+?+( - )]= 2 3 3 5 2n-1 2n+1 1 ? 1? n ?1- ?= . 2n+1? 2n+1 2?

解析答案

返回

审题路线图系列

审题路线图系列

四审结构定方案

典例

1 2 (14 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-2n +kn(其中 k∈N*),且

Sn 的最大值为 8.

(1)确定常数k,并求an;

审题路线图

解析答案

?9-2an? (2)求数列? n ?的前 n 项和 Tn. ? 2 ?

审题路线图

解析答案

温馨提醒

返回

思想方法 感悟提高

方法与技巧

非等差、等比数列的一般数列求和,主要有两种思想: (1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想 方法往往通过通项分解或错位相消来完成; (2)不能转化为等差或等比的特殊数列,往往通过裂项相消法、错位相 减法、倒序相加法、并项法、数列的周期性等来求和.

失误与防范

1.直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围,如当等比数列公比为 参数(字母)时,应对其公比是否为1进行讨论. 2.在应用错位相减法时,注意观察未合并项的正负号;结论中形如 an, an+1的式子应进行合并. 3.在应用裂项相消法时,要注意消项的规律具有对称性,即前剩多少项 则后剩多少项.

返回

练出高分

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

1 1 1 1 1 1.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,(2n-1)+ n,?的前 n 项和 Sn 的值等于 2 4 8 16 2 1 2 n +1- n ____________. 2

解析

1 该数列的通项公式为 an=(2n-1)+2n,

1 1 1 1 2 则 Sn=[1+3+5+…+(2n-1)] +( + 2+?+ n)=n +1- n. 2 2 2 2

解析答案

1
m

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

2.设函数 f(x)=x +ax 的导函数为 n n+1 前 n 项和是__________.
解析 f′(x)=mxm-1+a,

? ? 1 ? ? ? f′(x)=2x+1,则数列? ? ?f?n?? ?

(n∈N*)的

∴a=1,m=2,∴f(x)=x2+x,

1 1 1 1 = =n- , f?n? n?n+1? n+1
? ?1 ?1 1 ? 1? 1? n ? ? ? ? ∴Sn=?1-2?+?2-3?+?+?n-n+1?= . ? ? ? ? ? ? n+1
解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

3. 已知函数 f(n) = n2cos(nπ) ,且 an = f(n) + f(n + 1) ,则 a1 + a2 + a3 + ? +
a100=________.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

4.设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,且对任意正整数k,l,都有ak+l
=ak+al,则S8的值是________. 72

解析

因为a1=2,且对任意正整数k,l,

都有ak+l=ak+al,令k=n,l=1,得an+1=an+a1,

即an+1=an+2,所以{an}是首项为2,公差为2的等差数列,
从而有an=2n,所以Sn=n(n+1),故S8=72.

解析答案

1
2 ? ?n , 5.已知函数 f(n)=? 2 ? - n , ?

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

当n为奇数时, 当n为偶数时,

且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+

100 a2+a3+?+a100=________. 解析 由题意,得a1+a2+a3+?+a100

=12-22-22+32+32-42-42+52+?+992-1002-1002+1012

=-(1+2)+(3+2)-(4+3)+?-(99+100)+(101+100)
=-(1+2+?+99+100)+(2+3+?+100+101)

=-50×101+50×103=100.
解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

6.在等差数列{an} 中,a1>0,a10· a11<0,若此数列的前 10项和S10= 60 36,前18项和S18=12,则数列{|an|}的前18项和T18的值是________. 解析 由a1>0,a10· a11<0可知d<0,a10>0,a11<0, ∴T18=a1+?+a10-a11-?-a18 =S10-(S18-S10)=60.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

7.整数数列{an}满足an+2=an+1-an (n∈N*),若此数列的前800项的和是 2 013,前813项的和是2 000,则其前2 015项的和为________.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

8. 已知正项数列 {an} 的前 n 项和为 Sn , ?n∈N*,2Sn = a 2 n + an ,令 bn = 1 ,设{bn}的前 n 项和为 Tn,则在 T1,T2,T3,?,T100 an an+1+an+1 an 中有理数的个数为________.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

9.已知数列{an}中,a1=3,a2=5,且{an-1}是等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; 解 ∵{an-1}是等比数列且a1-1=2,

a2-1 a2-1=4, =2, a1-1
∴an-1=2· 2n-1=2n,∴an=2n+1.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

(2)若bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tn.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

2 2 10.正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:S2 - ( n + n - 1) S - ( n +n)=0. n n

(1)求数列{an}的通项公式 an;
2 2 解 由 S2 - ( n + n - 1) S - ( n +n)=0, n n 得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0,

由于{an}是正项数列,所以Sn+1>0. 所以Sn=n2+n(n∈N*). n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n,

n=1时,a1=S1=2适合上式.
所以an=2n(n∈N*).
解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

n+1 * (2)令 bn= , 数列 { b } 的前 n 项和为 T , 证明: 对于任意的 n ∈ N , n n 2 2 ?n+2? an 5 都有 Tn<64.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

1 1 2 1 2 3 1 2 3 9 11.已知数列{an}: , + , + + ,?, + + +?+ ,?,若 2 3 3 4 4 4 10 10 10 10 1 bn= ,那么数列{bn}的前 n 项和 Sn=____________. anan+1

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

12.已知数列2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,?,这个数列的特点是

从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2 014
项之和S2 014=________.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

13.数列{an}是等差数列,数列{bn}满足 bn=anan+1an+2(n∈N*),设 Sn 为{bn} 3 的前 n 项和.若 a12= a5>0,则当 Sn 取得最大值时 n 的值为________. 8

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

2anan+1+1 1 14.在数列{an}中,an>0,a1=2,如果 an+1 是 1 与 的等比中项, 2 4-an a2 a3 a4 a100 那么 a1+22+32+42+?+1002的值是________.

解析答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

1 1 15.若数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(an,Sn)在 y= - x 的图象上(n∈N*). 6 3 (1)求数列{an}的通项公式;



1 1 ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= an-1- an, 3 3 1 ∴an=4an-1.
1 1 1 又∵S1= - a1,∴a1= , 6 3 8 ? ?1? 1? ?1?n-1 ?2n+1 ∴an=8?4? =? . ? ? 2 ? ? ? ?
解析答案

1 1 ∵Sn= - an, 6 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14 15

(2)若 c1=0,且对任意正整数 n 都有 cn+1-cn= log 1 an .求证:对任意正
2

1 1 1 1 1 3 整数 n≥2,总有 ≤ + + +?+ < . 3 c2 c3 c4 cn 4

解析答案

返回


相关文档

2017版高考数学(江苏专用、理科)一轮复习课件第六章 第4讲数列求和
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和 理
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和课件 文
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.4 数列求和 文
【创新设计】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 第4讲 数列求和课件 理 新人教A版
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和课件 理
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示法课件 理
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和课件 理
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和课件 文
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和 理
电脑版
?/a>