江苏省南师大附校2010高三数学一轮复习教学案:第3课时函数的单调性


南京师范大学附属实验学校

2010 届高三一轮复习

理科数学教学案

函数

第 3 课时

函数的单调性

【基础过关】 一、单调性 1.定义:如果函数 y=f (x)对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、 、x2, 当 x1、<x2 时,①都有 ,则称 f (x)在这个区间上是增函数,而这个区间称函数的一 个 ;②都有 ,则称 f (x)在这个区间上是减函数,而这个区间称 函数的一个 . 若函数 f(x)在整个定义域 l 内只有唯一的一个单调区间,则 f(x)称为 . 2.判断单调性的方法: (1) 定义法,其步骤为:① ;② ;③ . (2) 导数法, 若函数 y=f (x)在定义域内的某个区间上可导, ①若 , 则 f (x) 在这个区间上是增函数;②若 ,则 f (x)在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论 1.若 f (x), g(x)均为增(减)函数,则 f (x)+g(x) 函数; 2.若 f (x)为增(减)函数,则-f (x)为 ; 3.互为反函数的两个函数有 的单调性; 4.复合函数 y=f [g(x)]是定义在 M 上的函数,若 f (x)与 g(x)的单调相同,则 f [g(x)] 为 ,若 f (x), g(x)的单调性相反,则 f [g(x)]为 . 5.奇函数在其对称区间上的单调性 ,偶函数在其对称区间上的单调性 . 【典型例题】 例 1. 已知函数 f(x)=a +
x

x?2 (a>1),证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. x ?1

证明 方法一 任取 x1,x2∈(-1,+∞), 不妨设 x1<x2,则 x2-x1>0, a >1 且 a >0, ∴ a ? a ? a (a ? 1) ? 0 ,又∵x1+1>0,x2+1>0,
x 2 ? x1 x1

x2

x1

x1

x2 ? x1



x2 ? 2 x1 ? 2 ( x2 ? 2)(x1 ? 1) ? ( x1 ? 2)(x2 ? 1) 3( x2 ? x1 ) >0, ? ? ? x2 ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ( x1 ? 1)(x2 ? 1)
x2 x1

于是 f(x2)-f(x1)= a ? a +

x2 ? 2 x1 ? 2 >0, ? x2 ? 1 x1 ? 1

故函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. 方法二 f(x)=a +1x

3 (a>1), x ?1

x 求导数得 f ?( x) =a lna+

3 3 x ,∵a>1,∴当 x>-1 时,a lna>0, >0, ( x ? 1)2 ( x ? 1)2
x

f ?( x ) >0

在(-1,+∞)上恒成立,则 f(x)在(-1,+∞)上为增函数.

方法三 ∵a>1,∴y=a 为增函数, 又 y=
x

x?2 ?3 ? 1? ,在(-1,+∞)上也是增函数. x ?1 x ?1 x?2 在(-1,+∞)上为增函数. x ?1 a (a>0)的单调性. x

∴y=a +

变式训练 1:讨论函数 f(x)=x+

解:方法一 显然 f(x)为奇函数,所以先讨论函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性,

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设 x1>x2>0,则 f(x1)-f(x2) =(x1+
a a a )-(x2+ )=(x1-x2)· (1). x1 x2 x2 x1 a >1, x1 x2

∴当 0<x2<x1≤ a 时,

则 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),故 f(x)在(0, a ]上是减函数. 当 x1>x2≥ a 时,0<
a <1,则 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), x1 x2

故 f(x)在[ a ,+∞)上是增函数.∵f(x)是奇函数, ∴f(x)分别在(-∞,- a ] 、 [ a ,+∞)上为增函数; f(x)分别在[- a ,0) 、 (0, a ]上为减函数. 方法二 由 f ?( x) =1a =0 可得 x=± a x2

当 x> a 或 x<- a 时, f ?( x) >0∴f(x)分别在( a ,+∞) 、 (-∞,- a ]上是增函数. 同理 0<x< a 或- a <x<0 时, f ?( x) <0 即 f(x)分别在(0, a ] 、 [- a ,0)上是减函数. 例 2. 判断函数 f(x)= x ? 1 在定义域上的单调性.
2

解: 函数的定义域为{x|x≤-1 或 x≥1}, 则 f(x)=
x2 ? 1 ,

可分解成两个简单函数. f(x)= u ( x) , u ( x) =x -1 的形式.当 x≥1 时,u(x)为增函数, u ( x) 为增函数. ∴f(x)= x ? 1 在[1,+∞)上为增函数.当 x≤-1 时,u(x)为减函数, u ( x) 为减函数,
2

2

∴f(x)= x ? 1 在(-∞,-1]上为减函数.
2

变式训练 2:求函数 y= log (4x-x )的单调区间.
1 2

2

解: 由 4x-x >0,得函数的定义域是(0,4).令 t=4x-x ,则 y= log t.
1 2

2

2

∵t=4x-x =-(x-2) +4,∴t=4x-x 的单调减区间是[2,4) ,增区间是(0,2]. 又 y= log t 在(0,+∞)上是减函数,
1 2

2

2

2

∴函数 y= log (4x-x )的单调减区间是(0,2] ,单调增区间是[2,4).
1 2

2

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例 3. 求下列函数的最值与值域: (1)y=4- 3 ? 2 x ? x ; (2)y=x+
2

4 ;(3)y= x2 ? 1 ? (2 ? x)2 ? 4 . x
2 2

解:(1)由 3+2x-x ≥0 得函数定义域为[-1,3] ,又 t=3+2x-x =4-(x-1) . ∴t∈[0,4] , t ∈[0,2] , 从而,当 x=1 时,ymin=2,当 x=-1 或 x=3 时,ymax=4.故值域为[2,4]. (2)方法一 函数 y=x+
4 是定义域为{x|x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论 x

2

x>0 时,即可知 x<0 时的最值. ∴当 x>0 时,y=x+
4 4 ≥2 x ? =4,等号当且仅当 x=2 时取得.当 x<0 时,y≤-4, x x

等号当且仅当 x=-2 时取得.综上函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞) ,无最值. 方法二 任取 x1,x2,且 x1<x2, 因为 f(x1)-f(x2)=x1+
4 ( x ? x )(x x ? 4) 4 -(x2+ )= 1 2 1 2 , x1 x2 x2 x1

所以当 x≤-2 或 x≥2 时,f(x)递增,当-2<x<0 或 0<x<2 时,f(x)递减. 故 x=-2 时,f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2 时,f(x)最小值=f(2)=4, 所以所求函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞) ,无最大(小)值. (3 y= ( x ? 0) ? (0 ? 1) ? ( x ? 2) ? (0 ? 2) ,
2 2 2 2

可视为动点 M(x,0)与定点 A(0,1) 、B(2,-2)距离之和,连结 AB,则直线 AB 与 x 轴的 交点(横坐标)即为所求的最小值点. ymin=|AB|= (0 ? 2) ? (1 ? 2) ? 13 ,可求得 x= 时,ymin= 13 .
2 2

2 3

显然无最大值.故值域为[ 13 ,+∞). 变式训练 3:在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每 2 月最多生产 100 台报警系统装置,生产 x(x>0)台的收入函数为 R(x)=3 000x-20x (单位:元), 其成本函数为 C(x)=500x+4 000(单位:元) ,利润是收入与成本之差. (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x) ; (2)利润函数 P(x)与边际利润函数 MP(x)是否具有相同的最大值? 2 2 解:(1)P(x)=R(x)-C(x)=(3 000x-20x )-(500x+4 000)=-20x +2 500x-4 000 (x∈[1,100]且 x∈N,) 2 2 MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1) +2 500(x+1)-4 000-(-20x +2 500x-4 000) =2 480-40x (x∈[1,100]且 x∈N). (2)P(x)=-20(x125 2 ) +74 125,当 x=62 或 63 时,P(x)max=74 120(元). 2

因为 MP(x)=2 480-40x 是减函数,所以当 x=1 时,MP(x)max=2 440(元). 因此,利润函数 P(x)与边际利润函数 MP(x)不具有相同的最大值. 例 4.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性;
x1 ) =f(x1)-f(x2),且当 x>1 时,f(x)<0. x2

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(3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2. 解:(1)令 x1=x2>0,代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0. (2)任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则
x1 x2 x1 >1,由于当 x>1 时,f(x)<0, x2

所以 f ( ) <0,即 f(x1)-f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)由 f(
9 x1 )=f(x1)-f(x2)得 f( ) =f(9)-f(3),而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2. 3 x2

由于函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数, 由 f(|x|)<f(9),得|x|>9,∴x>9 或 x<-9.因此不等式的解集为{x|x>9 或 x<-9}. 变式训练 4:函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R 上的增函数; 2 (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m -m-2)<3. 解:(1)设 x1,x2∈R,且 x1<x2, 则 x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0. ∴f(x2)>f(x1). 即 f(x)是 R 上的增函数. (2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, ∴f(2)=3, 2 ∴原不等式可化为 f(3m -m-2)<f(2), 2 ∵f(x)是 R 上的增函数,∴3m -m-2<2, 解得-1<m< ,故解集为(-1, ). 【小结归纳】 1.证明一个函数在区间 D 上是增(减)函数的方法有:(1) 定义法.其过程是:作差——变形 ——判断符号,而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构;(2) 求导法. 其过程是:求导——判断导函数的符号——下结论. 2.确定函数单调区间的常用方法有:(1)观察法;(2)图象法(即通过画出函数图象,观察 图象,确定单调区间) ;(3)定义法;(4)求导法.注意:单调区间一定要在定义域内. 3.含有参量的函数的单调性问题,可分为两类:一类是由参数的范围判定其单调性;一类 是给定单调性求参数范围, 其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式, 结合定义域求出 参数的取值范围. 【课后作业】
4 3 4 3

1.在 R 上定义的函数 f ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? f (2 ? x) .若 f ( x) 在区间 [1, 2] 上是减 函数,则 f ( x) 在区间 [?2, ?1] 上是增 函数,在区间 [3, 4] 上是减 函数

2.已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f(|

1 |)<f(1)的实数 x 的取值范围是(-1,1) x

3.已知定义域为 R 的函数 f(x)在 (8,??) 上为减函数,且函数 y=f(x+8)函数为偶函 数,则 D

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A.f(6)>f(7)

B.f(6)>f(9)

C.f(7)>f(9) ( ? ?,2 )

D.f(7)>f(10)

4.函数 y ? log 1 ( x2 ? 5x ? 6) 的单调增区间为
2

5.函数 f ( x) ? 1 ? log2 x 与 g ( x) ? 2? x?1 在同一直角坐标系下的图象大致是 C

6.如果奇函数 f ? x ? 在区间[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f ? x ? 在区间 ? ?7, ?3? 上是 ( ) A.增函数且最小值为 ?5 C.减函数且最小值为 ?5 B.增函数且最大值为 ?5 D.减函数且最大值为 ?5

?(3a ? 1)x ? 4a ,x ? 1 7.已知 f ( x) ? ? 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ? log a x, x ? 1
1 1 ( , ) 7 3
8.如果二次函数 f ? x ? ? x ? ? a ? 1? x ? 5 在区间 ?
2

?1 ? ,1? 上是增函数,求 f ? 2 ? 的取值范围. ?2 ?

9.求函数 y ? 3 ? 2 ? 2 x ? x 2 的最大值.

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11.已知函数 f ? x ? ? x ?

1 .判断 f ? x ? 在区间(0,1]和[1,+∞)上的单调性,说明理由 x

12.作出函数 y ? x ? 2 ? x ? 1? 的图象,并根据函数的图象找出函数的单调区间.

函数 f ( x), g ( x) 在区间 [ a, b] 上都有意义,且在此区间上 ① f ( x) 为增函数, f ( x) ? 0 ; ② g ( x) 为减函数, g ( x) ? 0 . 判断 f ( x) g ( x) 在 [ a, b] 的单调性,并给出证明.


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