高考数学一轮复习专题讲座5解析几何在高考中的常见题型与求解策略知能训练轻松闯关理北师大版-含答案


专题讲座 5 解析几何在高考中的常见题型与求解策略 1.(2016·长春质量检测)若 F(c,0)是双曲线 2- 2=1(a>b>0)的右焦点,过 F 作该双曲线 12a 一条渐近线的垂线与两条渐近线交于 A,B 两点,O 为坐标原点,△OAB 的面积为 ,则该 7 双曲线的离心率 e=( 5 A. 3 5 C. 4 ) B. D. 4 3 8 5 2 x2 y2 a b 解析:选 C.设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为 θ ,则 tan θ = ,tan 2θ = 3 2 b a 2ab , a2-b2 1 ab 12a b 3 5 因此△OAB 的面积可以表示为 ·a·atan 2θ = 2 = ,解得 = ,则 e= .故选 C. 2 a -b2 7 a 4 4 2.(2016·山西省考前质量检测)已知 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,点 E 在 C 的准线上, 3? ? 且在 x 轴上方,线段 EF 的垂直平分线与 C 的准线交于点 Q?-1, ?,与 C 交于点 P,则点 P 2? ? 的坐标为( ) A.(1,2) B.(2,2 2) C.(3,2 3) D.(4,4) 解析:选 D.由题意,得抛物线的准线方程为 x=-1,F(1,0). 设 E(-1,y), 因为 PQ 为 EF 的垂直平分线, 所以|EQ|=|FQ|, 3 即 y- = 2 解得 y=4, 4-0 1 所以 kEF= =-2,kPQ= , -1-1 2 3 1 所以直线 PQ 的方程为 y- = (x+1), 2 2 即 x-2y+4=0. 由? ? ?x-2y+4=0, ?y =4x, ? 2 2 2 ? 3? 2 (-1-1) +? ? , ? 2? 解得? ? ?x=4, ?y=4, ? 即点 P 的坐标为(4,4),故选 D. 3.已知 F1、F2 分别为椭圆 +y =1 的左、右焦点,过椭圆的中心 O 任作一直线与椭圆交于 4 x2 2 1 P,Q 两点,当四边形 PF1QF2 的面积最大时,PF1·PF2的值为________. 解析:易知当 P,Q 分别是椭圆的短轴端点时,四边形 PF1QF2 的面积最大.由于 F1(- 3, → → 0),F2( 3,0),不妨设 P(0,1),所以PF1=(- 3,-1),PF2=( 3,-1), → → 所以PF1·PF2=-2. 答案:-2 → → x2 y2 2π a2+e2 4.若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为 ,离心率为 e,则 的 a b 3 2b 最小值为________. 解析:由题意, = 3,所以 b= 3a, 所以 c=2a,e=2, b a a2+e2 a2+4 a 2 2 3 = = + ≥ (当且仅当 a=2 时取等号), 2b 3 2 3a 2 3 3a 则 a2+e2 2 3 的最小值为 . 2b 3 2 3 答案: 3 y2 x2 3 5.(2016·山西省四校联考)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,以 a b 2 原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+ 2=0 相切.A、B 是 椭圆 C 的右顶点与上顶点,直线 y=kx(k>0)与椭圆相交于 E、F 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当四边形 AEBF 面积取最大值时,求 k 的值. 解:(1)由题意知:e= = c a 3 , 2 c2 a2-b2 3 所以 e = 2= 2 = , a a 4 2 所以 a =4b . 又圆 x +y =b 与直线 x-y+ 2=0 相切, 所以 b=1, 2 所以 a =4, 故所求椭圆 C 的方程为 x + =1. 4 (2)设 E(x1,kx1),F(x2,kx2),其中 x1<x2, 将 y=kx 代入椭圆的方程 x + =1 整理得:(k +4)x =4, 4 故 x2=-x1= 2 2 2 2 2 2 2 2 y2 y2 2 2 k2+4 因为 A(1,0),B(0,2),故由两点式得直线 AB 的方程为:2x+y-2=0, 设点 E,F 到直线 AB 的距离分别为 h1,h2,则 2 ,① h1= |2x1+kx1-2| 2(2+k+ k +4) = , 2 5 5(k +4) |2x2+kx2-2| 2(2+k- k +4) = , 2 5 5(k +4) 2 2 2 h2= |AB|= 2 +1= 5, 所以四边形 AEBF 的面积为 1 1 4(2+k) 2(2+k) S= |AB|(h1+h2)= × 5× = 2 2 2 5(k +4) k2+4 =2 =2 2 4+k +4k =2 k2+4 1+ 4 4 2 1+ 4k k2+4 ≤2 2, k+ k 当 k =4(k>0), 即 k=2 时,上式取等号. 所以当四边形 AEBF 面积取最大值时,k=2. 6.(2016·河南省八校联考)已知点 P(2,3),Q(2,-3)在椭圆 + = 16 12 1 上,A、B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点. 1 (1)若直线 AB 的斜率为 ,求四边形 APBQ 的面积的最大值; 2 (2)当 A、B 运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由. 1 x y 2 解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y= x+t,把其代入 + =1,得 x 2 16 12 +tx+t -12=0, 2 2 由 Δ =t -4(t -12)>0, 2 解得-4<t<4,由根与系数的关系得 x1+x2=-t,x1x2=t -12. 1 2 四边形 APBQ 的面积 S= ×6×|x1-x2|=3 48-3t , 2 所以当 t=0 时,Smax=12 3. (2)当∠APQ=∠BPQ,则直线 PA、PB 的斜率

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